Fiche de mathématiques
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Diplôme National du Brevet
Groupement Nord - Session 2006

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Sujet donné dans les académies de Amiens, Créteil, Lille, Paris, Rouen et Versailles.

La rédaction et la présentation seront notées sur 4 points.
L'emploi des calculatrices est autorisé.
Coefficient : 2     Durée : 2 heures


12 points

Activités numériques

exercice 1

\text{A} = \dfrac13 + \dfrac56 \div \dfrac32 \hspace{25pt} \text{B} = 50\sqrt{45} - 3\sqrt{5} + 6\sqrt{125} \hspace{25pt} \text{C} = \dfrac{5 \times 10^{-2} \times 7 \times 10^5}{2 \times 10^7}

1. Calculer A en détaillant les étapes de calcul. Donner le résultat sous forme d'une fraction irréductible.

2. Écrire B sous la forme a\sqrt{5}a est un nombre entier. Détailler les étapes du calcul.

3. Calculer C et donner son écriture scientifique en détaillant les étapes de calcul.




exercice 2

Soit D = (2x + 3)^2 + (2x + 3)(7x - 2)

1. Développer et réduire D.

2. Factoriser D.

3. Calculer D pour x = -4.

4. Résoudre l'équation (2x + 3)(9x + 1) = 0.




exercice 3

Pierre a gagné 84 sucettes et 147 bonbons à un jeu. Etant très généreux, et ayant surout très peur du dentiste, il décide de les partager avec des amis. Pour ne pas faire de jaloux, chacun doit avoir le même nombre de sucettes et le même nombre de bonbons.

1. Combien de personnes au maximum pourront bénéficier de ces friandises (Pierre étant inclus dans ces personnes) ? Expliquer votre raisonnement.

2. Combien de sucettes et de bonbons aura alors chaque personne ?




exercice 4

1. Résoudre le système suivant :
\left \lbrace \begin{array}{c @{ = } c} 8x + 3y  &  39,5 \\ 7x + 9y  &  50,5  \\ \end{array} \right.

2. Une balade d'une heure en mer est proposée à deux groupes de touristes.
Le premier groupe, composé de 8 adultes et de 3 enfants, paie 39,50 €. Le second, composé de 7 adultes et de 9 enfants, paie 50,50 €.
Quel est donc le prix d'un ticket pour un adulte ? pour un enfant ?


12 points

Activités géométriques

exercice 1

1. Placer les points A(—3 ; 1), B(—1,5 ; 2,5) et C(3 ; —2) dans le repère orthonormé (O, I, J) de l'annexe ci-dessous.

2. Montrer que AC = \sqrt{45}.

3. Sachant que AB = \sqrt{4,5} et BC = \sqrt{40,5}, démontrer que ABC est un triangle rectangle.

4. Placer le point D image de C par la translation de vecteur \overrightarrow{\text{BA}}.

5. Quelle est la nature du quadrilatère ABCD ? Justifier votre réponse.
sujet du brevet groupement nord 2006 : image 1

Annexe





exercice 2

Soit un cercle de centre O et de diamètre [ST] tel que ST = 7 cm. Soit U un point de ce cercle tel que SU = 3 cm.

1. Faire une figure.

2. Démontrer que STU est un triangle rectangle en U.

3. Donner la valeur arrondie au dixième de l'angle \widehat{\text{STU}}.

4. En déduire une valeur approchée au dixième de \widehat{\text{SOU}}. Justifier votre réponse.




exercice 3

Sur la figure ci-dessous les mesures ne sont pas respectées.
sujet du brevet groupement nord 2006 : image 2


On a OA = 3\sqrt{3} cm, OD = \sqrt{3} cm, CO = 3 cm, \widehat{\text{AOB}} est un angle droit et \widehat{\text{OAB}} = 60°.

1. Montrer que OB = 9 cm.

2. Montrer que les droites (CD) et (AB) sont parallèles.


12 points

Problème

Sur la figure ci-dessous, SABCD est une pyramide à base carrée de hauteur [SA] telle que AB = 9 cm et SA = 12 cm. Le triangle SAB est rectangle en A.
sujet du brevet groupement nord 2006 : image 3


Partie A

EFGH est la section de la pyramide SABCD par le plan parallèle à la base et telle que SE = 3 cm.

1. a) Calculer EF.
   b) Calculer SB.
2. a) Calculer le volume de la pyramide SABCD.
   b) Donner le coefficient de réduction permettant de passer de la pyramide SABCD à la pyramide SEFGH.
   c) En déduire le volume de SEFGH. On donnera une valeur arrondie à l'unité.

