Fiche de mathématiques

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Diplôme National du Brevet
Groupement Est - Session 2006

Sujet donné dans les académies de Besançon, Dijon, Grenoble, Lyon, Nancy-Metz, Reims et Strasbourg.

La rédaction et la présentation seront notées sur 4 points.
L'emploi des calculatrices est autorisé.
Coefficient : 2 Durée : 2 heures

12 points

Activités numériques

exercice 1

On donne : $\text{A} = \dfrac{7}{3} - \dfrac{2}{3} \div \dfrac{8}{7}, \hspace{15pt} \text{B} = \sqrt{12} - 7\sqrt{3} - \sqrt{75}, \hspace{15pt} \text{C} = \dfrac{0,3 \times 10^2 \times 5 \times 10^{-3}}{4 \times 10^{-4}}$ .

1. Calculer A et donner le résultat sous forme d'une fraction irréductible.

2. Écrire B sous la forme $a\sqrt{b}$ où $a$ est un entier relatif et $b$ un entier naturel le plus petit possible.

3. Calculer C et donner son écriture scientifique.

exercice 2

On considère l'expression : E = $(3x + 2)^2 - (5 - 2x)(3x + 2)$ .

1. Développer et réduire l'expression E.

2. Factoriser E.

3. Calculer la valeur de E pour $x$ = -2.

4. Résoudre l'équation $(3x + 2)(5x - 3) = 0$ .

Les solutions de cette équation sont-elles des nombres décimaux ?

exercice 3

On considère le système suivant :
$\left \lbrace \begin{array}{c @{ = } c} 2x + 3y & 5,5 \\ 3x + y & 4,05 \\ \end{array} \right.$

1. Le couple ( $x$ = 2 ; $y$ = 0,5) est-il solution de ce système ?

2. Résoudre le système d'équations.

3. A la boulangerie, Anatole achète 2 croissants et 3 pains au chocolat : il paie 5,50 €. Béatrice achète 3 croissants et 1 pain au chocolat et paie 4,05 €.

Quel est le prix d'un croissant ? Quel est le prix d'un pain au chocolat ?

12 points

Activités géométriques

Dans cette partie, toutes les réponses seront justifiées.

exercice 1

On considère la figure ci contre qui n'est pas réalisée en vraie grandeur.

sujet du brevet groupement est 2006 : image 1

Les points S, P, E et B sont alignés ainsi que les points N, P, C et M.
Les droites (MB) et (NS) sont parallèles.
On donne : PM = 12 cm, MB = 6,4 cm ; PB = 13,6 cm et PN = 9 cm.

1. Démontrer que le triangle PBM est rectangle.

2. En déduire la mesure de l'angle $\widehat{\text{PBM}}$ arrondie au degré près.

3. Calculer la longueur NS.

4. On considère le point E du segment [PB] tel que PE = 3,4 cm et le point C du segment [PM] tel que PC = 3 cm.

Les droites (CE) et (MB) sont-elles parallèles ?

exercice 2

La figure est à réaliser sur une feuille de papier millimétré.
Le plan est muni d'un repère orthonormé (O, I, J). L'unité de longueur est le centimètre.

1. Placer les points : A(-2 ; 1), B(3 ; 2), C(-3 ; -2) et G(7 ; 0).

2. a) Placer le point E tel que $\overrightarrow{\text{AB}} = \overrightarrow{\text{CE}}$ . En déduire la nature du quadrilatère ABEC.
b) Donner par lecture graphique les coordonnées du point E.

3. Calculer la valeur exacte de la longueur AB.

4. Placer le point F(-1 ; 4) et démontrer que F est le symétrique de C par rapport à A.

5. Démontrer que B est le milieu du segment [FG] et en déduire sans autre calcul la longueur CG.

12 points

Problème

La piscine de Monsieur Dujardin a la forme d'un prisme droit dont la base ABCD est un trapèze rectangle.

sujet du brevet groupement est 2006 : image 2

On donne : AB = 14 m, AE = 5 m, AD = 1,80 m, BC = 0,80 m.
Sur le schéma ci-dessus, les dimensions ne sont pas respectées.
On rappelle les formules suivantes :
Aire d'un trapèze = $\dfrac{(\text{somme des bases}) \times \text{hauteur}}{2}$
Volume d'un prisme = (Aire de la base) × hauteur.

