Fiche de mathématiques
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Arithmétique

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Cours de maths de 3ème


I. Division euclidienne

La division euclidienne est la division dont le dividende, le diviseur, le quotient et le reste sont des nombres entiers (c'est la division vue à l'école primaire).
Voici la division euclidienne de 85 par 3 :
Diviseurs - PGCD - Nombres premiers entre eux - troisième : image 1

Signification : 85 = 3 × 28 + 1
Dans 85, il y a 28 fois le nombre 3 et il reste 1.

Remarquons que le reste est toujours strictement inférieur au diviseur.


II. Diviseurs et multiples d'un nombre

Définition
Soient m et d deux nombres.
On dit qu'un nombre d est un diviseur d'un nombre m s'il divise ce nombre, c'est-à-dire si le reste de la division euclidienne de m par d est nul.


Vocabulaire :
On dit que : d divise m
ou encore que : m est divisible par d
ou encore que : m est un multiple de d

Exemple : 98 = 7 × 14
7 est un diviseur de 98.

Remarque : On dira que 98 est un multiple de 7.
1 est un diviseur de tous les nombres.


III. Diviseur commun

Définition :
Soient deux nombres a et b.
Un diviseur commun à a et à b est un nombre qui divise a et qui divise b.


Exemple :
Les diviseurs de 60 sont : 1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 5 ; 6 ; 10 ; 12 ; 15 ; 20 ; 30 ; 60.
Les diviseurs de 48 sont : 1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 6 ; 8 ; 12 ; 16 ; 24 ; 48.
Les nombres 1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 6 ; 12 divisent les nombres 60 et 48. Ce sont des diviseurs communs à 60 et 48.
Définition :
Le PGCD de deux nombres est le plus grand commun diviseur de ces deux nombres.


Exemple :
Le plus grand diviseur commun à 60 et 48 est 12. On note alors : PGCD (60 ; 48) = 12.

Algorithmes :
Algorithme des soustractions successives :
Diviseurs - PGCD - Nombres premiers entre eux - troisième : image 2


Algorithme d'Euclide :
Diviseurs - PGCD - Nombres premiers entre eux - troisième : image 3

Propriétés
Soient a et b deux nombres entiers positifs.
PGCD(a ; a) = a
Pour a > b, PGCD(a ; b) = PGCD(a - b ; b)
si a divise b, alors PGCD(a ; b) = a




IV. Nombres premiers entre eux

Définition
Deux nombres entiers positifs sont premiers entre eux si leur PGCD est égal à 1.


Exemple :
Les diviseurs de 15 sont : 1, 3, 5, 15.
Les diviseurs de 28 sont : 1, 2, 4, 7, 14, 28
Donc : PGCD(15 ; 28) = 1
Les nombres 15 et 28 sont premiers entre eux.


V. Fraction irréductible

Définition
Une fraction est dite irréductible si son numérateur et son dénominateur sont premiers entre eux.


Dans ce cas, on ne peut pas la réduire, elle est simplifiée au maximum.

Exemple :
Au paragraphe précédent, nous avons vu que 15 et 28 sont premiers entre eux. Donc la fraction \dfrac{15}{28} est irréductible.
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