Fiche de mathématiques
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Diplôme National du Brevet
Pondichéry - Session Avril 2008

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L'usage de la calculatrice est autorisé, dans le cadre de la réglementation en vigueur.
La qualité de rédaction et la présentation seront notées sur 4 points.
Coefficient : 2     Durée : 2 heures


12 points

Activités numériques


5 points

exercice 1

Pour chaque ligne du tableau ci-dessous, trois réponses sont proposées ; une seule est exacte.
Indiquer sur la copie le numéro de la ligne et recopier la réponse exacte.
Aucune justification n'est demandée.

1. 28 × 10-3 est égal à 0,280 0,028 28 000
2. \sqrt{50} est égal à 25\sqrt{2} 2\sqrt{5} 5\sqrt{2}
3. \left(\dfrac{3}{4}\right)^2 - \dfrac{1}{4} est égal à 2 \dfrac{1}{2} \dfrac{5}{16}
4. \dfrac{2}{3} - \dfrac{5}{6} + 1 est égal à \dfrac{5}{6} -\dfrac{7}{6} 0
5. L'équation \dfrac{x}{2} = \dfrac{6}{5} a pour solution 3 \dfrac{5}{3} \dfrac{12}{5}



4 points

exercice 2

1. On pose \text{A} = (x - 1)^2 + x^2 + (x + 1)^2.
    a) Développer et réduire A.
    b) Déterminer trois nombres entiers positifs consécutifs, (x - 1), \, x \text{ et } (x + 1) dont la somme des carrés est 1 325.

2. On pose \text{B} = 9x^2 - 64.
    a) Factoriser B.
    b) Déterminer les deux nombres relatifs dont le carré du triple est égal à 64.


3 points

exercice 3

1. Résoudre le système suivant :
\left \lbrace \begin{array}{c @{ = } c} x + y & 43 \\ 3x + 5y ~&~ 163 \end{array} \right.

2. Une entreprise artisanale fabrique deux types d'objets en bois, notés A et B.
Un objet de type A nécessite 3 kg de bois et un objet de type B nécessite 5 kg de bois.
Pendant une journée, l'entreprise a utilisé 163 kg de bois pour fabriquer 43 objets.
Déterminer le nombre d'objets réalisés pour chaque type.


12 points

Activités géométriques


6 points

exercice 1

La figure ci-dessous n'est pas en vraie grandeur. Il n'est pas demandé de la reproduire.
Diplôme national du brevet Pondichéry Avril 2008 - troisième : image 1
\mathcal{C} est un cercle de diamètre [OS] tel que OS = 7 cm.
R est un point du cercle tel que OR = 5,6 cm.
A est le point de la demi-droite [SO) tel que OA = 10 cm.
B est le point de la demi-droite [RO) tel que OB = 8 cm.

1. Démontrer que les droites (AB) et (RS) sont parallèles.
2. Déterminer la nature du triangle ORS, puis celle du triangle AOB.
3. En déduire la mesure de l'angle \widehat{\text{AOB}}, arrondie au degré.


6 points

exercice 2

Soit (O, I, J) un repère orthonormé.

1. Sur votre copie, construire le repère et placer les points suivants : A(4 ; 2)     B(3 ; -1)     C(6 ; -2)

2. Calculer les distances AC et AB.
Pour la suite, on admet que \text{BC} = \sqrt{10}

3. Préciser la nature du triangle ABC.

4. On appelle E le symétrique de B par rapport à A. On appelle D l'image de E par la translation de vecteur \overrightarrow{\text{BC}}.
Placer E et D dans le repère précédent.

5. Démontrer que le quadrilatère BCDE est un rectangle.

6. Déterminer l'aire du rectangle BCDE puis l'aire du quadrilatère ACDE.


12 points

Problème

Les parties A et B sont indépendantes.

Partie A

Noémie confectionne des cadres et des dessous de plats en mosaïque, qu'elle commercialise vers l'Espagne.
A partir de son stock, elle répartit 376 cadres et 470 dessous de plats dans des colis identiques.

1. Calculer le nombre maximal de colis réalisables.
2. Calculer le nombre de cadres et le nombre de dessous de plats contenus dans un colis.

Partie B

Pour acheminer ses colis vers ses clients espagnols, Noémie doit choisir entre deux trains au départ de Paris et à destination de l'Espagne.
Le train 1, train de marchandises, roule à la vitesse constante de 110 km/h et quitte Paris à minuit (0h00).
Le train 2, convoi rapide de marchandises, roule à la vitesse constante de 165 km/h et quitte Paris à 4h00.

