Diplôme National du Brevet
Antilles-Guyane - Session Juin 2008
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L'emploi de la calculatrice est autorisé.
La rédaction et la présentation seront notées sur 4 points.
Coefficient : 2 Durée : 2 heures
12 points
Activités numériques
2 points
exercice 1
En précisant les différentes étapes de calcul :
1. Calculer le nombre A ci-dessous et donner le résultat sous la forme d'une fraction irréductible :
.
2. Donner l'écriture scientifique de B :
.
6 points
exercice 2
Pour chaque ligne du tableau suivant, 4 réponses (A, B, C et D) sont proposées.
Écrire dans la dernière colonne du tableau la (ou les) lettre(s) correspondant à la (ou les) bonne(s) réponse(s).
Énoncé
Réponse A
Réponse B
Réponse C
Réponse D
Réponse
0,9
En développant , on obtient
En factorisant , on obtient
La fonction affine vérifie : et . est définie par
4 points
exercice 3
On considère deux fonctions affines :
et
Le plan est muni d'un repère orthonormé (O, I, J), unité : 1 cm.
1. Construire les représentations graphiques des fonctions et .
2. Soit K le point d'intersection de ces deux droites.
Déterminer par le calcul les coordonnées du point K.
12 points
Activités géométriques
6 points
exercice 1
La figure ci-dessous n'est pas réalisée en vraie grandeur. Elle n'est pas à reproduire.
Les droites (BC) et (MN) sont parallèles.
On donne : AB = 4,5 cm ; AC = 3 cm ; AN = 4,8 cm et MN = 6,4 cm.
1. Calculer AM et BC.
2. On sait de plus que AE = 5 cm et AF = 7,5 cm.
Montrer que les droites (EF) et (BC) sont parallèles.
6 points
exercice 2
On considère la pyramide SABCD ci-contre :
la base est le rectangle ABCD de centre O.
AB = 40 cm et BD = 50 cm.
La hauteur [SO] mesure 81 cm.
1. Montrer que AD = 30 cm.
2. Calculer en cm³, le volume de la pyramide SABCD.
3. Soit O' le point de [SO] tel que SO' = 54 cm.
On coupe la pyramide par un plan passant par O' et parallèle à sa base.
a) Quelle est la nature de la section A'B'C'D' obtenue ?
b) La pyramide SA'B'C'D' est une réduction de la pyramide SABCD.
Donner le coefficient de réduction.
c) Quel est le volume de SA'B'C'D' ?
4. a) Calculer la tangente de l'angle .
b) Donner une valeur approchée de l'angle arrondie au degré près.
12 points
Problème
Dans ce problème, l'unité de longueur est le cm et l'unité d'aire, le cm².
On utilisera une feuille de papier millimétré pour la figure.
(O, I, J ) est un repère orthonormé, avec OI = OJ = 1 cm.
1. Placer les points suivants :
A(3 ;-5) ; B(1 ; 6) et C(-3 ; 3).
2. a) Montrer par le calcul que AB ; AC = 10 et BC = 5.
b) Démontrer que ABC est un triangle rectangle en C.
3. a) Construire le point D, image de A dans la translation de vecteur .
b) Justifier que le quadrilatère ABCD est un parallélogramme.
c) Recopier et compléter sans justifications les égalités :
4. Calculer les coordonnées du vecteur .
5. a) Calculer l'aire du parallélogramme ABCD.
b) Soit K le centre de symétrie du parallélogramme ABCD.
Calculer les coordonnées du point K.
1. réponses B et D.
2. réponse C.
3. réponse B.
4. réponses A et D.
5. réponse B.
6. réponse B.
exercice 3
1. Voici les représentations graphiques des fonctions f et g :
2 Soient les coordonnées du point K ; comme K appartient à Cf, on a . Comme K appartient aussi à Cg, on a d'autre part . Ainsi, vérifie le système suivant : . Résolvons ce système :
La première de ces équations donne : , puis , et enfin . En remplaçant cette valeur dans la deuxième équation, on obtient : .
K a pour coordonnées : .
Activités géométriques
exercice 1
1. Les points A, B, M d'une part, et A, C, N d'autre part, sont alignés dans cet ordre. De plus, les droites (BC) et (MN) sont parallèles. D'après le théorème de Thalès, on a : . On en déduit :
.
.
2. Les points E, A, C d'une part, et F, A, B d'autre part, sont alignés dans cet ordre. De plus, et : ainsi, .
D'après la réciproque du théorème de Thalès, les droites (BC) et (EF) sont parallèles.
exercice 2
1. Puisque ABCD est un rectangle, le triangle ABD est rectangle en A. D'après le théorème de Pythagore, on a alors : , ce qui entraîne que , d'où cm.
2. Le volume de la pyramide vaut : cm3.
3. a) Le quadrilatère A'B'C'D' est un rectangle.
3. b) Le coefficient de réduction est .
3. c) Le volume de SA'B'C'D' est cm3.
4. a) Le triangle SAO est rectangle en O. On a cm et cm. Alors .
4. b) . À un degré près, .
Problème
1.
2.a) .
De même, et .
2.b) On a , et aussi. D'après la réciproque du théorème de Pythagore, le triangle ABC est rectangle en C.
3.a) voir la figure.
3.b) D est l'image de A par la translation de vecteur : on a donc ; on en déduit que ABCD est un parallélogramme.
3.c) ; .
4. Le vecteur a pour coordonnées .
5.a) L'aire du parallélogramme ABCD vaut cm² (car (AC) est perpendiculaire à (BC)).
5.b) K est le milieu de [AC] ; ses coordonnées sont donc , soit .
Publié par TP/critou
le
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