Fiche de mathématiques
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Diplôme National du Brevet
Antilles-Guyane - Session Juin 2008

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L'emploi de la calculatrice est autorisé.

La rédaction et la présentation seront notées sur 4 points.

Coefficient : 2     Durée : 2 heures


12 points

Activités numériques


2 points

exercice 1

En précisant les différentes étapes de calcul :

1. Calculer le nombre A ci-dessous et donner le résultat sous la forme d'une fraction irréductible :
\text{A} = \dfrac{\dfrac{2}{3} + \dfrac{1}{2}}{\dfrac{17}{9} - \dfrac{1}{3}}.


2. Donner l'écriture scientifique de B :
\text{B} = \dfrac{81 \times 10^3 \times 6 \times 10^{-10}}{18 \times 10^{-2}}.



6 points

exercice 2

Pour chaque ligne du tableau suivant, 4 réponses (A, B, C et D) sont proposées.
Écrire dans la dernière colonne du tableau la (ou les) lettre(s) correspondant à la (ou les) bonne(s) réponse(s).
ÉnoncéRéponse ARéponse BRéponse CRéponse DRéponse
\dfrac{6 + 3}{7 + 3}\dfrac{6}{7}0,9\dfrac{6}{7} + 1\dfrac{9}{10} 
En développant (3x + 6)^2, on obtient3x^2 + 36x + 369x^2 + 369x^2 + 36x + 3645x + 36 
En factorisant 16x^2 - 4, on obtient(4x - 2)^2(4x - 2) (4x + 2)(4x + 2)^2(16x - 2) (16x + 2) 
\sqrt{16} \times \sqrt{5} =\sqrt{16 \times 5}\sqrt{16 + 5}5\sqrt{4}4\sqrt{5} 
\sqrt{9 + 16 + 25} =3 + 4 + 5\sqrt{50}\sqrt{9} + \sqrt{16} + \sqrt{25}7,07 
La fonction affine f vérifie : f(0) = 1 et f(1) = 2. f est définie parf(x) = x - 1f(x) = x + 1f(x) = 3x - 1f(x) = 3 - x 



4 points

exercice 3

On considère deux fonctions affines :
f(x) = \dfrac{4}{3}x - 3     et     g(x) =  - x + 6
Le plan est muni d'un repère orthonormé (O, I, J), unité : 1 cm.

1. Construire les représentations graphiques des fonctions f et g.

2. Soit K le point d'intersection de ces deux droites.
Déterminer par le calcul les coordonnées du point K.


12 points

Activités géométriques


6 points

exercice 1

La figure ci-dessous n'est pas réalisée en vraie grandeur. Elle n'est pas à reproduire.
Diplôme national du brevet Antilles Guyane Juin 2008 - troisième : image 1
Les droites (BC) et (MN) sont parallèles.
On donne : AB = 4,5 cm ; AC = 3 cm ; AN = 4,8 cm et MN = 6,4 cm.

1. Calculer AM et BC.

2. On sait de plus que AE = 5 cm et AF = 7,5 cm.
Montrer que les droites (EF) et (BC) sont parallèles.


6 points

exercice 2

Diplôme national du brevet Antilles Guyane Juin 2008 - troisième : image 2
On considère la pyramide SABCD ci-contre :
la base est le rectangle ABCD de centre O.
AB = 40 cm et BD = 50 cm.
La hauteur [SO] mesure 81 cm.

1. Montrer que AD = 30 cm.

2. Calculer en cm³, le volume de la pyramide SABCD.

3. Soit O' le point de [SO] tel que SO' = 54 cm.
On coupe la pyramide par un plan passant par O' et parallèle à sa base.
    a) Quelle est la nature de la section A'B'C'D' obtenue ?
    b) La pyramide SA'B'C'D' est une réduction de la pyramide SABCD.
Donner le coefficient de réduction.
    c) Quel est le volume de SA'B'C'D' ?

4. a) Calculer la tangente de l'angle \widehat{\text{SAO}}.
    b) Donner une valeur approchée de l'angle \widehat{\text{SAO}} arrondie au degré près.


