Fiche de mathématiques
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Diplôme National du Brevet
Groupement Sud - Session 2006

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Sujet donné dans les académies de Aix-Marseille, Corse, Montpellier, Nice et Toulouse.

La rédaction et la présentation seront notées sur 4 points.
L'emploi des calculatrices est autorisé.
Coefficient : 2     Durée : 2 heures


12 points

Activités numériques

exercice 1

En précisant les différentes étapes de calcul :

1. Écrire le nombre A ci-dessous sous forme d’une fraction irréductible :
A = \dfrac{3-\dfrac{2}{3}}{\dfrac{4}{3} \times 7}

2. Ecrire le nombre B ci-dessous sous la forme a\sqrt{b} , où a et b sont des nombres entiers, b étant le plus petit possible :
B = \sqrt{300}-4\sqrt{3}+3\sqrt{12}

3. Donner l’écriture scientifique de C :
C = \dfrac{49\times10^3\times6\times10^{-10}}{14\times10^{-2}}




exercice 2

On donne : D = (2x - 3)(5 - x) + (2x - 3)^2

1. Développer et réduire D.

2. Factoriser D.

3. Résoudre l’équation : (2x-3)(x+2)=0.




exercice 3

1. Résoudre le système \left \lbrace \begin{array}{c @{ = } c} 6x+5y & 57 \\ 3x+7y & 55,5  \\ \end{array} \right.

2. Pour classer des photos, un magasin propose deux types de rangement : des albums ou des boîtes. Léa achète 6 boîtes et 5 albums et paie 57 € ; Hugo achète 3 boîtes et 7 albums et paie 55,50 €. Quel est le prix d’une boîte ? Quel est le prix d’un album ?


12 points

Activités géométriques

exercice 1

La figure ci-dessous n’est pas réalisée en vraie grandeur, elle n’est pas à reproduire.
sujet du brevet groupement sud 2006 : image 1

Les points A, C et F sont alignés, ainsi que les points B, C et G.
Les droites (AB) et (GF) sont parallèles.
AB = 3 cm   ;   FC = 8,4 cm   ;   FG = 11,2 cm

1. Calculer la longueur CA.

2. Soient D le point du segment [CF] et E le point du segment [GF] tels que : FD = 6,3 cm et FE = 8,4 cm.
Montrer que les droites (GC) et (ED) sont parallèles.




exercice 2

1. Construire un triangle ABC rectangle en C tel que AC = 5 cm et  \widehat{\text{BAC}} = 40°.

2. Calculer la longueur BC (On donnera une valeur arrondie au millimètre).

3. a) Où se trouve le centre O du cercle circonscrit au triangle ABC ? Justifier.
    b) Tracer ce cercle.

4. En déduire la mesure de l’angle \widehat{\text{BOC}}.




exercice 3

Pour la pyramide SABCD ci-dessous :
sujet du brevet groupement sud 2006 : image 2

La base est le rectangle ABCD de centre O.
AB = 3 cm et BD = 5 cm.
La hauteur [SO] mesure 6 cm.

1. Montrer que AD = 4 cm.

2. Calculer le volume de la pyramide SABCD en cm3.

3. Soit O' le milieu de [SO].
On coupe la pyramide par un plan passant par O' et parallèle à sa base.
    a) Quelle est la nature de la section A'B'C'D' obtenue ?
    b) La pyramide SA'B'C'D' est une réduction de la pyramide SABCD. Donner le rapport de cette réduction.
    c) Calculer le volume de la pyramide SA'B'C'D'.


12 points

Problème

La station de ski Blanche Neige propose les tarifs suivants pour la saison 2004-2005 :
    Tarif A : Chaque journée de ski coûte 20 euros.
    Tarif B : En adhérant au club des sports dont la cotisation annuelle s’élève à 60 euros, on bénéficie d’une réduction de 30 % sur le prix de chaque journée à 20 euros.

1. Yann est adhérent au club des sports de la station. Sachant qu’il a déjà payé sa cotisation annuelle, expliquez pourquoi il devra payer 14 euros par journée de ski.

2. Reproduire et compléter le tableau suivant :
Nombre de jours de ski pour la saison 2004-2005 5 8  
Coût en euros avec le tarif A 100   220
Coût en euros avec le tarif B 130    


3. On appelle x le nombre de journées de ski durant la saison 2004-2005. Exprimer en fonction de x :
    a) Le coût annuel CA en euros pour un utilisateur ayant choisi le tarif A.
    b) Le coût annuel CB en euros pour un utilisateur ayant choisi le tarif B.