1. a) Justifier les trois nombres inscrits en italique dans le tableau suivant.
    b) Compléter ce tableau.
Heure 0h00 1h00 4h00 5h00 10h00 15h00
Distance parcourue
par le train 1 (en km)
      550    
Distance parcourue
par le train 2 (en km)
    0 165    

2. On se place dans un repère orthogonal tel que :
   en abscisse, 1 cm représente 1 heure ;
   en ordonnée, 1 cm représente 55 kilomètres.
Tracer :
   le segment de la droite (d1) représentant le nombre de kilomètres effectués par le train 1 de 0 h 00 à 15 h 00.
   le segment de la droite (d2) représentant le nombre de kilomètres effectués par le train 2 de 4 h 00 à 15 h 00.

3. Par lecture graphique, répondre à la question suivante en faisant apparaître les tracés nécessaires : à quelle heure le train 2 rattrapera-t-il le train 1 ? A quelle distance de Paris ?

4. Noémie souhaite que les colis arrivent le plus tôt possible à leurs destinataires.
    a) Quel train privilégier si ses clients se trouvent à Barcelone, située à 1 100 km de Paris ?
    b) Quel train privilégier si ses clients se trouvent à Séville, située à 1 766 km de Paris ?
Pour a) et b), expliquer brièvement la démarche utilisée.






Activités numériques


exercice 1

1. 28 \times 10^{-3} = \boxed{0,028}

2. \sqrt{50} = \sqrt{25 \times 2} = \sqrt{25} \times \sqrt{2} = \boxed{5 \sqrt{2}}

3. \left(\dfrac{3}{4}\right)^2 - \dfrac{1}{4} = \dfrac{3^2}{4^2} - \dfrac{1}{4} = \dfrac{9}{16} - \dfrac{4}{16} = \boxed{\frac{5}{16}}

4. \dfrac{2}{3} - \dfrac{5}{6} + 1 = \dfrac{4}{6} - \dfrac{5}{6} + \dfrac{6}{6} = \boxed{\frac{5}{6}}

5. \dfrac{x}{2} = \dfrac{6}{5} équivaut successivement à :
5x = 6 \times 2 \\ x = \dfrac{6 \times 2}{5} = \frac{12}{5}
L'équation \dfrac{x}{2} = \dfrac{6}{5} a pour solution \boxed{\frac{12}{5}}




exercice 2

1. a) Développons et réduisons A :
\text{A} = (x - 1)^2 + x^2 + (x + 1)^2\\ \text{A} = x^2 - 2x + 1 + x^2 + x^2 + 2x + 1\\ \boxed{\text{A} = 3x^2 + 2}

1. b) Déterminer trois nombres entiers positifs consécutifs, (x - 1), \, x \text{ et } (x + 1) dont la somme des carrés est 1 325 revient à trouver un entier positif tel que : (x - 1)^2 + x^2 + (x + 1)^2 = 1325. Résolvons cette équation : (x - 1)^2 + x^2 + (x + 1)^2 = 1325 équivaut à 3x^2 + 2 = 1325 d'après la question précédente.
3x^2 = 1325-2\\ 3x^2 = 1323\\ x^2 = \dfrac{1323}{3} \\ x^2 = 441 \\ x^2 - 441 = 0 \\ x^2 - 21^2 = 0 \\ (x - 21)(x + 21) = 0
Un produit de facteurs est nul si l'un au moins de ses facteurs est nul, et réciproquement, donc :
x - 21 = 0 \text{ ou } x + 21 = 0 \\ x = 21 \text{ ou } x = -21
x étant un entier positif, seule la solution x = 21 convient.
D'où : les trois nombres entiers consécutifs dont la somme des carrés est 1 325 sont : x - 1 = 21 - 1 = 20 \, ; \, x = 21\, ; \, x + 1 = 21 + 1 = 22.