12 points

Problème

Dans ce problème, l'unité de longueur est le cm et l'unité d'aire, le cm². On utilisera une feuille de papier millimétré pour la figure.
(O, I, J ) est un repère orthonormé, avec OI = OJ = 1 cm.

1. Placer les points suivants : A(3 ;-5) ; B(1 ; 6) et C(-3 ; 3).

2. a) Montrer par le calcul que AB = 5\sqrt{5} ; AC = 10 et BC = 5.
    b) Démontrer que ABC est un triangle rectangle en C.

3. a) Construire le point D, image de A dans la translation de vecteur \overrightarrow{\text{BC}}.
    b) Justifier que le quadrilatère ABCD est un parallélogramme.
    c) Recopier et compléter sans justifications les égalités :
\overrightarrow{\text{AC}} + \overrightarrow{\text{CB}} = \cdots\cdots \qquad ; \qquad \overrightarrow{\text{BA}} + \overrightarrow{\text{BC}} = \cdots\cdots

4. Calculer les coordonnées du vecteur \overrightarrow{\text{BC}}.

5. a) Calculer l'aire du parallélogramme ABCD.
    b) Soit K le centre de symétrie du parallélogramme ABCD.
Calculer les coordonnées du point K.



Activités numériques

exercice 1

1. A=\dfrac{\dfrac{2}{3}+\dfrac{1}{2}}{\dfrac{17}{9}-\dfrac{1}{3}}=\dfrac{\dfrac{4}{6}+\dfrac{3}{6}}{\dfrac{17}{9}-\dfrac{3}{9}}=\dfrac{\dfrac{7}{6}}{\dfrac{14}{9}}=\dfrac{7}{6}\times\dfrac{9}{14}=\dfrac{7\times 9}{6\times 14}=\dfrac{7\times 3\times 3}{3\times 2\times 7\times 2}=\dfrac{3}{4}, et cette dernière fraction est irréductible.

2. B=\dfrac{81\times 10^3\times 6\times 10^{-10}}{18\times 10^{-2}}=\dfrac{9\times 9\times 2\times 3\times 10^3\times 10^{-10}}{9\times 2\times 10^{-2}}=9\times 3\times 10^{3-10-(-2)}=27\times 10^{-5}=2,7\times 10^{-4}.




exercice 2


1. réponses B et D.
2. réponse C.
3. réponse B.
4. réponses A et D.
5. réponse B.
6. réponse B.




exercice 3

1. Voici les représentations graphiques des fonctions f et g :
Diplôme national du brevet Antilles Guyane Juin 2008 - troisième : image 3

2 Soient (x_0;y_0) les coordonnées du point K ; comme K appartient à Cf, on a y_0=\dfrac{4}{3}x_0-3. Comme K appartient aussi à Cg, on a d'autre part y_0=-x_0+6. Ainsi, (x_0;y_0) vérifie le système suivant : \left \lbrace \begin{array}{l} y_0=\dfrac{4}{3}x_0-3 \\ y_0=-x_0+6 \\ \end{array} \right.. Résolvons ce système :
\left \lbrace \begin{array}{l} y_0=\dfrac{4}{3}x_0-3 \\ y_0=-x_0+6\\ \end{array} \right.

\left \lbrace \begin{array}{l} -x_0+6=\dfrac{4}{3}x_0-3 \\ y_0=-x_0+6\\ \end{array} \right.
La première de ces équations donne : -x_0-\dfrac{4}{3}x_0=-9, puis -\dfrac{7}{3}x_0=-9, et enfin x_0=\dfrac{27}{7}. En remplaçant cette valeur dans la deuxième équation, on obtient : y_0=-x_0+6=-\dfrac{27}{7}+\dfrac{42}{7}=\dfrac{15}{7}.
K a pour coordonnées : \left(\dfrac{27}{7},\dfrac{15}{7}\right).