4. Sachant que Yann adhérent au club a dépensé au total 242 €, combien de jours a-t-il skié ?

5. Sur le papier millimétré, dans un repère orthogonal, prendre :
    en abscisses : 1 cm pour 1 jour de ski.
    en ordonnées : 1 cm pour 10 euros.
On placera l’origine du repère en bas à gauche de la feuille, l’axe des abscisses étant tracé sur le petit côté de la feuille.
Tracer dans ce repère les représentations graphiques des fonctions affines f et g définies par : f(x)=20x ; g(x)=14x+60.

6. Dans cette partie, on répondra aux différentes questions en utilisant le graphique (faire apparaître sur le graphique les traits nécessaires).
    a) Léa doit venir skier douze journées pendant la saison 2004-2005. Quel est pour elle le tarif le plus intéressant ? Quel est le prix correspondant ?
    b) En étudiant les tarifs de la saison, Chloé constate que, pour son séjour, les tarifs A et B sont égaux. Combien de journées de ski prévoit-elle de faire ? Quel est le prix correspondant ?



Activités numériques

exercice 1

1. Ecrivons le nombre A sous forme d’une fraction irréductible :
\text{A} = \dfrac{3-\dfrac{2}{3}}{\dfrac{4}{3} \times 7}\\ \text{A} = \dfrac{\dfrac93 - \dfrac23}{\dfrac{28}{3}}\\ \text{A} = \dfrac{\dfrac73}{\dfrac{28}{3}}\\ \text{A} = \dfrac73 \times \dfrac{3}{28}\\ \text{A} = \dfrac{7 \times 3}{3 \times 7 \times 4}\\ \text{A} = \dfrac14

2. Ecrivons le nombre B sous la forme a\sqrt{b} , où a et b sont des nombres entiers, b étant le plus petit possible :
\text{B} = \sqrt{300}-4\sqrt{3}+3\sqrt{12}\\ \text{B} = \sqrt{100 \times 3} - 4\sqrt{3} + 3\sqrt{4 \times 3}\\ \text{B} = 10\sqrt{3} - 4\sqrt{3} + 3 \times 2\sqrt{3}\\ \text{B} = 6\sqrt{3} + 6\sqrt{3}\\ \text{B} = 12\sqrt{3}

3. Donnons l’écriture scientifique de C :
\text{C} = \dfrac{49\times10^3\times6\times10^{-10}}{14\times10^{-2}}\\ \text{C} = \dfrac{49 \times 6 \times 10^{3-10}}{14\times10^{-2}}\\ \text{C} = \dfrac{7 \times 7 \times 3 \times 2 \times 10^{-7}}{2 \times 7 \times 10^{-2}}\\ \text{C} = 7 \times 3\times 10^{-7 - (-2)}\\ \text{C} = 21 \times 10^{-5}\\ \text{C} = 2,1 \times 10 \times 10^{-5}\\ \text{C} = 2,1 \times 10^{-4}\\




exercice 2

1. Développons et réduisons D :
\text{D} = (2x - 3)(5 - x) + (2x - 3)^2\\ \text{D} = 2x \times 5 - 2x \times x - 3 \times 5 + 3 \times x + (2x)^2 - 2 \times 2x \times 3 + 3^2\\ \text{D} = 10x - 2x^2 - 15 + 3x + 4x^2 - 12x + 9\\ \text{D} = 2x^2 + x - 6

2. Factorisons D :
\text{D} = (2x - 3)(5 - x) + (2x - 3)^2\\ \text{D} = (2x - 3)[(5 - x) + (2x - 3)]\\ \text{D} = (2x - 3)(5 - x + 2x - 3)\\ \text{D} = (2x - 3)(x + 2)

3. Résolvons l’équation :
(2x - 3)(x + 2) = 0
Un produit de facteurs est nul si l'un au moins de ses facteurs est nul, et réciproquement.
2x - 3 = 0 \hspace{10pt} \text{ ou } \hspace{10pt} x + 2 = 0\\ 2x = 3 \hspace{10pt} \text{ ou } \hspace{10pt} x = -2\\ x = \dfrac32
Les solutions de l'équation sont -2 et \dfrac32.




exercice 3

1. Résolvons le système :
\left \lbrace \begin{array}{c @{ = } c} 6x+5y & 57 \\ 3x+7y & 55,5  \\ \end{array} \right.
On multiplie les membres de la deuxième équation par (-2) :
\left \lbrace \begin{array}{c @{ = } c} 6x+5y & 57 \\ -6x-14y & -111  \\ \end{array} \right.
On ajoute membre à membre, on obtient :
-9y = -54
y = \dfrac{-54}{-9}
y = 6

On remplace y par 6 dans la première équation :
6x + 5 \times 6 = 57\\ 6x + 30 = 57\\ 6x = 57 - 30\\ 6x = 27\\ x = \dfrac{27}{6}\\ x = 4,5
La solution du système est le couple (4,5 ; 6).