2. a) Fatorisons B :
\text{B} = 9x^2 - 64\\ \text{B} = (3x)^2 - 8^2 \text{ (identité remarquable de la forme } a^2 - b^2) \\ \boxed{\text{B} = (3x - 8)(3x + 8)}

2. b) Déterminer les deux nombres relatifs dont le carré du triple est égal à 64 revient à trouver les nombres relatifs x tels que (3x)^2 = 64, ce qui équivaut à :
(3x)^2 - 64 = 0 \\ (3x - 8)(3x + 8) = 0 \text{(d'après la question précédente)} \\ \begin{array}{lcl} 3x - 8 = 0 & \text{ ou } & 3x + 8 = 0 \\ 3x = 8 & & 3x = -8 \\ x = \dfrac{8}{3} & & x = -\dfrac{8}{3}\\ \end{array}
D'où : les deux nombres relatifs dont le carré du triple est égal à 64 sont -\dfrac{8}{3} \text{ et } \dfrac{8}{3}.




exercice 3

1. Résolvons le système \left \lbrace \begin{array}{l} x + y = 43 (1) \\ 3x + 5y = 163 (2) \end{array} \right. par substitution :
A l'aide de l'équation (1), on obtient x = 43 - y. En remplaçant x par 43 - y dans l'équation (2), on obtient :
3x + 5y = 163 \\\ 3(43 - y) + 5y = 163 \\ 129 - 3y + 5y = 163 \\ 129 + 2y = 163\\ 2y = 163 - 129 \\ 2y = 34 \\ y = \dfrac{34}{2} \\ \boxed{y = 17}

On en déduit x : x = 43 - y = 43 - 17 = \boxed{26}

Vérification : x + y = 26 + 17 = 43
et 3x + 5y = 3 \times 26 + 5 \times 17 = 78 + 85 = 163

La solution du système est le couple \boxed{(26 \, ; \, 17)}.

2. Soit x le nombre d'objets de type A, soit y le nombre d'objets de type B.
L'entreprise a réalisé 43 objets, donc x + y = 43.
L'entreprise a utilisé 163 kg de bois (sachant qu'un objet de type A nécessite 3 kg de bois et un objet de type B nécessite 5 kg de bois), donc 3x + 5y = 163
On obtient alors le système suivant : \left \lbrace \begin{array}{l} x + y = 43 \\ 3x + 5y = 163 \end{array} \right.
D'après la question précédente, le système a pour solution le couple (26 ; 17).
D'où : l'entreprise a réalisé 26 objets de type A et 17 objets de type B.


Activités géométriques


exercice 1

1. Les points A, O, S d'une part et B, O, R d'autre part sont alignés dans le même ordre.
On a : \dfrac{\text{OA}}{\text{OS}} = \dfrac{10}{7}     et     \dfrac{\text{OB}}{\text{OR}} = \dfrac{8}{5,6} = \dfrac{80}{56} = \dfrac{10}{7}
Donc \dfrac{\text{OA}}{\text{OS}} = \dfrac{\text{OB}}{\text{OR}}
D'après la réciproque du théorème de Thalès, on en déduit que les droites (AB) et (RS) sont parallèles.

2. Déterminons la nature du triangle ORS :
R est un point du cercle de diamètre [OS], donc le triangle ORS est rectangle en R.

   Déterminons la nature du triangle AOB :
On sait que ORS est un triangle rectangle en R, donc les droites (OR) et (RS) sont perpendiculaires.
On a montré que les droites (AB) et (RS) étaient parallèles.
On en déduit que les droites (OB) et (AB) sont perpendiculaires.
D'où : le triangle AOB est rectangle en B.

3. Dans le triangle AOB rectangle en B, on a :
\cos \left(\widehat{\text{AOB}} \right) = \dfrac{\text{OB}}{\text{OA}} = \dfrac{8}{10} = 0,8
Donc : \widehat{\text{AOB}} = \cos^{-1} (0,8) \approx 37^o
D'où : l'angle \widehat{\text{AOB}} mesure environ 37°.




exercice 2

1.
Diplôme national du brevet Pondichéry Avril 2008 - troisième : image 2


2. Calculons la distance AC :
\text{AC}^2 = (x_{\text{C}} - x_{\text{A}})^2 + (y_{\text{C}} - y_{\text{A}})^2 \\ \text{AC}^2 = (6 - 4)^2 + (-2 - 2)^2 \\ \text{AC}^2 = 2^2 + 4^2 \\ \text{AC}^2 = 4 + 16 \\ \text{AC}^2 = 20
D'où : \text{AC} = \sqrt{20} = \sqrt{4 \times 5} = \boxed{2\sqrt{5}}

   Calculons la distance AB :
\text{AB}^2 = (x_{\text{B}} - x_{\text{A}})^2 + (y_{\text{B}} - y_{\text{A}})^2 \\ \text{AB}^2 = (3 - 4)^2 + (-1 - 2)^2 \\ \text{AB}^2 = (-1)^2 + (-3)^2 \\ \text{AB}^2 = 1 + 9 \\ \text{AB}^2 = 10
D'où : \boxed{\text{AB} = \sqrt{10}}

