Fiche de mathématiques
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Diplôme National du Brevet
Amérique de Nord - Session Mai 2008

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L'emploi de la calculatrice est autorisé.

La rédaction et la présentation seront notées sur 4 points.

Coefficient : 2     Durée : 2 heures


12 points

Activités numériques

exercice 1

On donne les nombres : \text{A} = \dfrac{3}{7} - \dfrac{2}{7} \times \dfrac{21}{8} \, ; \hspace{25pt} \text{B} = \dfrac{3 \times 10^2 \times 1,8\times 10^{-3}}{6\times 10^4} \, ; \hspace{25pt} \text{C} = \sqrt{12} - 5\sqrt{75} + 2\sqrt{147}.

1. Calculer A et donner le résultat sous la forme d'une fraction irréductible.
Ecrire toutes les étapes du calcul.

2. a) Donner l'écriture décimale de B.
    b) Exprimer B en écriture scientifique.

3. Ecrire C sous la forme a\sqrt{3}, où a est un nombre entier.




exercice 2

On pose : \text{D} = (12x+3)(2x-7) - (2x-7)^2.

1. Développer et réduire D.

2. Factoriser D.

3. Calculer D pour x = 2 et x = -1.

4. Résoudre l'équation (2x - 7)(x + 1) = 0.




exercice 3

1. En précisant la méthode utilisée, calculer le PGCD de 378 et 270.

2. Pour une kermesse, un comité des fêtes dispose de 378 billes et 270 calots.
Il veut faire le plus grand nombre de lots identiques en utilisant toutes les billes et tous les calots.
    a) Combien de lots identiques pourra-t-il faire ?
    b) Quelle sera la composition de chacun de ces lots ?


12 points

Activités géométriques

exercice 1

Dans le plan muni d'un repère orthonormé (O ; I , J), on considère les points : A(-2 ; 1)     B(0 ; 5)     C(6 ; -3)

1. Sur la copie, faire une figure et placer les points A, B et C.

2. Montrer que : \text{AC} = 4\sqrt{5}.

3. On admet que \text{AB} = 2\sqrt{5} et BC = 10. Démontrer que le triangle ABC est rectangle.

4. Sur la figure, placer le point M tel que les vecteurs \overrightarrow{\text{AB}} et \overrightarrow{\text{CM}} soient égaux.

5. Préciser la nature du quadrilatère ABMC. Justifier.




exercice 2

La figure ci-dessous n'est pas en vraie grandeur ; on ne demande pas de la reproduire.

Diplôme national du brevet Amérique du Nord -  Mai 2008 - troisième : image 1


On considère un cercle \mathcal{C} de centre O et de diamètre 8 cm.
I et J sont deux points de \mathcal{C} diamétralement opposés ;
K est un point de \mathcal{C} tel que JK = 4 cm.

1. Préciser la nature du triangle IJK. Justifier.

2. Préciser la nature du triangle OJK. Justifier.

3. On appelle R le symétrique de K par rapport à la droite (IJ). Démontrer que le quadrilatère ROKJ est un losange.




exercice 3

La figure ci-dessous n'est pas en vraie grandeur ; on ne demande pas de la reproduire.
Diplôme national du brevet Amérique du Nord -  Mai 2008 - troisième : image 2


Les droites (AM) et (BN) sont sécantes en O. Les dimensions sont en centimètres.
On donne : OA = 3 ; OB = 2,5 ; OM = 5,4 ; ON = 4,5.

1. Montrer que les droites (AB) et (MN) sont parallèles.

2. On suppose que AB = 1,2. Calculer la distance MN.

3. Choisir parmi les quatre nombres suivants
    a) 0,55     b) 1,8     c) 3,24     d) 3,6
celui qui est égal à \dfrac{\text{aire du triangle ONM}}{\text{aire du triangle OAB}}.
Sur la copie, indiquer ce nombre (sans justification).


12 points

Problème

Première partie

Un club de squash propose trois tarifs à ses adhérents :
    Tarif A : 8 € par séance.
    Tarif B : achat d'une carte privilège à 40 € pour l'année donnant droit à un tarif réduit de 5 € par séance.
    Tarif C : achat d'une carte confort à 160 € valable une année et donnant droit à un accès illimité à la salle.

Mélissa, nouvelle adhérente au club, étudie les différents tarifs.

1. a) Compléter le tableau :
Nombre de séances 10 18 25
Dépense totale avec le tarif A      
Dépense totale avec le tarif B      
Dépense totale avec le tarif C      

    b) Quel est le tarif le plus avantageux si Mélissa désire faire 10 séances ?