2. Déterminons les prix d'une boîte et d'un album :
Soit x le prix d'une boîte et soit y le prix d'un album.
" Léa achète 6 boîtes et 5 albums et paie 57 € " se traduit par : 6x + 5y = 57
" Hugo achète 3 boîtes et 7 albums et paie 55,50 € " se traduit par 3x + 7y = 55,5
On obtient alors le système suivant : \left \lbrace \begin{array}{c @{ = } c} 6x+5y & 57 \\ 3x+7y & 55,5  \\ \end{array} \right.
Nous l'avons résolu à la question précédente.
D'où : une boîte coûte 4,50 € et un album coûte 6 €.


Activités géométriques

exercice 1

1. Calculons la longueur CA :
Les droites (AF) et (BG) sont sécantes en C, les droites (AB) et (GF) sont parallèles. D'après le théorème de Thalès, on a :
\dfrac{\text{CA}}{\text{CF}} = \dfrac{\text{CB}}{\text{CG}} = \dfrac{\text{AB}}{\text{GF}}
De \dfrac{\text{CA}}{\text{CF}} = \dfrac{\text{AB}}{\text{GF}}, on en déduit que CA = \dfrac{\text{AB} \times \text{CF}}{\text{GF}} = \dfrac{3 \times 8,4}{11,2} = \dfrac{25,2}{11,2}
D'où : CA = 2,25 cm.

2. Montrons que les droites (GC) et (ED) sont parallèles :
Les points F, D, C d'une part et F, E, G d'autre part sont alignés dans le même ordre.
On a : \dfrac{\text{FD}}{\text{FC}} = \dfrac{6,3}{8,4} = \dfrac{63}{84} = \dfrac{3}{4} et \dfrac{\text{FE}}{\text{FG}} = \dfrac{8,4}{11,2} = \dfrac{84}{112} = \dfrac{3}{4}
Comme \dfrac{\text{FD}}{\text{FC}} = \dfrac{\text{FD}}{\text{FC}}, alors d'après la réciproque du théorème de Thalès, les droites (GC) et (ED) sont parallèles.




exercice 2

1. Construisons le triangle ABC :
sujet du brevet groupement sud 2006 : image 3


2. Calculons la longueur BC :
Dans le triangle ABC rectangle en C, on a :
\tan \widehat{\text{BAC}} = \dfrac{\text{BC}}{\text{AC}}
Donc : \text{BC} = \text{AC} \times \tan \widehat{\text{BAC}} = 5 \times \tan 40^o
D'où : BC \approx 4,2 cm

3. a) On sait que ABC est un tirangle rectangle en C, donc le centre O du cercle circonscrit au triangle ABC est le milieu de son hypoténuse [AB].

3. b) Traçons ce cercle :
cf graphique

4. Déduisons-en la mesure de l’angle \widehat{\text{BOC}} :
L'angle au centre \widehat{\text{BOC}} et l'angle inscrit \widehat{\text{BAC}} interceptent le même arc de cercle, donc \widehat{\text{BOC}} = 2 \times \widehat{\text{BAC}} = 2 \times 40
D'où : \widehat{\text{BOC}} = 80°.




exercice 3

1. Montrons que AD = 4 cm :
La base ABCD de la pyramide est un rectangle, donc le triangle ABD est rectangle en A. On applique le théorème de Pythagore :
BD² = AD² + AB², donc :
AD² = BD² - AB²
AD² = 5² - 3²
AD² = 25 - 9
AD² = 16
Donc : AD = \sqrt{16}
D'où : AD = 4 cm.

2. Calculons le volume de la pyramide SABCD :
\mathscr{V}_{\text{SABCD}} = \dfrac13 \times \mathscr{A}_{ABCD} \times h\\ \mathscr{V}_{\text{SABCD}} = \dfrac13 \times \text{AB} \times \text{AD} \times \text{SO}\\ \mathscr{V}_{\text{SABCD}} = \dfrac13 \times 3 \times 4 \times 6\\ \mathscr{V}_{\text{SABCD}} = 4 \times 6
D'où : le volume de la pyramide SABCD est de 24 cm3.

