Fiche de mathématiques

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Diplôme National du Brevet
Liban - Session Juin 2008

L'emploi de la calculatrice est autorisé.

La rédaction et la présentation seront notées sur 4 points.

Coefficient : 2 Durée : 2 heures

12 points

Activités numériques

exercice 1

Au moment des fêtes de Noël, un client achète 6 boules et une guirlande dans un grand magasin. Il paie 18,40 €.
Le client suivant possède une carte de fidélité de ce magasin lui donnant droit à une réduction de 20 % sur tous les articles. Il achète cinq boules et cinq guirlandes. En présentant sa carte de fidélité à la caisse, il paie alors 25,60 €.

Le problème est de retrouver le prix d'une boule et d'une guirlande.

1. En considérant, l'achat du premier client, expliquer ce que représentent $x$ et $y$ quand on écrit l'équation : $6x + y = 18,40$ . Préciser l'unité de $x$ et de $y$ .

2. a) Expliquer pourquoi appliquer une réduction de 20 % revient à multiplier ce prix par $0,8$ .
b) En considérant l'achat du deuxième client, quelle équation peut-on écrire ? Montrer que celle-ci peut se mettre sous la forme : $x +y = 6,40$ .

3. Résoudre le système : $\left\lbrace\begin{array}{l c l} 6x+y&=&18,40 \\ x+y &=& 6,40 \end{array}\right.$

4. Donner le prix d'une boule et celui d'une guirlande.

exercice 2

On donne l'expression $E = (x - 5)^2 + (x - 5) (2x + 1)$ .

1. Pour calculer la valeur exacte de $E$ lorsque $x = \sqrt{3}$ , Marc a choisi de développer $E$ .
    a) Quelle expression obtient-il ?
    b) Calculer la valeur exacte de $E$ lorsque $x = \sqrt{3}$ .
    c) Marc a-t-il eu raison de développer $E$ ? Pourquoi ?

2. a) Léa a trouvé mentalement une solution, de l'équation $E = 0$ . À votre avis, laquelle ?
    b) Pour trouver l'autre solution, Lea choisit de factoriser $E$ . Montrer que $E = (x - 5)(3x - 4)$ .
    c) Donner, alors la seconde solution de l'équation $E = 0$ .

3. Lorsque $x = \dfrac{1}{9}$ , choisir la forme de $E$ qui vous paraît la plus adaptée pour calculer la valeur exacte de $E$ sous forme de fraction irréductible. Faire ce calcul.

12 points

Activités géométriques

exercice 1

Pour chaque ligne du tableau donné, trois réponses sont proposées mais une seule est exacte. Ecrire sur la copie le numéro de la question et la réponse exacte A, B ou C choisie. Aucune justification n'est demandée.

		A	B	C
1.	Dans un triangle ABC rectangle en A, on sait que AB =3 et que $\widehat{\text{ACB}} = 30^{°}$ alors la valeur, exacte de BC est ...	$\dfrac{\tan 30^{°}}{3}$	$3 \sin 30^{°}$	$\dfrac{3}{\sin 30^{°}}$
2.	Tous les triangles sont équilatéraux. L'image du triangle 2 par la rotation de $120^{°}$ autour de B dans le sens contraire des aiguilles d'une montre est le ...	triangle 6	triangle 4	triangle 7
3.	Sur le cercle de centre O, on donne les points A, B, C et D tels que $\widehat{\text{AOB}} = 64^{°}$ et $\widehat{\text{BDC}} = 20^{°}$ , donc $\widehat{\text{AOC}} =$ ...	$84^{°}$	$104^{°}$	$74^{°}$
4.	Les droites (BE) et (AD) sont sécantes en C. Les droites (AB) et (DE) sont parallèles. Sachant que AC = 2, CD = 5 et CE = 9, pour calculer BC, on peut écrire : ...	$\dfrac{2}{9} = \dfrac{\text{BC}}{5}$	$\dfrac{2}{\text{BC}} = \dfrac{9}{5}$	$\dfrac{2}{5} = \dfrac{\text{BC}}{9}$

exercice 2

L'unité de longueur est le centimètre.

1. Dans un repère orthonormé, placer les points A(1 ; 3), B(2 ; -1), C(-2 ; 1) et D(4 ; -2).

2. Calculer les coordonnées du milieu M du segment [AC].

3. Calculer les coordonnées du vecteur $\overrightarrow{\text{BC}}$ .

4. Calculer les coordonnées du point E tel que le quadrilatère ABCE soit un parallélogramme. Justifier vos calculs.

5. a) Construire un triangle équilatéral BFG de centre D. Laisser les traits de construction.
b) Donner la valeur exacte puis arrondie au millimètre du rayon BD du cercle circonscrit à ce triangle.

12 points

Problème

Les trois parties sont indépendantes

Une entreprise décide de fabriquer des paquets cubiques de lessive.

Partie I

L'arête de chaque paquet doit être un nombre entier de centimètres. Pour transporter ces paquets, on les range dans des caisses parallélépipédiques dont le fond est un rectangle de 96 cm de large et 156 cm de long. On souhaite recouvrir la totalité du fond de la caisse par des paquets.