2. On appelle x le nombre de séances.
    a) Exprimer, en fonction de x, la dépense totale f(x) lorsque Mélissa fait x séances avec le tarif A.
    b) Exprimer, en fonction de x, la dépense totale g(x) lorsque Mélissa fait x séances avec le tarif B.
    c) Exprimer, en fonction de x, la dépense totale h(x) lorsque Mélissa fait x séances avec le tarif C.

3. a) Résoudre l'inéquation 5x+40\leq8x.
    b) Expliquer, en rédigeant votre réponse, à quoi correspondent les nombres entiers qui sont solutions de cette inéquation.

Deuxième partie

1. Sur une feuille de papier millimétrée, placée verticalement, tracer un repère orthogonal en plaçant l'origine O en bas à gauche et en prenant pour comme unités : 0,5 cm pour une séance sur l'axe des abscisses et 1 cm pour 10 € sur l'axe des ordonnées.

2. Représenter, dans ce repère, les trois fonctions f, g et h pour x compris entre 0 et 30.

3. a) Vérifier, par lecture graphique le résultat de la question 1. b) de la première partie ; on fera apparaître sur le dessin les tracés nécessaires.
    b) Déterminer, par lecture graphique, le nombre de séances à partir duquel le tarif C devient avantageux.
    c) Mélissa souhaite ne pas dépasser 130 € pour cette activité ; déterminer par lecture graphique, le tarif qu'elle doit choisir si elle veut faire le plus de séances possibles ; on fera apparaître sur le dessin les tracés nécessaires.

Troisième partie

L'amie de Mélissa avait prévu de faire du squash une fois par semaine et avait choisi le tarif C ; elle n'a pu se libérer pour ce sport qu'une semaine sur deux.
A-t-elle fait le bon choix ?
On rappelle qu'une année comporte 52 semaines.






Activités numériques

exercice 1

1. Calculons A :
\text{A} = \dfrac{3}{7} - \dfrac{2}{7} \times \dfrac{21}{8}\\ \text{A} = \dfrac{3}{7} - \dfrac{2 \times 21}{7 \times 8}\\ \text{A} = \dfrac{3}{7} - \dfrac{2 \times 21}{7 \times 2 \times 4}\\ \text{A} = \dfrac{3}{7} - \dfrac{21}{7 \times 4}\\ \text{A} = \dfrac{12}{28} - \dfrac{21}{28}\\ \boxed{\text{A} = -\frac{9}{28}}

2. a) Donnons l'écriture décimale de B :
\text{B} = \dfrac{3 \times 10^2 \times 1,8 \times 10^{-3}}{6 \times 10^4} \\ \text{B} = \dfrac{3 \times 1,8 \times 10^{2-3}}{6 \times 10^4} \\ \text{B} = \dfrac{5,4 \times 10^{-1}}{6 \times 10^4} \\ \text{B} = 0,9 \times 10^{-1-4} \\ \text{B} = 0,9 \times 10^{-5} \\ \boxed{\text{B} = 0,000\,009}

2. b) On en déduit l'écriture scientifique de B : \boxed{\text{B} = 9 \times 10^{-6}}

3. Ecrivons C sous la forme a\sqrt{3} :
\text{C} = \sqrt{12} - 5\sqrt{75} + 2\sqrt{147}\\ \text{C} = \sqrt{4 \times 3} - 5\sqrt{25 \times 3} + 2\sqrt{49 \times 3}\\ \text{C} = 2 \sqrt{3} - 5 \times 5 \sqrt{3} + 2 \times 7 \sqrt{3}\\ \text{C} = 2 \sqrt{3} - 25 \sqrt{3} + 14 \sqrt{3}\\ \text{C} = -9 \sqrt{3}




exercice 2

1. Développons et réduisons D :
\text{D} = (12x + 3)(2x - 7) - (2x - 7)^2\\ \text{D} = 24x^2 - 84x + 6x - 21 - (4x^2 - 28x + 49)\\ \text{D} = 24x^2 - 84x + 6x - 21 - 4x^2 + 28x - 49\\ \boxed{\text{D} = 20x^2 - 50x - 70}

2. Factorisons D :
\text{D} = (12x + 3)(2x - 7) - (2x - 7)^2\\ \text{D} = (2x - 7)[(12x + 3) - (2x - 7)]\\ \text{D} = (2x - 7)(12x + 3 - 2x + 7)\\ \text{D} = (2x - 7)(10x + 10)\\ \boxed{\text{D} = 10(2x - 7)(x + 1)}

3. Calculons D pour x = 2 :
D = 20 × 2² - 50 × 2 - 70
D = 80 - 100 - 70
D = -90

Calculons D pour x = -1 :
D = 20 × (-1)² - 50 × (-1) - 70
D = 20 + 50 - 70
D = 0

4. Résolvons l'équation (2x - 7)(x + 1) = 0 :
Un produit est nul si l'un de ses facteurs est nul, et réciproquement. Donc :
\begin{array}{lcl} 2x - 7 = 0 & \hspace{25pt} \text{ ou } \hspace{25pt} & x + 1 = 0 \\ 2x = 7 & & x = -1 \\ x = \frac{7}{2} && \\ \end{array}
Les solutions de l'équation sont \dfrac{7}{2} et -1.




exercice 3

1. Déterminons le PGCD de 378 et 270 à l'aide de l'algorithme d'Euclide :
378 = 270 × 1 + 108
270 = 108 × 2 + 54
108 = 54 × 2 + 0
Le dernier reste non nul est 54, donc : le PGCD de 378 et 270 est 54.

