Fiche de mathématiques
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Diplôme National du Brevet
Centres Étrangers - Session 2008

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L'emploi de la calculatrice est autorisé.

La rédaction et la présentation seront notées sur 4 points.

Coefficient : 2       Durée : 2 heures


12 points

Activités numériques


exercice 1

On écrira les détails des calculs sur la copie.

1. Soit le nombre \text{A} = \dfrac{4}{5} - \dfrac{7}{5} \times \dfrac{10}{4}
Calculer A. On donnera le résultat sous la forme d'une fraction irréductible, puis on donnera sa valeur décimale.

2. Soit le nombre \text{B} = \dfrac{3 \times 10^{-4} \times 5 \times \left( 10^2 \right)^6}{25 \times 10^{-2}}
Calculer B. On donnera le résultat sous la forme d'une écriture scientifique.


exercice 2

Dans cet exercice, toute trace de recherche, même incomplète, ou d'initiative même non fructueuse, sera prise en compte dans l'évaluation.
" Le nombre caché :
- Je suis un nombre entier compris entre 100 et 400.
- Je suis pair.
- Je suis divisible par 11.
- J'ai aussi 3 et 5 comme diviseur.
Qui suis-je ? "
Expliquer une démarche permettant de trouver le nombre caché, et donner sa valeur.


exercice 3

1. Résoudre le système suivant :
\left \lbrace \begin{array}{c @{ = } c}  5x + 4y  &  88  \\  x + 2y  &  26  \\ \end{array} \right.

2. Dans une grande surface, les DVD et les CD sont en promotion.
Les DVD coûtent tous le même prix. Les CD coûtent tous le même prix.
Paul achète 5 DVD et 4 CD pour 88 €.
Louis achète un DVD et 2 CD. Il paie 26 €.
Quel est le prix d'un DVD ?
Quel est le prix d'un CD ?


exercice 4

Cet exercice est un questionnaire à choix multiple (QCM).
Pour chacune des questions, trois réponses sont proposées, une seule est exacte.
Pour chaque question, indiquer son numéro sur la copie et recopier la réponse.
Aucune justification n'est demandée.

Réponse A Réponse B Réponse C
1. \sqrt{32} est égale à : 16\sqrt{2} 8\sqrt{2} 4\sqrt{2}
2. \sqrt{9 + 16} est égale à : 7 5 \sqrt{3} + \sqrt{4}
3. Pour tout nombre x, x^2- 100 est égale à : (x + 10) (x - 10) (x - 10)^2 (x - 50)^2
4. L'équation (x - 4) (2x + 5) = 0 a pour solution : 4 et \frac{5}{2} -4 et -\frac{5}{2} 4 et -\frac{5}{2}
5. Si x = \sqrt{5} alors l'expression x^2 + 3x - 1 vaut : 4 + 3\sqrt{5} 7\sqrt{5} 24 + 3\sqrt{5}
6. Si le côté d'un carré est multiplié par 3 alors son aire est multipliée par : 3 × 4 32 3




12 points

Activités géométriques


exercice 1

La figure suivante n'est pas réalisée en vraie grandeur.
L'unité de longueur est le centimètre.
On donne : AB = 8 ; BC = 9 ; AC = 6 ; AE = 4
Diplôme national du brevet Centres étrangers - 2008 : image 1


1. Les droites (DE) et (BC) sont parallèles.
Calculer AD.
On donnera sa valeur exacte puis sa valeur arrondie au dixième de centimètre.

2. Soit F le point tel que C, B et F sont alignés dans cet ordre, avec BF = 6.
Démonter que les droites (EF) et (AB) sont parallèles.


exercice 2

1. Construire un triangle SKI rectangle en S tel que SK = 9,6 cm et KI = 10,4 cm.
2. Calculer SI.
3. Calculer la mesure de l'angle \widehat{\text{SKI}}. On donnera l'arrondi au degré.
4. En déduire au degré près la mesure de l'angle \widehat{\text{SIK}}.
5. a) Où se situe le centre O du cercle circonscrit au triangle SKI ?
    b) Placer le point O sur la figure et tracer ce cercle.
Calculer au degré près la mesure de l'angle \widehat{\text{SOI}}.



12 points

Problème

Un cybercafé propose à ses clients les trois tarifs suivants pour accéder à Internet :
Tarif A : abonnement 25 € par mois pour une connexion illimitée.
Tarif B : 1,5 € par heure de connexion.
Tarif C : abonnement 14 € par mois et 0,50 € par heure de connexion.