1. Montrer que la longueur maximale de l'arête d'un paquet est 12 cm.

2. Combien de paquets peut-on alors disposer au fond de la caisse ?

3. Les caisses ont une hauteur de 144 cm. Combien de paquets une caisse pourra-t-elle contenir ?

Partie II

1. Un paquet vide pèse 200 g. On y verse de la lessive. On sait que 1 cm³ de lessive pèse 1,5 g.
a) Reproduire le tableau suivant sur la copie et le compléter :

Volume de lessive (en cm³)	400	800	1 600	$x$
Masse de lessive (en g)
Masse totale d'un paquet de lessive (en g)

    b) On voudrait que la masse totale d'un paquet de lessive soit 2 300 g. Quel volume de lessive doit alors contenir ce paquet ?

2. On note $f$ la fonction qui à $x$ associe $1,5x + 200$ .
    a) Représenter graphiquement cette fonction dans un repère orthogonal.
On placera l'origine du repère en bas à gauche sur une feuille de papier millimétré.
Sur l'axe des abscisses on prendra 1 cm pour 200 cm³ et sur l'axe des ordonnées 1 cm pour 200 g.
    b) En laissant les traits de construction apparents, retrouver, par lecture graphique, le volume de lessive contenu dans un paquet de lessive de 2 300 g.

Partie III

Sur deux faces de chaque paquet d'arête 12 cm doit figurer une bande publicitaire comme l'indique la figure ci-dessous :

Diplôme national du brevet Liban Juin 2008 - troisième : image 3

1. Faire un dessin à l'échelle $\dfrac{1}{4}$ de la face BFGC avec sa bande LKGJ.

2. Montrer que l'aire de la bande sur le dessin est 3 cm². En déduire l'aire réelle de cette bande.

Voir la correction

Activités numériques

exercice 1

1. x et y représentent respectivement le prix d'une boule et celui d'une guirlande. Ces prix sont exprimés en euros.

2. a)L'opération qui consiste à appliquer une réduction de 20% à un article dont le prix est P se traduit par l'égalité:
P-P - $\dfrac{20\text{P}}{100}$ = P-0,2P = P(1-0,2) = 0,8P.
On constate que cette réduction revient à multiplier ce prix P par 0,8.

b) L'achat du deuxième client se traduit par l'équation:
$5(0,8x)+5(0,8y)=25,6$ ou $4x+4y=25,6$
En simplifiant par 4 on obtient : $x+y=6,4$ .

3.
$\left \lbrace \begin{array}{c @{ = } c} 6x+y&18,4 (1) \\ x+y&6,4 (2) \\ \end{array} \right.$
De (2) on tire $y=6,4-x$ , valeur que l'on porte dans (1)
$6x+6,4-x=18,4$
$5x=18,4-6,4=12$
soit $x=\dfrac{12}{5}=2,4$ €
$y=6,4-2,4=4$ €

4. Le prix d'une boule est 2,40€. Le prix d'une guirlande est 4 €.

exercice 2

1. a) Développons et réduisons $E$
On utilise l'identité remarquable (a-b)²=a²-2ab+b²
$E=x^2-10x+25+2x^2+x-10x-5=3x^2-19x+20$
$E=3x^2-19x+20$ (1)

b) $x=\sqrt3$
$E=3(\sqrt3)^2-19\sqrt3+20$
$E=3\times 3-19\sqrt3+20$
$E=29-19\sqrt3$

c) oui car la forme développée permet de calculer plus rapidement et plus simplement $E$ .

2. a) $E=0$
Pour $x=5$ , $x-5=0$ .On constate que l'expression de $E$ s'annule

b) Factorisons $E$ par $x-5$
$E=(x-5)[(x-5)+(2x+1)]=(x-5)(3x-4)$

c) $E=0$ si $3x-4=0$ soit $x=\dfrac{4}{3}$

3. On remplace $x=\dfrac{1}{9}$ dans (1)
$E=3\dfrac{1}{9}^2-\dfrac{19}{9}+20=\dfrac{3}{81}-\dfrac{19}{9}+20=\dfrac{1}{27}-\dfrac{19}{9}+20=\dfrac{1}{27}-\dfrac{57}{27}+\dfrac{540}{27}$
$E=\dfrac{484}{27}$ , fraction irréductible car $484 = 11^2 \times 2^2$ et $27=3^3$ .

Activités géométriques

exercice 1

1. $\sin \widehat{ACB} = \dfrac{\tex{côté\;opposé}}{{hypoténuse}} = \dfrac{AB}{BC}$
$\sin \widehat{ACB} = \dfrac{3}{BC}$
d'où $BC = \dfrac{3}{\sin30°}$ . Réponse C.

2. Triangle 7 (donc réponse C) car la rotation de centre B d'angle 120°(2 fois 60°)s'effectue dans le sens contraire des aiguilles d'une montre.