3. On sait que \text{AB}^2 + \text{BC}^2 = (\sqrt{10})^2 + (\sqrt{10})^2 = 10 + 10 = 20 et que \text{AC}^2 = (\sqrt{20})^2 = 20
Donc : AB² + BC² = AC².
D'après la réciproque du théorème de Pythagore, on en déduit que le triangle ABC est rectangle en B.
De plus, on sait que \text{AB} = \text{BC} = \sqrt{10}, donc le triangle ABC est isocèle en B.
Conclusion : le triangle ABC est rectangle et isocèle en B.

4. cf repère précédent

5. On sait que D est l'image de E par la translation de vecteur \overrightarrow{\text{BC}}, donc \overrightarrow{\text{ED}} = \overrightarrow{\text{BC}}.
Donc le quadrilatère BCDE est un parallélogramme.
De plus, on sait que le triangle ABC est rectangle en B, donc que les droites (BE) et (BC) sont perpendiculaires.
Donc le parallélogramme BCDE a un angle droit.
Conclusion :[ le quadrilatère BCDE est un rectangle.

6. Déterminons l'aire du rectangle BCDE :
\mathcal{A}_{\text{BCDE}} = \text{BE} \times {BC}
Or, on sait que E est le symétrique de B par rapport à A, donc \text{BE} = 2 \times \text{BA} = 2\sqrt{10}
D'où : \mathcal{A}_{\text{BCDE}} = \text{BE} \times {BC} = 2 \sqrt{10} \times \sqrt{10} = 2 \times 10 = 20
D'où : l'aire du rectange BCDE est de 20 unités d'aire.

   Déterminons l'aire du quadrilatère ACDE :
\mathcal{A}_{\text{ACDE}} = \mathcal{A}_{\text{BCDE}} - \mathcal{A}_{\text{ABC}}
Déterminons l'aire du triangle ABC rectangle en B : \mathcal{A}_{\text{ABC}} = \dfrac{\text{AB} \times \text{BC}}{2} = \dfrac{\sqrt{10} \times \sqrt{10}}{2} = \dfrac{10}{2} = 5
D'où : \mathcal{A}_{\text{ACDE}} = \mathcal{A}_{\text{BCDE}} - \mathcal{A}_{\text{ABC}} = 20 - 5 = 15
L'aire du quadrilatère ACDE est de 15 unités d'aire.


Problème

Partie A

1. Déterminer le nombre de colis réalisable revient à déterminer le PGCD de 376 et 470. Utilisons la méthode des divisions successives (algorithme d'Euclide) :
470 = 376 × 1 + 94
376 = 94 × 4 + 0
Le dernier reste non nul est 94, donc : PGCD(376 ; 470) = 94.
D'où : Noémie pourra confectionner au maximum 94 colis.

2. On a : \dfrac{376}{94} = 4 \text{ et } \dfrac{470}{94} = 5
Donc : chaque colis contiendra 4 cadres et 5 dessous de plats.

Partie B

1. a) Le train 1 roule à la vitesse constante de 110 km/h et quitte Paris à minuit. A 5 heures, il aura roulé pendant 5 heures. Il aura donc parcouru 110 × 5 = 550 km.
Le train 2 roule à la vitesse constante de 165 km/h et quitte Paris à 4h00. A 4 h00, le train a parcouru 0 km. Au bout d'une heure, soit 5 heures du matin, il aura parcouru 165 km.

1. b) Complétons le tableau :
Heure 0h00 1h00 4h00 5h00 10h00 15h00
Distance parcourue
par le train 1 (en km)
0 110 440 550 1 100 1 650
Distance parcourue
par le train 2 (en km)
    0 165 990 1 815

2.
Diplôme national du brevet Pondichéry Avril 2008 - troisième : image 3


3. Par lecture graphique (cf pointillés rouges), on lit que le train 2 rattrapera-t-il le train 1 à 12 heures. Ils seront à 1 320 km de Paris.

4. a) On trace la droite d'équation y = 1100 (en vert sur le graphique). Elle coupe les droites (d1) et (d2).
Le train 1 arrivera en premier à Barcelone.

4. b) on trace la droite d'équation y = 1766 (en bleu sur le graphique). Elle coupe les droites (d1) et (d2).
Le train 2 arrivera en premier à Séville.
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