2. a) Déterminons le plus grand nombre de lots identiques :
On a vu que le plus grand diviseur commun de 378 et 270 est 54, donc le plus grand nombre de lots identiques pouvant être réalisés est 54.

2. b) Déterminons la composition de chacun des ces lots :
On a : \dfrac{378}{54} = 7 \text{ et } \dfrac{270}{54} = 5
D'où : chacun de ces lots sera composé de 7 billes et 5 calots.


Activités géométriques

exercice 1

1.
Diplôme national du brevet Amérique du Nord -  Mai 2008 - troisième : image 3


2. Montrons que : \text{AC} = 4\sqrt{5} :
\text{AC}^2 = (x_{\text{C}} - x_{\text{A}})^2 + (y_{\text{C}} - y_{\text{A}})^2 \\ \text{AC}^2 = (6 - (-2))^2 + (-3 - 1)^2 \\ \text{AC}^2 = 8^2 + (-4)^2 \\ \text{AC}^2 = 64 + 16 = 80
Donc : \text{AC} = \sqrt{80} = \sqrt{16 \times 5}
D'où : \boxed{\text{AC} = 4\sqrt{5}}

3. On admet que \text{AB} = 2\sqrt{5} et BC = 10.
Démontrons que le triangle ABC est rectangle :
On a : \text{AC}^2 + \text{AB}^2 = \left(4\sqrt{5}\right)^2 + \left(2\sqrt{5}\right)^2 = 16 \times 5 + 4 \times 5 = 80 + 20 = 100 et BC² = 100
Donc : AC² + AB² = BC²
D'après la réciproque du théorème de Pythagore, on en conclut que le triangle ABC est rectangle en A.

4. cf figure

5. Déterminons la nature du quadrilatère ABMC :
On a placé le point M tel que les vecteurs \overrightarrow{\text{AB}} et \overrightarrow{\text{CM}} soient égaux, donc le quatrilatère ABMC est un parallélogramme.
De plus, on sait que ABC est un triangle rectangle en A, donc \widehat{\text{A}} est un angle droit.
Donc le parallélogramme ABMC a un angle droit.
D'où : ABMC est un rectangle.




exercice 2

1. Précisons la nature du triangle IJK :
Le triangle IJK est inscrit dans le cercle de diamètre [IJ], donc le triangle IJK est rectangle en K.

2. Précisons la nature du triangle OJK :
[OK] et [OJ] sont deux rayons du cercle \mathcal{C} de rayon 4 cm, donc OK = OJ = 4 cm.
De plus, on sait que JK = 4 cm.
Donc : OK = OJ = JK = 4 cm. On en conclut que OJK est un triangle équilatéral.

3. On appelle R le symétrique de K par rapport à la droite (IJ).
Diplôme national du brevet Amérique du Nord -  Mai 2008 - troisième : image 4

   Démontrons que le quadrilatère ROKJ est un losange :
O et J sont deux points de l'axe de symétrie (IJ), donc leurs symétriques sont respectivement O et J. De plus, R est le symétrique de K par rapport à la droite (IJ).
Donc les segments [OR] et [OK] d'une part et [JR] et [JK] d'autre part sont symétriques par rapport à l'axe (IJ).
Or, la symétrie axiale conserve les longueurs, donc OR = OK et JR = JK.
De plus, on a vu que OK = JK, donc OR = OK = JR = JK.
D'où : le quadrilatère ROKJ a quatre côtés de même longueur, c'est donc un losange.




exercice 3

1. Montrons que les droites (AB) et (MN) sont parallèles :
On a : \dfrac{\text{OA}}{\text{OM}} = \dfrac{3}{5,4} = \dfrac{30}{54} = \dfrac{5}{9}     et     \dfrac{\text{OB}}{\text{ON}} = \dfrac{2,5}{4,5} = \dfrac{25}{45} = \dfrac{5}{9}
Donc : \dfrac{\text{OA}}{\text{OM}} = \dfrac{\text{OB}}{\text{ON}}
De plus, les points B, O, M d'une part et A, O, M d'autre part sont alignés dans le même ordre. D'après la réciproque du théorème de Thalès, on en déduit que les droites (AB) et (MN) sont parallèles.