Partie A

1. Montrer que le volume de cette piscine est 91 m³.

2. A la fin de l'été, M. Dujardin vide sa piscine à l'aide d'une pompe dont le débit est 5 m³ par heure.
    a) Calculer le nombre de m³ d'eau restant dans la piscine au bout de 5 heures.
    b) On admet que le nombre de m³ d'eau restant dans la piscine au bout de $x$ heures est donné par la fonction affine $f$ définie par : $f(x) = 91 - 5x$ .
Sur la feuille de papier millimétré, construire un repère orthogonal tel que :
   en abscisse, 1 cm représente 1 heure,
   en ordonnée, 1 cm représente 5 m³.
Représenter graphiquement la fonction $f$ dans ce repère.
    c) Par lecture graphique, déterminer le nombre d'heures nécessaires pour qu'il ne reste que 56 m³ d'eau dans cette piscine.
    d) Par lecture graphique, déterminer le nombre d'heures nécessaires pour vider complètement la piscine.
    e) Retrouver ce dernier résultat par le calcul. Donner cette durée en heures et minutes.

Partie B

M. Dujardin doit clôturer sa piscine, en laissant autour une distance de 1,25 m comme le montre le schéma ci-dessous.

sujet du brevet groupement est 2006 : image 3

1. Calculer les distances IJ et JK en cm.

2. Pour réaliser la clôture, il souhaite utiliser un nombre entier de panneaux rectangulaires identiques, dont la longueur a est un nombre entier de centimètres, le plus grand possible.
Expliquer pourquoi a est le PGCD de 750 et 1650.

3. Calculer la valeur de a, en indiquant la méthode utilisée.

4. Combien faudra-t-il de panneaux pour clôturer la piscine ?

Voir la correction

Activités numériques

exercice 1

1. Calculons A :
$\text{A} = \dfrac{7}{3} - \dfrac{2}{3} \div \dfrac87\\ \text{A} = \dfrac{7}{3} - \dfrac{2}{3} \times \dfrac{7}{8}\\ \text{A} = \dfrac{7}{3} - \dfrac{2 \times 7}{3 \times 8}\\ \text{A} = \dfrac{7}{3} - \dfrac{2 \times 7}{3 \times 4 \times 2}\\ \text{A} = \dfrac{7}{3} - \dfrac{7}{12}\\ \text{A} = \dfrac{28}{12} - \dfrac{7}{12}\\ \text{A} = \dfrac{21}{12}\\ \text{A} = \dfrac{7}{4}$

2. Ecrivons B sous la forme $a\sqrt{b}$ :
$\text{B} = \sqrt{12} - 7\sqrt{3} - \sqrt{75}\\ \text{B} = \sqrt{4 \times 3} - 7\sqrt{3} - \sqrt{25 \times 3}\\ \text{B} = 2\sqrt{3} - 7\sqrt{3} - 5\sqrt{3}\\ \text{B} = -10\sqrt{3}$

3. Calculons C :
$\text{C} = \dfrac{0,3 \times 10^2 \times 5 \times 10^{-3}}{4 \times 10^{-4}}\\ \text{C} = \dfrac{3 \times 5}{4} \times 10^{1-3+4}\\ \text{C} = 3,75 \times 10^{2}$

exercice 2

1. Développons et réduisons l'expression E :
$\text{E} = (3x + 2)^2 - (5 - 2x)(3x + 2)\\ \text{E} = (3x)^2 + 2 \times 3x \times 2 + 2^2 - (5 \times 3x + 5 \times 2 - 2x \times 3x - 2x \times 2)\\ \text{E} = 9x^2 + 12x + 4 - 15x - 10 + 6x^2 + 4x\\ \text{E} = 15x^2 + x - 6$

2. Factorisons E :
$\text{E} = (3x + 2)^2 - (5 - 2x)(3x + 2)\\ \text{E} = (3x + 2)[(3x + 2) - (5 - 2x)]\\ \text{E} = (3x + 2)(5x - 3)$

3. Calculons la valeur de E pour $x$ = -2 :
$\text{E} = 15x^2 + x - 6$
E = 15 × (-2)² + (-2) - 6
E = 15 × 4 - 2 - 6
E = 60 - 8
E = 52