3. a) On coupe la pyramide SABCD par un plan passant par O' et parallèle à sa base. Sa base est un rectangle, donc la section A'B'C'D' obtenue est un rectangle.

3. b) Le rapport de cette réduction est égal à \text{k} = \dfrac{\text{SO'}}{\text{SO}} = \dfrac{1}{2} car O' est le milieu de [SO].

3. c) Calculons le volume de la pyramide SA'B'C'D' :
\mathscr{V}_{\text{SA'B'C'D'}} = k^3 \times \mathscr{V}_{\text{SABCD}} = \left(\dfrac12\right)^3 \times 24 = 3
Le volume de la pyramide SA'B'C'D' est de 3 cm3.


Problème

1. Expliquons pourquoi Yann devra payer 14 euros par journée de ski :
Etant adhérent au club des sports, Yann bénéficie d'une réduction de 30% sur le prix de xhaque journée à 20 euros. Il paiera donc 20 - \dfrac{30}{100} \times 20 = 20 - 6 = 14 euros chaque journée de ski.

2. Complétons le tableau suivant :
Nombre de jours de ski pour la saison 2004-2005 5 8 11
Coût en euros avec le tarif A 100 160 220
Coût en euros avec le tarif B 130 172 214


Explications :
Avec le tarif A, on paie chaque journée de ski 20 euros. On paiera donc 8 × 20 = 160 euros pour 8 journées de ski.
Avec le tarif B, on paie 60 euros de cotisation, puis chaque journée de ski coûte 14 euros. Pour 8 journées de ski, on paiera alors : 60 + 8 × 14 = 60 + 112 = 172 euros.
Avec le tarif A, chaque journée de ski coûte 20 euros. Pour 220 euros, on peut donc skier 220 : 20 = 11 jours.
Avec le tarif B, pour 11 journées de ski, on paie : 60 + 11 × 14 = 60 + 154 = 214 euros.

3. a) Exprimons en fonction de x le coût annuel CA en euros pour un utilisateur ayant choisi le tarif A :
L'utilisateur paiera 20 euros par journées de ski. S'il skie x journées, il paiera 20x (en euros).
D'où : \text{C}_A(x) = 20x

3. a) Exprimons en fonction de x le coût annuel CB en euros pour un utilisateur ayant choisi le tarif B :
L'utilisateur devra payé 60 euros de cotisation au club, puis il paiera 14 euros chaque journée de ski. Pour x journées de ski, il paiera donc : 60 + 14x (en euros).
D'où : \text{C}_B(x) = 60 + 14x

4. Déterminons le nombre de jours skiés par Yann :
Yann est adhérent au club, il bénéficie donc du tarif B. Pour x journées de ski, il paie \text{C}_B(x) = 60 + 14x.
Pour déterminer le nombre de jours skiés par Yann, résolvons l'équation suivante :
\text{C}_B(x) = 60 + 14x = 242\\ 14x = 242 - 60\\ 14x = 182\\ x = \dfrac{182}{14}\\ x = 13
D'où : Yann, adhérent au club, a skié 13 jours en dépensant 242 €.

5. Traçons dans le repère les représentations graphiques des fonctions f et g :
La fonction f est une fonction linéaire. Sa représentation graphique est une droite passant par l'origine du repère.
De plus, f(5) = 20 \times 5 = 100, donc la droite passe par le point de coordonnées (5 ; 100).

La fonction g est une fonction affine. Sa représentation graphique est une droite ne passant pas par l'origine du repère.
De plus, g(2) = 14 × 2 + 60 = 88 et g(7) = 14 × 7 + 60 = 98 + 60 = 158, donc la droite passe par les points de coordonnées (2 ; 88) et (7 ; 158).
Plaçons ces différents points dans le repère :
sujet du brevet groupement sud 2006 : image 4


6. a) Si Léa vient skier douze journées, le tarif le plus intéressant est le tarif B (cf pointilles rouges). Elle paiera alors 228 euros.

6. b) A l'aide du graphique, on voit que les tarifs A et B sont égaux pour 10 journées de ski (cf pointillés verts). Chloé prévoit donc de skier 10 jours, elle paiera alors 200 euros.
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