Partie B

Soit M un point de [SA] tel que SM = x cm, où x est compris entre 0 et 12.
On appelle MNPQ la section de la pyramide SABCD par le plan parallèle à la base passant par M.
sujet du brevet groupement nord 2006 : image 4


1. Montrer que MN = 0,75x.

2. Soit A(x) l'aire du carré MNPQ en fonction de x. Montrer que A(x) = 0,5625 x^2.

3. Compléter le tableau ci-dessous.

x : longueur SM en cm 0 2 4 6 8 10 12
A(x) : aire du carré MNPQ              


4. Placer dans le repère du papier millimétré de l'annexe les points d'abscisse x et d'ordonnée A(x) données par le tableau.
sujet du brevet groupement nord 2006 : image 5

Annexe


5. L'aire de MNPQ est-elle proportionnelle à la longueur SM ? Justifier à l'aide du graphique.



Activités numériques

exercice 1

1. Calculons A :
\text{A} = \dfrac{1}{3} + \dfrac{5}{6} \div \dfrac{3}{2}\\ \text{A} = \dfrac{1}{3} + \dfrac{5}{6} \times \dfrac{2}{3}\\ A = \dfrac{1}{3} + \dfrac{5 \times 2}{6 \times 3}\\ A = \dfrac{1}{3} + \dfrac{5 \times 2}{2 \times 3 \times 3}\\ A = \dfrac{1}{3} + \dfrac{5}{9}\\ A = \dfrac{3}{9} + \dfrac{5}{9}\\ A = \dfrac{8}{9}

2. Calculons B :
\text{B} = 50\sqrt{45} - 3\sqrt{5} + 6\sqrt{125} \\ \text{B} = 50\sqrt{5 \times 3 \times 3} - 3\sqrt{5} + 6\sqrt{5 \times 5 \times5} \\ \text{B} = 50 \times 3 \sqrt{5} - 3\sqrt{5} + 6 \times 5\sqrt{5} \\ \text{B} = 150\sqrt{5} - 3\sqrt{5} + 30\sqrt{5} \\ \text{B} = 177\sqrt{5}

3. Calculons C :
\text{C} = \dfrac{5 \times 10^{-2} \times 7 \times10^5}{2 \times 10^7}\\ \text{C} = \dfrac{5 \times 7 \times 10^{-2+5}}{2 \times 10^7}\\ \text{C} = \dfrac{35 \times 10^3}{2 \times 10^7}\\ \text{C} = 17,5 \times 10^{3-7}\\ \text{C} = 17,5 \times 10^{-4}\\ \text{C} = 1,75 \times 10 \times 10^{-4}\\ \text{C} = 1,75\times10^{-3}




exercice 2

1. Développons et réduisons D :
\text{D} = (2x + 3)^2 + (2x + 3)(7x - 2)\\ \text{D} = (2x)^2 + 2 \times 2x \times 3 + 3^2 + 2x \times 7x + 2x \times (-2) + 3 \times 7x + 3 \times (-2)\\ \text{D} = 4x^2 + 12x + 9 + 14x^2 - 4x + 21x - 6\\ \text{D} = 18x^2 + 29x + 3

2. Factorisons D :
\text{D} = (2x + 3)^2 + (2x + 3)(7x - 2)\\ \text{D} = (2x + 3)[(2x + 3) + (7x - 2)]\\ \text{D} = (2x + 3)(2x + 3 + 7x - 2)\\ \text{D} = (2x + 3)(9x + 1)

3. Calculons D pour x = -4 :
Pour x = -4 :
D = 18 × (-4)² + 29 × (-4) + 3
D = 18 × 16 - 29 × 4 + 3
D = 288 - 116 + 3
D = 175

4. Résolvons l'équation :
(2x + 3)(9x + 1) = 0
Un produit de facteurs est nul si l'un au moins des facteurs est nul, et réciproquement.
2x + 3 = 0 ou 9x + 1 = 0
2x = -3 ou 9x = -1
x = -\dfrac{3}{2} ou x = -\dfrac{1}{9}
Les solutions de l'équation sont -\dfrac{3}{2} et -\dfrac19




exercice 3

1. Nombre maximal de personnes pouvant bénéficier de ces friandises :
Chacun doit avoir le même nombre de sucettes et le même nombre de bonbons, le nombre n de personnes divise donc le nombre de sucettes et le nombre de bonbons. Le nombre n est donc un diviseur de 84 et 147.
De plus, on veut que le nombre n de personnes bénéficiant des friandises soit maximal, donc n est le plus grand diviseur commun de 84 et 147 (le PGCD de 84 et 147).
Déterminons le PGCD de 84 et 147 :
Par la méthode des soustractions successives :
PGCD(147 ; 84) = PGCD(84 ; 63) car 147 - 84 = 63
PGCD(84 ; 63) = PGCD(63 ; 21) car 84 - 63 = 21
PGCD(63 ; 21) = PGCD(42 ; 21) car 63 - 21 = 42
PGCD(42 ; 21) = PGCD(21 ; 21) car 42 - 21 = 21
PGCD(21 ; 21) = 21
D'où : PGCD(147 ; 84) = 21

En utilisant l'algorithme d'Euclide :
147 = 84 × 1 + 63
84 = 63 × 1 + 21
63 = 21 × 3 + 0
Le dernier reste non nul est 21, donc PGCD(147 ; 84) = 21
D'où : 21 personnes pourront bénéficier des friandises.