4. Résolvons l'équation $(3x + 2)(5x - 3) = 0$ :
Un produit de facteurs est nul si l'un au moins de ses facteurs est nul, et réciproquement.
$\begin{array}{rclcccrcl} 3x + 2 &=& 0 &\hspace{15pt} \text{ ou }& 5x - 3 &=& 0\\ 3x &=& -2 &\hspace{15pt} \text{ ou }& 5x &=& 3\\ x &=& \dfrac{-2}{3} &\hspace{15pt} \text{ ou }& x &=& \dfrac{3}{5}\\ \end{array}$
Les solutions de l'équation sont $\dfrac{-2}{3}$ et $\dfrac{3}{5}$ .
$\dfrac{-2}{3}$ n'est pas un nombre décimal, mais $\dfrac{3}{5}$ en est un.

exercice 3

1. Regardons si le couple ( $x$ = 2 ; $y$ = 0,5) est solution de ce système :
2 × 2 + 3 × 0,5 = 4 + 1,5 = 5,5
3 × 2 + 0,5 = 6 + 0,5 = 6,5 $\neq$ 4,05
Ainsi le couple ( $x$ = 2 ; y = 0,5) n'est pas solution de ce système.

2. Résolvons le système d'équations :
$\left \lbrace \begin{array}{c @{ = } c} 2x + 3y & 5,5 \\ 3x + y & 4,05 \\ \end{array} \right. \\ \left \lbrace \begin{array}{c @{ = } c} 2x + 3y & 5,5 \\ y & -3x + 4,05 \\ \end{array} \right. \\ \left \lbrace \begin{array}{c @{ = } c} x + 3(-3x + 4,05) & 5,5 \\ y & -x + 4,05 \\ \end{array} \right. \\ \left \lbrace \begin{array}{c @{ = } c} 2x - 9x + 12,15 & 5,5 \\ y & - x + 4,05 \\ \end{array} \right.\\$
$\left \lbrace \begin{array}{c @{ = } c} -7x & -6,65 \\ y & -x + 4,05 \\ \end{array} \right. \\ \left \lbrace \begin{array}{c @{ = } c} x & \dfrac{-6,65}{-7} \\ y & -x + 4,05 \\ \end{array} \right.\\ \left \lbrace \begin{array}{c @{ = } c} x & 0,95 \\ y & -0,95 + 4,05 \\ \end{array} \right. \\ \left \lbrace \begin{array}{c @{ = } c} x & 0,95 \\ y & 1,2 \\ \end{array} \right.\\$
Le couple ( $x$ = 0,95 ; y = 1,2) est solution de ce système.

3. Déterminons le prix d'un croissant et celui d'un pain au chocolat :
Soit $x$ le prix d'un croissant et y le prix d'un pain au chocolat.
La phrase « Anatole achète 2 croissants et 3 pains au chocolat : il paie 5,50 € » se traduit par : $2x + 3y = 5,5$
D'autre part, la phrase : « Béatrice achète 3 croissants et 1 pain au chocolat et paie 4,05 € » se traduit par : $3x + y = 4,05$ .
On obtient alors le système suivant : $\left \lbrace \begin{array}{c @{ = } c} 2x + 3y & 5,5 \\ 3x + y & 4,05 \\ \end{array} \right.$
D'après la question précédente, le prix d'un croissant est 0,95 € et celui d'un pain au chocolat est 1,2 €.

Activités géométriques

exercice 1

1. Démontrons que le triangle PBM est rectangle :
On a : PB² = 13,6² = 184,96
et MP² + MB² = 12² + 6,4² = 184,96
Comme PB² = MP² + MB², alors d'après la réciproque du théorème de Pythagore, le triangle PBM est rectangle en M.

2. Déduisons-en la mesure de l'angle $\widehat{\text{PBM}}$ :
Dans le triangle PBM est rectangle en M, nous avons :
$\cos \widehat{\text{PBM}} = \dfrac{\text{BM}}{\text{PB}} = \dfrac{6,4}{13,6}$
D'où : $\widehat{\text{PBM}} = \cos^{-1}\left(\dfrac{6,4}{13,6}\right) \approx 61,9$
L'angle $\widehat{\text{PBM}}$ mesure au degré près 62°.

3. Calculons la longueur NS :
Comme les points S, P et B sont alignés ainsi que les points N, P et M et que les droites (MB) et (NS) sont parallèles, d'après le théorème de Thalès, nous avons :
$\dfrac{\text{NS}}{\text{BM}} = \dfrac{\text{PN}}{\text{PM}}\\ \dfrac{\text{NS}}{6,4} = \dfrac{9}{12}\\ NS = \dfrac{9}{12} \times 6,4 = 4,8$
La longueur NS est égale à 4,8 cm.