1. Compléter le tableau suivant :

  Nombre d'heures de connexion par mois
  6 heures 18 heures 24 heures x heures
Prix (en €) Tarif A        
Tarif B        
Tarif C        


2. On considère les fonctions f, g \text{ et } h définies de la façon suivante :
f(x) = 25 \\ g(x) = 1,5x \\ h(x) = 0, 5x + 14
Tracer les représentations graphiques de ces trois fonctions dans le repère orthogonal ci-dessous.
Unités graphiques : 1 cm pour 2 heures en abscisse, 1 cm pour 5 € en ordonnée.
Diplôme national du brevet Centres étrangers - 2008 : image 2


3. Un premier client pense se connecté 8 heures ce mois-ci.
Déterminer graphiquement le tarif le plus intéressant pour lui.
On laissera apparents les traits de construction.

4. Un second client dispose de 24 €.
    a) Déterminer graphiquement le tarif qui lui permettra de se connecter le plus longtemps possible.
On laissera apparents les traits de construction.
    b) Retrouver ce résultat par calcul.

5. Résoudre l'équation suivante : 1,5x = 0,5x + 14.
Interpréter la réponse obtenue.



Activités numériques

exercice 1

1. Calculons A :
\text{A} = \dfrac{4}{5} - \dfrac{7}{5} \times \dfrac{10}{4} \\ \text{A} = \dfrac{4}{5} - \dfrac{7}{5} \times \dfrac{5}{2} \\ \text{A} = \dfrac{4 \times 2}{5 \times 2} - \dfrac{7 \times 5}{5 \times 2} \\ \text{A} = \dfrac{8}{10} - \dfrac{35}{10} \\ \text{A} = \dfrac{8-35}{10}
\boxed{\text{A} = -\frac{27}{10}} (sous forme d'une fraction irréductible)
A = -2,7 (valeur décimale)

2. Calculons le nombre B :
\text{B} = \dfrac{3 \times 10^{-4} \times 5 \times (102)6}{25 \times 10^{-2}} \\ \text{B} = \dfrac{3 \times 5 \times 10^{-4} \times (10^{12}}{25 \times 10^{-2}} \\ \text{B} = \dfrac{3 \times 5 \times 10^{-4+12}}{5 \times 5 \times 10^{-2}} \\ \text{B} = \dfrac{3 \times 10^{8 - (-2)}}{5} \\ \text{B} = \dfrac{3 \times 10^{8 - (-2)}}{5} \\ \text{B} = 0,6 \times 10^{10} \\ \boxed{\text{B} = 6 \times 10^{9}}


exercice 2

Le nombre entier cherché est pair, c'est donc un multiple de 2.
Le nombre entier cherché est divisible par 11, c'est donc un multiple de 11.
Le nombre entier cherché a aussi 3 et 5 comme diviseur, c'est donc un multiple de 3 et de 5.
Les nombres 2, 3, 5 et 11 sont premiers, le nombre cherché est donc un mutliple de 2 × 3 × 5 × 11, soit de 330.
Or, le seul multiple de 330 compris entre 100 et 400 est 330.
D'où : le nombre cherché est 330.


exercice 3

1 Résolvons le système à l'aide de la méthode par substitution :
\left \lbrace \begin{array}{c @{ = } c} 5x+4y  &  88 (1)  \\  x + 2y  &  26 (2) \\ \end{array} \right.
On exprime x en fonction de y à l'aide de léquation (2) : x = 26 - 2y. On remplace x par 26 - 2y dans l'équation (1), on obtient :
5(26 - 2y) + 4y = 88 \\ 130 - 10y + 4y = 88 \\ -6y = 88 - 130 \\ -6y = - 42 \\ y = \dfrac{-42}{-6} \\ \boxed{y = 7}
On a alors :
x = 26 - 2y = 26 - 2 \times 7 = 26 - 14\\ \boxed{x = 12}

Vérifions : on a :
5 × 12 + 4 × 7 = 60 + 28 = 88
et 12 + 2 × 7 = 12 + 14 = 26
D'où : La solution du système est le couple (12 ; 7).

2. Déterminons le prix d'un DVD et celui d'un CD :
Soit x le prix d'un DVD (x est un nombre positif), soit y le prix d'un CD (y est un nombre positif).
On sait que Paul achète 5 DVD à x euros et 4 CD à y euros pour 88 €, donc 5x + 4y = 88.
On sait que Louis achète un DVD à x euros et 2 CD à y euros pour 26 €, donc x + 2y = 26.
On obtient alors le système suivant : \left \lbrace \begin{array}{c @{ = } c} 5x+4y  &  88 (1)  \\  x + 2y  &  26(2) \\ \end{array} \right.
A l'aide de la question précédente, on en conclut que la solution du système est le couple (12 ; 7).
D'où : un DVD coûte 12 euros et un CD coûte 7 euros.


