Fiche de mathématiques
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Diplôme National du Brevet
Groupement Ouest - Session 2006

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Sujet donné dans les académies de Bordeaux, Caen, Clermont-Ferrand, Limoges, Nantes, Orléans-Tours, Poitiers et Rennes.

La rédaction et la présentation seront notées sur 4 points.
L'emploi des calculatrices est autorisé.
Coefficient : 2     Durée : 2 heures


12 points

Activités numériques

exercice 1

Toutes les étapes de calculs devront figurer sur la copie.

1. Calculer A et donner le résultat sous la forme d'une fraction irréductible.
A = \dfrac19 - \dfrac{15}{9} \times \dfrac16

2. Écrire B sous la forme a\sqrt{3} où a est un entier.
B = \sqrt{48} - 3\sqrt{12} + 7\sqrt{3}

3. Donner les écritures décimale et scientifique de C.
C = \dfrac{3 \times 10^2 \times 1,2 \times (10^{-3})^4}{0,2 \times 10^{-7}}




exercice 2

On considère l'expression : E = (3x + 1)^2 - 4

1. Développer et réduire E.

2. Factoriser E.

3. Résoudre l'équation (3x + 3)(3x - 1) = 0




exercice 3

Le tableau ci-dessous donne la répartition des notes obtenues à un contrôle de mathématiques par les 27 élèves de troisième.
Notes 6 8 10 13 14 17
Effectifs 3 5 6 7 5 1


1. Calculer la note moyenne de la classe à ce contrôle. Arrondir le résultat à l'unité.

2. Calculer le pourcentage d'élèves ayant eu une note supérieure ou égale à 10. Arrondir le résultat au dixième.


12 points

Activités géométriques

exercice 1

On considère un repère orthonormé (O, I, J). L'unité est le centimètre.

1. Dans ce repère, placer les points : A(1 ; 2),    B(—2 ; 1),    C(—3 ; —2).

2. Calculer les distances AB et BC.

3. Calculer les coordonnées du vecteur \overrightarrow{\text{BC}}.

4. Construire le point D, image du point A par la translation qui transforme B en C.

5. Démontrer que le quadrilatère ABCD est un losange.




exercice 2

Dans cet exercice, les réponses seront données sans justification.
sujet du brevet groupement ouest 2006 : image 1
ABCDEF est un hexagone régulier de centre O.

1. Quel est le symétrique du triangle OCD par rapport au point O ?

2. Quel est le symétrique du triangle EFO par rapport à la droite (EO) ?

3. Quelle est l'image du triangle OCD par la rotation de centre O, d'angle 60° dans le sens des aiguilles d'une montre ?




exercice 3

La figure ci-dessous n'est pas en vraie grandeur. On ne demande pas de la reproduire.
sujet du brevet groupement ouest 2006 : image 2


Les points A, C et E sont alignés, ainsi que les points B, C et D.
Le triangle ABC est rectangle en B.
Les longueurs suivantes sont exprimées en centimètres : BC = 12 ; CD = 9,6 ; DE = 4 ; CE = 10,4.

1. Montrer que le triangle CDE est rectangle en D.

2. En déduire que les droites (AB) et (DE) sont parallèles.

3. Calculer la longueur AB.


12 points

Problème

Dans un magasin, une cartouche d'encre pour imprimante coûte 15 €.
Sur un site Internet, cette même cartouche coûte 10 €, avec des frais de livraison fixes de 40 € quel que soit le nombre de cartouches achetées.

1. Reproduire et compléter le tableau suivant :
Nombre de cartouches achetées 2 5 11 14
Prix à payer en magasin en euros   75    
Prix à payer par Internet en euros   90    


2. Le nombre de cartouches achetées est noté x.
    a) On note PA le prix à payer pour l'achat de x cartouches en magasin. Exprimer PA en fonction de x.
    b) On note PB le prix à payer, en comptant la livraison, pour l'achat de x cartouches par Internet. Exprimer PB en fonction de x.

3. Dans le repère orthogonal figurant ci-dessous, tracer les droites d et d' définies par :
d représente la fonction : x \mapsto 15x
d' représente la fonction : x \mapsto 10x + 40

4. En utilisant le graphique précédent :
    a) Déterminer le prix le plus avantageux pour l'achat de 6 cartouches. Vous laisserez apparents les traits de constructions.
    b) Sonia dispose de 80 euros pour acheter des cartouches. Est-il est plus avantageux pour elle d'acheter des cartouches en magasin ou sur Internet ? Vous laisserez apparents les traits de constructions.