2. Calculons la distance MN :
Les droites (AM) et (BN) sont sécantes en O, les droites (AM) et (MN) sont parallèles. D'après le théorème de Thalès, on a :
\dfrac{\text{OA}}{\text{OM}} = \dfrac{\text{OB}}{\text{ON}} = \dfrac{\text{AB}}{\text{MN}}
Donc : \dfrac{3}{5,4} = \dfrac{2,5}{4,5} = \dfrac{1,2}{\text{MN}}
De \dfrac{2,5}{4,5} = \dfrac{1,2}{\text{MN}}, on en déduit que : \text{MN} = \dfrac{1,2 \times 4,5}{2,5}
Donc : MN = 2,16

3. Le nombre cherché est : c) 3,24
Explications : Le triangle OMN est un agrandissement du triangle OAB. Le coefficient d'afrandissement est k = \dfrac{\text{OM}}{\text{OA}} = \dfrac{5,4}{3} = 1,8
Donc : \dfrac{\text{aire du triangle ONM}}{\text{aire du triangle OAB}}= k^2 = 1,8^2 = 3,24


Problème

Première partie

1. a) Complétons le tableau :
Nombre de séances 10 18 25
Dépense totale avec le tarif A 10 × 8 = 80 18 × 8 = 144 25 × 8 = 200
Dépense totale avec le tarif B 10 × 5 + 40 = 90 18 × 5 + 40 = 130 25 × 5 + 40 = 165
Dépense totale avec le tarif C 160 160 160


1. b) A l'aide du tableau, le tarif le plus avantageux si Mélissa désire faire 10 séances est le tarif A.

2. a) Lorsque Mélissa fait x séances avec le tarif A, elle doit payer f(x) = 8 \times x euros.

2. b) Lorsque Mélissa fait x séances avec le tarif B, elle doit payer g(x) = 5 \times x + 40 euros.

2. c) Lorsque Mélissa fait x séances avec le tarif C, elle doit payer h(x) = 160 euros.

3. a) Résolvons l'inéquation 5x + 40 \leq 8x :
5x + 40 \leq 8x \\ 5x - 8x \leq -40 \\ -3x \leq -40 \\ x \geq \frac{-40}{-3} \\ x \geq \frac{40}{3}
Les solutions de l'inéquation sont tous les nombres supérieurs ou égaux à \frac{40}{3}.

3. b) 5x + 40 correspond au prix payé avec le tarif B pour x séances, 8x correspond au prix payé avec le tarif A pour x séances.
Donc les nombres entiers solutions de l'inéquation 5x + 40 \leq 8x correspondent aux nombres de séances pour lesquels le tarif B est plus avantageux que le tarif A.
Or, \frac{40}{3} \approx 13,3, donc à partir de la quatorzième séance, il est plus avantageux de prendre le tarif B.

Deuxième partie

1.
Diplôme national du brevet Amérique du Nord -  Mai 2008 - troisième : image 5


2. Représentons les trois fonctions f, g et h :
cf graphique
Explications :
    f est une fonction linéaire. Sa représentation graphique est une droite \mathcal{D}_f passant par l'origine du repère.
On a f(25) = 200, donc le point de coordonnées (25 ; 200) apaprtient à la droite \mathcal{D}_f.
    g est une fonction affine. Sa représentation graphique est une droite \mathcal{D}_g.
On a : g(10) = 90 et g(25) = 165, donc les points de coordonnées (10 ; 90) et (25 ; 165) appartiennent à la droite \mathcal{D}_g.
    La fonction h est une fonction constante. Sa représentation graphique est une droite \mathcal{D}_h parallèle à l'axe des abscisses passant par le point de coordonnées (0 ; 160).

3. a) Par lecture graphique (en rouge sur le grahique) : le tarif le plus avantageux si Mélissa désire faire 10 séances est le tarif A.

3. b) Par lecture graphique (en bleu sur le graphique) : le tarif C devient le plus avantageux à partir de 24 séances.

3. c) Par lecture graphique (en vert sur le graphique) :avec 130 €, Mélissa devra choisir le tarif B si elle veut faire le plus de séances possibles. Elle pourra alors faire 18 séances.

Troisième partie

L'amie de Mélissa n'est venue qu'une fois sur deux, elle a donc assisté à 52 : 2 séances, soit 26 séances.
Déterminons le prix payé pour 26 séances avec les différents tarifs :
tarif A : 8 × 26 = 208 euros
tarif B : 5 × 26 + 40 = 170 euros
tarif C : 160 euros
Le tarif C reste le plus avantageux, l'amie de Mélissa a donc fait le bon choix.
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