3. Traçons la droite (OB).
On a alors $\widehat{AOC} = \widehat{AOB} + \widehat{BOC}$
$\widehat{AOC} = \widehat{AOB} +2 \widehat{BDC}$
(propriété des angles inscrits)
$\widehat{AOC} = 64°+40° = 104°$ . Réponse B.

4. D'aprés Thalès on a :
$\dfrac{AC}{CD} = \dfrac{BC}{CE}$
soit $\dfrac{2}{5} = \dfrac{BC}{CE}$ . Réponse C.

exercice 2

(note : les vecteurs ne sont plus au programme de 3ème en France)
1.

Diplôme national du brevet Liban Juin 2008 - troisième : image 4

2. Les coordonnées du milieu M de [AC] sont données par les formules suivantes:
$x_M=\dfrac{x_A+x_C}{2} = \dfrac{1-2}{2} = \dfrac{-1}{2}$
$y_M=\dfrac{y_A+y_C}{2} = \dfrac{3+1}{2} = 2$

3. $\overrightarrow{BC} = \left(x_C-x_B ; y_C-y_B\right) = \left(-4 ; 2\right)$

4. ABCE est un parallélogramme si
$\overrightarrow{AE} = \overrightarrow{BC}$ ce qui se traduit par les égalités:
$x_E-x_A = -4$ et $y_E-y_A = 2$
$x_E-1 = -4$ et $y_E-3 = 2$
On obtient $x_E = -3$ et $y_E = 5$

5. a) D est le centre du triangle équilatéral. on a donc DB=DG=DF
On trace le cercle de centre D et de rayon [DB].on construit un angle au centre BDx de 120°; Dx coupe le cercle en F. Même raisonnement pour la construction de G.
b) BD= $\sqrt{(x_D-x_B)^2+(y_D-yB)^2}$
BD= $\sqrt{(4-2)^2+(-2+1)^2}$
BD= $\sqrt{(4+1)}$ = $\sqrt5$ = 2,24cm = 22mm

Problème

Partie I

1. La longueur maximale de l'arête du paquet est donnée par le PGCD(156;96)
Calculons le PGCD en utilisant l'algorithme d'Euclide:
156=96 multiplie

1+60
96=60 multiplie

1+36
60=36 multiplie

1+24
36=24 multiplie

1+12
24=12 multiplie

2+0
Le dernier reste non nul constitue le PGCD, soit 12.

2. le nombre de paquets que l'on peut disposer:
sur la largeur: $\dfrac{96}{12}$ = 8,
sur la longueur: $\dfrac{156}{12}$ = 13,
Au total : 8 multiplie

13 = 104 paquets.

3. sur la hauteur: $\dfrac{144}{12}$ = 12
la caisse pourra contenir: 104 multiplie

12 = 1248 paquets.

Partie II

1. a)

volume de lessive(en cm³) :	400	800	1600	x
masse de lessive(en g) :	600	1200	2400	1,5 x
masse totale (en g) :	800	1400	2600	1,5 x+200

b) Masse totale = Masse de lessive + Masse du paquet vide
2300 = Masse de lessive + 200
soit masse de lessive = 2300-200 = 2100g
Les 2100 g correspondent à un volume de $\dfrac{2100}{1,5}$ = 1400 cm³.

2. a) $f$ est une fonction affine. Sa représentation graphique est une droite passant par les points de coordonnées (0 ; 200) et (800 ; 1400).
[Pour $x = 0, \, f(0) = 200$ et pour $x = 800, \, f(800) = 1400$ ]

2. b) cf pointillés verts sur le graphique ci-dessous.
Le volume de lessive contenu dans un paquet de lessive de 2300 g est de 1400 cm³.

Diplôme national du brevet Liban Juin 2008 - troisième : image 5

Partie III

1. A l'échelle 1/4, les dimensions des côtés de la face BFGC qui est un carré sont les suivantes :
   CG = BF = 3 cm
   KF = 2 cm
   BL = CJ = 1 cm

2. On constate que l'aire de la bande LKGJ est égale à l'aire de la bande IALJ.
Considérons dans ce cas la face ABCD qui contient la bande IALJ.
Aire bande IALJ = Aire carré ABCD - (Aire du trapèze rectangle CJID+Aire triangle ALB) (1)
Aire du carré ABCD = AB multiplie

AB = 3

3 = 9cm²
Aire du trapèze rectangle CJID = $\dfrac{B+b}{2}$ multiplie

hauteur
Avec B:grande base :DI, b=petite base:CJ et hauteur:DC.
Aire = $\dfrac{2+1}{2}$ multiplie

3 = 4,5cm²
Aire du tiangle ALB = $\dfrac{\text{base}\times\text{hauteur}}{2}$ = $\dfrac{3\times1}{2}$ = 1,5cm²

En appliquant (1) on a:
Aire bande IALJ = 9-(4,5+1,5) = 3cm² = Aire bande LKGJ
Aire réelle de la bande = 3 multiplie

16 = 48 cm²

Publié par TomP/corrigé par cva le 07-03-2010

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