2. Elles auront 84 : 21 = 4 sucettes et 147 : 21 = 7 bonbons chacune.




exercice 4

1. Résolvons le système :
\left \lbrace \begin{array}{c @{ = } c} 8x + 3y  &  39,5  \\ 7x + 9y  &  50,5 \\ \end{array} \right.
On multiplie la première équation par (-3) :
\left \lbrace \begin{array}{c @{ = } c} -24x - 9y  &  -118,5  \\ 7x + 9y  &  50,5 \\ \end{array} \right.
On additionne membre à membre :
-17x = -68\\ x = \dfrac{-68}{-17}\\ x = 4

En remplaçant x par 4 dans la première équation, on obtient :
8 × 4 + 3y = 39,5
32 + 3y = 39,5
3y = 39,5 - 32
3y = 7,5
y = \dfrac{7,5}{3}
y = 2,5
Le couple (4 ; 2,5) est solution du système.

2. Déterminons le prix d'un ticket pour un adulte et celui d'un ticket pour un enfant :
Soit x le prix d'un ticket pour un adulte
Soit y le prix d'un ticket pour un enfant.
" Le premier groupe, composé de 8 adultes et de 3 enfants, paie 39,50 € " se traduit par : 8x + 3y = 39,5
" Le second groupe, composé de 7 adultes et de 9 enfants, paie 50,50 € " se traduit par : 7x + 9y = 50,5
On obtient alors le système suivant : \left \lbrace \begin{array}{c @{ = } c} 8x + 3y  &  39,5 \\ 7x + 9y  &  50,5  \\ \end{array} \right.
Nous l'avons résolu à la question précédente.
D'où : le prix d'un ticket pour adulte est de 4 € et celui d'un ticket pour enfant est de 2,5 €.


Activités géométriques

exercice 1

1. Plaçons les points A, B et C :
sujet du brevet groupement nord 2006 : image 6


2. Montrons que AC = \sqrt{45} :
\text{AC}^2 = (x_C - x_A)^2 + (y_C - y_A)^2
AC² = (3 - (-3))² + (-2 - 1)²
AC² = 6² + (-3)²
AC² = 36 + 9
AC² = 45
D'où : AC = \sqrt{45}.

3. Démontrons que ABC est un triangle rectangle :
On a d'une part : AB² + BC² = \sqrt{4,5}^2 + \sqrt{40,5}^2 = 4,5 + 40,5 = 45,
et d'autre part : AC² = \sqrt{45}^2 = 45.
Comme AB² + BC² = AC², alors d'après la réciproque du théorème de Pythagore, le triangle ABC est rectangle en B.

4. Plaçons le point D image de C par la translation de vecteur \overrightarrow{\text{BA}} :
cf graphique

5. Déterminons la nature du quadrilatère ABCD :
On sait que le point D est l'image de C par la translation de vecteur \overrightarrow{\text{BA}}, donc \overrightarrow{\text{CD}} = \overrightarrow{\text{BA}}. ABCD est donc un parallélogramme.
De plus, comme ABC est rectangle en B, alors ABCD a un angle droit.
On en conclut que ABCD est un rectangle.




exercice 2

1.
sujet du brevet groupement nord 2006 : image 7


2. Démontrons que STU est un triangle rectangle en U :
On sait que U est un point du cercle de diamètre [ST], donc le triangle STU est rectangle en U.

3. Donnons la valeur arrondie au dixième de l'angle \widehat{\text{STU}} :
Dans le triangle STU rectangle en U, on a :
\sin \widehat{\text{STU}} = \dfrac{\text{SU}}{\text{ST}} = \dfrac37
Donc : \widehat{\text{STU}} \approx 25,4°.