4. Déterminons si les droites (CE) et (MB) sont parallèles ou non :
Pour savoir si les droites (CE) et (MB) sont parallèles, il suffit de regarder si $\dfrac{\text{PS}}{\text{PE}} = \dfrac{\text{PN}}{\text{PC}}$ .
Il nous faut donc connaître la longueur PS. Or, pour les mêmes raisons que précédemment, nous avons :
$\dfrac{\text{PS}}{\text{PB}} = \dfrac{\text{PN}}{\text{PM}}\\ \dfrac{\text{PS}}{13,6} = \dfrac{9}{12}\\ NS = \dfrac{9}{12} \times 13,6 = 10,2$
Ainsi nous avons :
$\dfrac{\text{PS}}{\text{PE}} = \dfrac{10,2}{3,4} = 3\\ \text{ et } \dfrac{\text{PN}}{\text{PC}} = \dfrac{9}{3} = 3$
Les points P, E et B d'une part et P, C et M d'autre part sont alignés dans le même ordre.
Comme $\dfrac{\text{PS}}{\text{PE}} = \dfrac{\text{PN}}{\text{PC}}$ , d'après la réciproque du théorème de Thalès, nous pouvons affirmer que les droites (CE) et (MB) sont parallèles.

exercice 2

1. Plaçons les points A, B, C et G :

sujet du brevet groupement est 2006 : image 4

2. a) Plaçons le point E tel que $\overrightarrow{\text{AB}} = \overrightarrow{\text{CE}}$ :
cf graphique

Déduisons-en la nature du quadrilatère ABEC :
Comme $\overrightarrow{\text{AB}} = \overrightarrow{\text{CE}}$ , alors ABEC est un parallélogramme.

2. b) Par lecture graphique, les coordonnées du point E sont (2 ; -1).

3. Calculons la valeur exacte de la longueur AB :
$AB^2 = (x_B - x_A)^2 + (y_B - y_A)^2\\ AB^2 = (3 + 2)^2 + (2 - 1)^2\\ AB^2 = 25 + 1 \\ AB^2 = 26\\ AB = \sqrt{26}$
La valeur exacte de la longueur AB est $\sqrt{26}$ .

4. Plaçons le point F(-1 ; 4) :
cf graphique

Démontrer que F est le symétrique de C par rapport à A :
Déterminons les coordonnées du vecteur $\overrightarrow{\text{FA}}$ :
$\overrightarrow{\text{FA}}(x_A - x_F ; y_A - y_F)\\ \overrightarrow{\text{FA}}(-2 - (-1) ; 1 - 4)\\ \overrightarrow{\text{FA}}(-1 ; -3)$
Déterminons les coordonnées du vecteur $\overrightarrow{\text{AC}}$ :
$\overrightarrow{\text{AC}}(x_C - x_A ; y_C - y_A)\\ \overrightarrow{\text{AC}}(-3 - (-2) ; -2 - 1)\\ \overrightarrow{\text{AC}}(-1 ; -3)$
Les vecteurs $\overrightarrow{\text{FA}}$ et $\overrightarrow{\text{AC}}$ ont les mêmes coordonnées, donc on a : $\overrightarrow{\text{FA}} = \overrightarrow{\text{AC}}$ .
On en déduit que le point A est le milieu du segment [FC].
D'où : F est le symétrique de C par rapport au point A.

5. Démontrons que B est le milieu du segment [FG] :
Le milieu du segment [FG] a pour coordonnées $\left(\dfrac{x_F + x_G}{2} ; \dfrac{y_F + y_G}{2}\right)$ ,
c'est-à-dire $\left(\dfrac{-1 + 7}{2} ; \dfrac{4}{2}\right)$ ,
d'où (3 ; 2). Ce sont les coordonnées du point B.
Donc le point B est le milieu du segment [FG].

Déduisons-en la longueur CG :
Dans le triangle FCG, B est le milieu de [FG], A est le milieu de [FC].
Or, dans un triangle, la longueur d'un segment joignant les milieux de deux côtés est égale à la moitié de celle du troisième côté.
Donc $AB = \dfrac{1}{2} CG$ ou encore $CG = 2 AB = 2 \sqrt{26}$

Problème

Partie A

1. Montrons que le volume de cette piscine est 91 m³ :
$\mathscr{V} = \dfrac{(\text{AD} + \text{BC}) \times \text{AB}}{2} \times \text{AE} = \dfrac{1,8 + 0,8) \times 14}{2} \times 5 = 91$
D'où : le volume de cette piscine est 91 m³.