Activités géométriques

exercice 1

1. Les points A, B, M d'une part, et A, C, N d'autre part, sont alignés dans cet ordre. De plus, les droites (BC) et (MN) sont parallèles. D'après le théorème de Thalès, on a : \dfrac{\text{AB}}{\text{AM}}=\dfrac{\text{AC}}{\text{AN}}=\dfrac{\text{BC}}{\text{MN}}. On en déduit :
\text{AM}=\dfrac{\text{AB}\times \text{AN}}{\text{AC}}=\dfrac{4,5\times 4,8}{3}=7,2.
\text{BC}=\dfrac{\text{AC}\times \text{MN}}{\text{AN}}=\dfrac{3\times 6,4}{4,8}=4.

2. Les points E, A, C d'une part, et F, A, B d'autre part, sont alignés dans cet ordre. De plus, \dfrac{\text{AB}}{\text{AF}}=\dfrac{4,5}{7,5}=0,6 et \dfrac{\text{AC}}{\text{AE}}=\dfrac{3}{5}=0,6 : ainsi, \dfrac{\text{AB}}{\text{AF}}=\dfrac{\text{AC}}{\text{AE}}.
D'après la réciproque du théorème de Thalès, les droites (BC) et (EF) sont parallèles.




exercice 2

1. Puisque ABCD est un rectangle, le triangle ABD est rectangle en A. D'après le théorème de Pythagore, on a alors : \text{AB}^2+\text{AD}^2=\text{BD}^2, ce qui entraîne que \text{AD}^2=\text{BD}^2-\text{AB}^2=50^2-40^2=900, d'où \text{AD}=30 cm.

2. Le volume de la pyramide vaut : \dfrac{\text{Aire de ABCD}\times \text{SO}}{3}=\dfrac{40\times 30\times 81}{3}=32400 cm3.

3. a) Le quadrilatère A'B'C'D' est un rectangle.

3. b) Le coefficient de réduction est k=\dfrac{\text{SO}'}{\text{SO}}=\dfrac{54}{81}=\dfrac{2}{3}.

3. c) Le volume de SA'B'C'D' est \text{volume de SABCD}\times k^3=32400\times\left(\dfrac{2}{3}\right)^3=9600 cm3.

4. a) Le triangle SAO est rectangle en O. On a \text{SO}=81 cm et \text{OA}=\dfrac{1}{2}\text{AC}=\dfrac{1}{2}\text{BD}=25 cm. Alors \tan(\widehat{SAO})=\dfrac{\text{SO}}{\text{OA}}=\dfrac{81}{25}=3,24.

4. b) \tan^{-1}(3,24)\approx 72,8°. À un degré près, \widehat{SAO}\approx 73°.


Problème

1.
Diplôme national du brevet Antilles Guyane Juin 2008 - troisième : image 4


2.a) \text{AB}=\sqrt{(x_B-x_A)^2+(y_B-y_A)^2}=\sqrt{(-2)^2+11^2}=\sqrt{4+121}=\sqrt{125}=\sqrt{25\times 5}=5\sqrt{5}.
De même, \text{AC}=\sqrt{(-6)^2+8^2}=\sqrt{100}=10 et BC=\sqrt{(-4)^2+(-3)^2}=\sqrt{25}=5.
2.b) On a \text{AB}^2=125, et \text{AC}^2+\text{BC}^2=25+100=125 aussi. D'après la réciproque du théorème de Pythagore, le triangle ABC est rectangle en C.

3.a) voir la figure.

3.b) D est l'image de A par la translation de vecteur \overrightarrow{\text{BC}} : on a donc \overrightarrow{\text{AD}}=\overrightarrow{\text{BC}} ; on en déduit que ABCD est un parallélogramme.

3.c) \overrightarrow{\text{AC}}+\overrightarrow{\text{CB}}=\overrightarrow{\text{AB}} ; \overrightarrow{\text{BA}}+\overrightarrow{\text{BC}}=\overrightarrow{\text{BD}}.

4. Le vecteur \overrightarrow{\text{BC}} a pour coordonnées (x_C-x_B, y_c-y_B)=(-4,-3).

5.a) L'aire du parallélogramme ABCD vaut \text{BC}\times \text{AC}=5\times 10=50 cm² (car (AC) est perpendiculaire à (BC)).

5.b) K est le milieu de [AC] ; ses coordonnées sont donc \left(\dfrac{x_A+x_C}{2},\dfrac{y_A+y_C}{2}\right), soit K(0,-1).
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