5. A partir de quel nombre de cartouches le prix sur Internet est-il inférieur ou égal à celui du magasin ? Expliquer votre réponse.

sujet du brevet groupement ouest 2006 : image 3




Activités numériques

exercice 1

1. Calculons A :
\text{A} = \dfrac19 - \dfrac{15}{9} \times \dfrac16\\ \text{A} = \dfrac19 - \dfrac{15 \times 1}{9 \times 6}\\ \text{A} = \dfrac19 - \dfrac{5 \times 3 \times 1}{3 \times 3 \times 6}\\ \text{A} = \dfrac19 - \dfrac{5}{3 \times 6}\\ \text{A} = \dfrac{2}{18} - \dfrac{5}{18}\\ \text{A} = -\dfrac{3}{18}\\ \text{A} = -\dfrac{3}{3 \times 6}\\ \text{A} = -\dfrac16

2. Ecrivons B sous la forme a\sqrt{3} où a est un entier :
\text{B} = \sqrt{48} - 3\sqrt{12} + 7\sqrt{3}\\ \text{B} = \sqrt{16 \times 3} - 3\sqrt{4 \times 3} + 7\sqrt{3}\\ \text{B} = 4\sqrt{3} - 3 \times 2\sqrt{3} + 7\sqrt{3}\\ \text{B} = 4\sqrt{3} - 6\sqrt{3} + 7\sqrt{3}\\ \text{B} = 5\sqrt{3}

3. Donnons les écritures décimale et scientifique de C :
\text{C} = \dfrac{3 \times 10^2 \times 1,2 \times (10^{-3})^4}{0,2 \times 10^{-7}}\\ \text{C} = \dfrac{3 \times 10^2 \times 1,2 \times 10^{-3 \times 4}}{0,2 \times 10^{-7}}\\ \text{C} = \dfrac{3 \times 10^2 \times 1,2 \times 10^{-12}}{0,2 \times 10^{-7}}\\ \text{C} = \dfrac{3 \times 1,2 \times 10^2 \times 10^{-12}}{0,2 \times 10^{-7}}\\ \text{C} = \dfrac{3 \times 1,2}{0,2} \times 10^{2-12-(-7)}\\ \text{C} = \dfrac{3 \times 12}{2} \times 10^{-3}\\ \text{C} = \dfrac{3 \times 2 \times 6}{2} \times 10^{-3}\\ \text{C} = 3 \times 6 \times 10^{-3}\\ \text{C} = 18 \times 10^{-3}
C = 0,018     (écriture décimale}
C = 1,8 × 10-2     (écriture scientifique)




exercice 2

1. Développons et réduisons E :
\text{E} = (3x + 1)^2 - 4\\ \text{E} = (3x)^2 + 2 \times 3x \times 1 + 1^2 - 4\\ \text{E} = 9x^2 + 6x + 1 - 4\\ \text{E} = 9x^2 + 6x - 3

2. Factorisons E :
\text{E} = (3x + 1)^2 - 4\\ \text{E} = (3x + 1)^2 - 2^2\\ \text{E} = [(3x + 1) - 2][(3x + 1) + 2]\\ \text{E} = (3x + 1 - 2)(3x + 1 + 2)\\ \text{E} = (3x - 1)(3x + 3)

3. Résolvons l'équation :
Un produit de facteurs est nul si l'un au moins de ses facteurs est nul, et réciproquement.
(3x + 3)(3x - 1) = 0\\ \begin{array}{lcl} 3x + 3 = 0 &\text{ ou }& 3x - 1 = 0\\ 3x = -3& \text{ ou }& 3x = 1\\ x = -1& \text{ ou } &x = \dfrac13\\ \end{array}
Les solutions de l'équation sont -1 et \dfrac13.




exercice 3

1. Calculons la note moyenne de la classe à ce contrôle :
\dfrac{3 \times 6 + 5 \times 8 + 6 \times 10 + 7 \times 13 + 5 \times 14 + 1 \times 17}{27} = \dfrac{296}{27} \approx 11
La note moyenne de la classe est 11.

2. Calculons le pourcentage d'élèves ayant eu une note supérieure ou égale à 10 :
Nombre d'élèves ayant eu une note supérieure ou égale à 10 6 + 7 + 5 + 1 = 19 ?
Nombre total d'élèves 27 100

\dfrac{19 \times 100}{27} \approx 70,4
D'où : environ 70,4 % des élèves ont eu une note supérieure ou égale à 10.


Activités géométriques

exercice 1

1. Plaçons les points A, B et C :
sujet du brevet groupement ouest 2006 : image 4


2. Calculons la distance AB :
AB² = (x_B - x_A)^2 + (y_B - y_A)^2
AB² = (-2 - 1)² + (1 - 2)²
AB² = (-3)² + (-1)²
AB² = 9 + 1
AB² = 10
D'où : AB = \sqrt{10}

    Calculons la distance BC :
BC² = (x_C - x_B)^2 + (y_C - y_B)^2
BC² = (-3 - (-2))² + (-2 - 1)²
BC² = (-1)² + (-3)²
BC² = 1 + 9
BC² = 10
D'où : BC = \sqrt{10}

3. Calculons les coordonnées du vecteur \overrightarrow{\text{BC}} :
\overrightarrow{\text{BC}}(x_C - x_B ; y_C - y_B)\\ \overrightarrow{\text{BC}}(-3 - (-2) ; -2 - 1)\\ \overrightarrow{\text{BC}}(-1 ; -3)

4. Construisons le point D :
cf graphique

5. Démontrons que le quadrilatère ABCD est un losange :
On sait que D est l'image du point A par la translation qui transforme B en C, donc \overrightarrow{\text{BC}} = \overrightarrow{\text{AD}}. On en déduit que le quadrilatère ABCD est un parallélogramme.
De plus, on a montré que AB = BC. Le parallélogramme ABCD a deux côtés consécutifs de même longueur, donc ABCD est un losange.




exercice 2

1. Déterminons le symétrique du triangle OCD par rapport au point O :
A est le symétrique de D par rapport à O,
F est le symétrique de C par rapport à O.
D'où : le triangle OFA est le symétrique du triangle OCD par rapport à O.