4. Déduisons-en une valeur approchée au dixième de \widehat{\text{SOU}} :
L'angle au centre \widehat{\text{SOU}} et l'angle inscrit \widehat{\text{STU}} interceptent le même arc, donc :
\widehat{\text{SOU}} = 2 \times \widehat{\text{STU}} \approx 2 \times 25,4
D'où : \widehat{\text{SOU}} \approx 50,8°.




exercice 3

1. Montrons que OB = 9 cm :
Dans le triangle OAB rectangle en O, on a :
\tan \widehat{\text{OAB}} = \dfrac{\text{OB}}{\text{OA}},
donc OB = OA × \tan \widehat{\text{OAB}} = 3\sqrt{3} \times \tan 60^o = 3\sqrt{3} \times \sqrt{3} = 3 \times 3
Donc : OB = 9 cm

2. Montrons que les droites (CD) et (AB) sont parallèles :
On sait que les points A, O, D d'une part et B, O, D d'autre part sont alignés dans le même ordre.
On a : \dfrac{\text{OC}}{\text{OB}} = \dfrac{3}{9} = \dfrac13 \text{ et } \dfrac{\text{OD}}{\text{OA}} = \dfrac{\sqrt{3}}{3\sqrt{3}} = \dfrac13
Donc \dfrac{\text{OC}}{\text{OB}} = \dfrac{\text{OD}}{\text{OA}}, d'après la réciproque du théorème de Thalès, on en déduit que les droites (CD) et (AB) sont parallèles.


Problème

Partie A

1. a) Calculons EF :
Les droites (EA) et (FB) sont sécantes en S.
On sait que EFGH est la section de la pyramide SABCD par le plan parallèle à la base, donc les droites (EF) et (AB) sont parallèles.
D'après le théorème de Thalès, on a : \large \dfrac{SE}{SA} = \dfrac{SF}{SB} = \dfrac{EF}{AB}.
De \large \dfrac{SE}{SA} = \dfrac{EF}{AB}, on en déduit que \large \text{EF} = \dfrac{\text{SE} \times \text{AB}}{\text{SA}} = \dfrac{3 \times 9}{12} = \dfrac94
D'où : EF = 2,25 cm.

1. b) Calculons SB :
Dans le triangle SAB rectangle en A, on applique le théorème de Pythagore :
SB² = SA² + AB², donc :
SB² = 12² + 9²
SB² = 144 + 81
SB² = 225
Donc : SB = \sqrt{225}
D'où : SB = 15 cm

2. a) Calculons le volume de la pyramide SABCD :
\mathscr{V}_{\text{SABCD}} = \dfrac13 \times \mathscr{B} \times h\\ \mathscr{V}_{\text{SABCD}} = \dfrac13 \times \text{AB}^2 \times \text{SA}\\ \mathscr{V}_{\text{SABCD}} = \dfrac13 \times 9^2 \times 12 = 324
D'où : le volume de la pyramide SABCD est de 324 cm³.

2. b) Le coefficient de réduction permettant de passer de la pyramide SABCD à la pyramide SEFGH est donné par \text{k} = \dfrac{\text{SE}}{\text{SA}} = \dfrac{3}{12} = \dfrac14

2. c) Déduisons-en le volume de SEFGH :
\mathscr{V}_{\text{SEFGH}} = \text{k}^3 \times \mathscr{V}_{\text{SABCD}} = \left(\dfrac14\right)^3 \times 324 = \dfrac{324}{64} = 5,0625
D'où : le volume de la pyramide SEFGH est d'environ 5 cm³.

Partie B

1. Montrons que MN = 0,75x :
On sait que MNPQ est la section de la pyramide SABCD par le plan parallèle à la base passant par M, donc les droites (MN) et (AB) sont parallèles.
De plus, les droites (AM) et (BN) sont sécantes en S, alors d'après le thorème de Thalès, on a :
\dfrac{\text{SM}}{\text{SA}} = \dfrac{\text{SN}}{\text{SB}} = \dfrac{\text{MN}}{\text{AB}}.
De \dfrac{\text{SM}}{\text{SA}} = \dfrac{\text{MN}}{\text{AB}}, on en déduit que \text{MN} = \dfrac{\text{SM} \times \text{AB}}{\text{SA}} = \dfrac{x \times 9}{12}
D'où : MN = 0,75x (en cm).

2. Montrons que A(x) = 0,5625 x^2 :
L'aire du carré MNPQ en fonction de x est donnée par :
A(x) = MN² = (0,75 x)^2
D'où : A(x) = 0,5625 x^2 (en cm²)

3. Complétons le tableau :

x : longueur SM en cm 0 2 4 6 8 10 12
A(x) : aire du carré MNPQ 0,5625 × 0² = 0 0,5625 × 2² = 2,25 0,5625 × 4² = 9 0,5625 × 6² = 20,25 0,5625 × 8² = 36 0,5625 × 10² = 56,25 0,5625 × 12² = 81


4. Plaçons dans le repère les points d'abscisse x et d'ordonnée A(x) données par le tableau :
sujet du brevet groupement nord 2006 : image 8


5. Les points d'abscisse x et d'ordonnée A(x) ne sont pas alignés, donc l'aire de MNPQ est-elle proportionnelle à la longueur SM.
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