Fiche de mathématiques
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Diviseurs et PGCD, exercice 3

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Fiche relue en 2016

Discussion de deux amis autour d'une fraction


Manon affirme à Théo que la fraction \dfrac{812}{3770} est irréductible. Théo lui répond immédiatement, sans aucun calcul, et lui dit : « Enfin Manon, il est évident que non ! ».


1. Pourquoi Théo affirme-t-il cela aussi vite et sans aucun calcul ? Justifiez votre réponse.

2. Rendre la fraction irréductible. Vous expliquerez votre démarche.





1. 812 et 3770 sont deux nombres pairs donc par définition tous les deux divisibles par 2 donc la fraction \dfrac{812}{3770} est simplifiable au moins par 2 donc n'est pas irréductible.

2. Pour rendre la fraction irréductible, il suffit de la simplifier par le PGCD(812 ; 3770) c'est à dire il suffit de diviser le numérateur et le dénominateur par leur PGCD.

Calcul du PGCD(3770 ; 812) par l'algorithme d'Euclide
a
b
Reste de a:b
3770 812 522
812 522 290
522 290 232
290 232 58
232 58 0


Le PGCD(3770 ; 812) est le dernier reste non nul obtenu dans l'algorithme d'Euclide donc PGCD(3770 ; 812) = 58

On déduit que \dfrac{812}{3770}=\dfrac{812:58}{3770:58}=\dfrac{14}{65} \text{ et donc }\dfrac{14}{65} est la fraction irréductible égale à \dfrac{812}{3770}
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