2. Déterminons le symétrique du triangle EFO par rapport à la droite (EO) :
D est le symétrique de F par rapport à (EO).
D'où : le triangle EDO est le symétrique du triangle EFO par rapport à la droite (EO).

3. Déterminons l'image du triangle OCD par la rotation de centre O, d'angle 60° dans le sens des aiguilles d'une montre :
Par la rotation de centre O, d'angle 60° dans le sens des aiguilles d'une montre,
D est l'image de C et E est l'image de D.
D'où : l'image du triangle OCD par la rotation de centre O, d'angle 60° dans le sens des aiguilles d'une montre est le triangle ODE.




exercice 3

1. Montrons que le triangle CDE est rectangle en D :
On a d'une part : CD² + DE² = 9,6² + 4² = 92,16 + 16 = 108,16     et d'autre part, CE² = 10,4² = 108,16.
Comme CD² + DE² = CE², alors d'après la réciproque du théorème de Pythagore, on en déduit que le triangle CDE est rectangle en D.

2. Déduisons-en que les droites (AB) et (DE) sont parallèles :
On sait que les droites (AB) et (BD) sont perpendiculaires, ainsi que les droites (BD) et (DE).
Or, si deux droites sont perpendiculaires à une même troisième droite, alors elles sont parallèles entre elles.
On en déduit que les droites (AB) et (DE) sont parallèles.

3. Calculons la longueur AB :
Les droites (BD) et (AE) sont sécantes en C, les droites (AB) et (DE) sont parallèles. D'après le théorème de Thalès, on a :
\dfrac{\text{CD}}{\text{CB}} = \dfrac{\text{CE}}{\text{CA}} = \dfrac{\text{DE}}{\text{AB}}, donc \dfrac{9,6}{12} = \dfrac{10,4}{\text{CA}} = \dfrac{4}{\text{AB}}
De \dfrac{9,6}{12} = \dfrac{4}{\text{AB}}, on en déduit que : AB = \dfrac{4 \times 12}{9,6} = 5
D'où : AB = 5 cm.


Problème

1. Complétons le tableau suivant :
Nombre de cartouches achetées 2 5 11 14
Prix à payer en magasin en euros 30 75 165 210
Prix à payer par Internet en euros 60 90 150 180


Explications :
Prix à payer en magasin en euros :
En magasin, une cartouche d'encre coûte 15 €, donc :
deux cartouches coûtent 2 × 15 = 30 €, 11 cartouches coûtent 11 × 15 = 165 € et 14 cartouches coûtent 14 × 15 = 210 €.
Prix à payer par Internet en euros :
Sur Internet, les frais de livraison sont de 40 € et une cartouche coûte 10 €, donc :
deux cartouches coûtent 2 × 10 + 40 = 60 €, 11 cartouches coûtent 11 × 10 + 40 = 150 € et 14 cartouches coûtent 14 × 10 + 40 = 180 €.

2. a) Exprimons PA en fonction de x :
En magasin, une cartouche d'encre coûte 15 €. x cartouches d'encre coûteront 15x.
D'où : \text{P}_A(x) = 15x

2. b) Exprimons PB en fonction de x :
Sur internet, une cartouche d'encre coûte 10 euros, x cartouches coûteront 10x euros. Et nous devons ajouter à ce prix 40 € de frais de livraison.
D'où : \text{P}_B(x) = 10x + 40

3. Traçons les droites d et d' :
d représente la fonction linéaire : x \mapsto 15x. d est donc une droite passant par l'origine du repère.
De plus, 15 × 5 = 75, donc la droite d passe par le point de coordonnées (5 ; 75).

d' représente la fonction affine : x \mapsto 10x + 40. d' est donc une droite ne passant pas par l'origine du repère.
On a : 10 × 2 + 40 = 60 et 10 × 11 + 40 = 150, donc la droite d' passe par les points de coordonnées (2 ; 60) et (11 ; 150).

sujet du brevet groupement ouest 2006 : image 5


4. a) Pour l'achat de 6 cartouches, le prix le plus avantageux est le tarif A (en magasin) (pointillés rouges sur le graphique). On paie alors 90 €.

4. b) Sonia dispose de 80 euros pour acheter des cartouches. A l'aide du graphique (pointillés verts), on constate qu'il est plus avantageux pour Sonia d'acheter les cartouches en magasin. Elle pourra alors en acheter 5.

5. Les droites d et d' sont sécantes au point de coordonnées (8 ; 120). A partir de ce point, la droite d' passe au-dessous de la droite d. A partir de 8 cartouches, le prix sur Internet est inférieur ou égal à celui du magasin.
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