2. a) Calculons le nombre de m³ d'eau restant dans la piscine au bout de 5 heures :
Au bout de 5 heures, il y a eu 5 × 5 = 25 m³ d'eau enlevé de la piscine.
Il reste donc 91 - 25 = 66 m³ d'eau dans la piscine.

2. b) Représentons graphiquement la fonction $f$ dans le repère :
La fonction $f$ est une fonction affine, sa représentation graphique est une droite ne passant pas par l'origine du repère. Déterminons deux points de la droite :
$f(5) = 66$ (calculs effectués à la question précédente) et $f(16) = 91 - 5 \times 16 = 91 - 80 = 11$
La droite passe par les points de coordonnées (5 ; 66) et (16 ; 11).

sujet du brevet groupement est 2006 : image 5

2. c) Déterminer le nombre d'heures nécessaires pour qu'il ne reste que 56 m³ d'eau dans cette piscine :
Graphiquement, le nombre d'heures nécessaires pour qu'il ne reste que 56 m³ d'eau dans cette piscine est de 7 heures (cf pointilles rouges sur le graphique).

2. d) Graphiquement, le nombre d'heures nécessaires pour vider complètement la piscine est de 18,2 heures (c'est l'abscisse du point d'intersection de la droite représentant la fonction $f$ et l'axe des abscisses).

2. e) Retrouvons ce dernier résultat par le calcul :
Pour déterminer par le calcul le nombre d'heures nécessaires pour vider complètement la piscine, nous devons résoudre l'équation suivante : $f(x) = 0$ :
$91 - 5x = 0\\ 5x = 91\\ x = 18,2$
Nous avons donc retrouver le résultat de la question précédente.
Et : 0,2 h = 0,2 × 60 min = 12 min, donc il faut 18 h 12 min pour vider complètement la piscine.

Partie B

1. Calculons les distances IJ et JK :
AE = 5 m, donc IJ = AE + 1,25 × 2 = 5 + 2,5 = 7,5
D'où : IJ = 7,5 m = 750 cm

AB = 14 m = EF, donc JK = EF + 2 × 1,25 = 14 + 2,5 = 16,5
D'où : JK = 16,5 m = 1 650 cm

2. La longueur a d'un panneau est un entier qui divise IJ et JK. Le nombre a est donc un diviseur de 750 et 1 650. De plus, on veut que le nombre a soit le plus grand possible, c'est donc le plus grand commun diviseur de 750 et 1 650, donc a = PGCD(1 650 ; 750).

3. Calculons la valeur de a :
Déterminons le PGCD de 750 et 1 650 :
Par la méthode des soustractions successives :
PGCD(1 650 ; 750) = PGCD(900 ; 750) car 1 650 - 750 = 900
PGCD(900 ; 750) = PGCD(750 ; 150) car 900 - 750 = 150
PGCD(750 ; 150) = PGCD(600 ; 150) car 750 - 150 = 600
PGCD(600 ; 150) = PGCD(450 ; 150) car 600 - 150 = 450
PGCD(450 ; 150) = PGCD(300 ; 150) car 450 - 150 = 300
PGCD(300 ; 150) = PGCD(150 ; 150) car 300 - 150 = 150
PGCD(150 ; 150) = 150
D'où : PGCD(1 650 ; 750) = a = 150

En utilisant l'algorithme d'Euclide :
1 650 = 750 × 2 + 150
750 = 150 × 5 + 0
Le dernier reste non nul est 150, donc PGCD(1 650 ; 750) = a = 150
La longueur d'un panneau est de 150 cm.

4. Déterminons le nombre de panneaux nécessaires pour clôturer la piscine :
On a 750 = 150 × 5, il faut donc 5 panneaux pour clôturer la longueur IJ.
1 650 = 150 × 11, il faut donc 11 panneaux pour clôturer la longueur JK.
D'où : il faut (11 + 5) × 2 = 16 × 2 = 32 panneaux pour former la clôture de la piscine.

Publié par Muriel/Muriel le 15-07-2006

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