exercice 4

1. Réponse C
Explication : \sqrt{32} = \sqrt{16 \times 2} = 4\sqrt{2}

2. Réponse B
Explication : \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5

3. Réponse A
Explication :x^2 - 100 est une identité remarquable de la forme a² - b².
x^2 - 100 = x^2 - 10^2 = (x + 10)(x - 10)

4. Réponse C
Explication :(x - 4)(2x + 5) = 0 est une équation produit nul. Or, un produit est nul si l'un de ses facteurs est nul, et réciproquement, donc :
\begin{array}{lll} x - 4 = 0 & \hspace{15pt} \text{ ou } \hspace{15pt} & 2x + 5 = 0 \\ x = 4 & & 2x = -5 \\ & & x = -\dfrac{5}{2}\\ \end{array}
Les solutions de l'équation sont 4 et -\dfrac{5}{2}

5. Réponse A
Explication :Si x = \sqrt{5}, alors x^2 + 3x - 1 = \left(\sqrt{5}\right)^2 + 3 \times \sqrt{5} - 1 = 5 + 3\sqrt{5} - 1 = 4 + 3\sqrt{5}

6. Réponse B
Explication :Les longueurs sont multipliées par 3, les aires seront multipliées par 3².



Activités géométriques

exercice 1

1. Calculons AD :
Les droites (EC) et (DB) sont sécantes en A, les droites (DE) et (BC) sont parallèles. D'après le théorème de Thalès, on a :
\dfrac{\text{AE}}{\text{AC}} = \dfrac{\text{AD}}{\text{AB}} = \dfrac{\text{ED}}{\text{BC}}
Donc \dfrac{4}{6} = \dfrac{\text{AD}}{8} = \dfrac{\text{ED}}{9}
De \dfrac{4}{6} = \dfrac{\text{AD}}{8} on en déduit que \text{AD} = \dfrac{8 \times 4}{6} = \dfrac{16}{3}
D'où : \text{AD} = \dfrac{16}{3} cm (valeur exacte)
AD \approx 5,3 cm (valeur arrondie au dixième de centimètre).

2. Démontrons que les droites (EF) et (AB) sont parallèles :
Les points C, A, E d'une part et C, B, F d'autre part sont alignés dans le même ordre.
On a : \dfrac{\text{CA}}{\text{CE}} = \dfrac{\text{CA}}{\text{CA + AE}} = \dfrac{6}{10} = \dfrac{3}{5}
et \dfrac{\text{CB}}{\text{CF}} = \dfrac{\text{CB}}{\text{CB + BF}} = \dfrac{9}{15} = \dfrac{3}{5}
Donc : \dfrac{\text{CA}}{\text{CE}} = \dfrac{\text{CB}}{\text{CF}}
D'après la récirpoque du théorème de thalès, on en déduit que les droites (EF) et (AB) sont parallèles.


exercice 2

1.
Diplôme national du brevet Centres étrangers - 2008 : image 3


2. Calculons SI :
Dans le triangle SKI rectangle en S, on applique le théorème de Pythagore :
KI² = SI² + SK²
SI² = KI² - SK² = 10,4² - 9,6²
SI² = 16
Donc : SI = 4 cm

3. Calculons la mesure de l'angle \widehat{\text{SKI}} :
Dans le triangle SKI rectangle en S, on a :
\cos \left(\widehat{\text{SKI}} \right) = \dfrac{\text{SK}}{\text{KI}} = \dfrac{9,6}{10,4}
Donc : \widehat{\text{SKI}} = \cos^{-1} \left(\dfrac{9,6}{10,4}\right)
D'où : \widehat{\text{SKI}} \approx 23^{\circ} (valeur arrondie au degré).

4. Déduisons-en au degré près la mesure de l'angle \widehat{\text{SIK}} :
La somme des angles du triangle SKI est égale à 180°, donc :
\widehat{\text{SIK}} = 180 - \left(\widehat{\text{ISK}} + \widehat{\text{SKI}}\right) \approx 180 - (90 + 23)
D'où : \boxed{\widehat{\text{SIK}} \approx 67 ^{\circ}}

5. a) On sait que SKI est un triangle rectangle en S, donc le point O, milieu de l'hypoténuse [IK], est le centre du cercle circonscrit au triangle SIK.

5. b) Calculons la mesure de l'angle \widehat{\text{SOI}} :
L'angle inscrit \widehat{\text{SKI}} et l'angle au centre \widehat{\text{SOI}} interceptent le même arc de cercle, donc : \widehat{\text{SOI}} = 2 \times \widehat{\text{SKI}} \approx 2 \times 23
D'où : l'angle \widehat{\text{SOI}} mesure environ 46°.



Problème

1. Complétons le tableau :
  Nombre d'heures de connexion par mois
  6 heures 18 heures 24 heures x heures
Prix (en €) Tarif A 25 25 25 25
Tarif B 1,5 × 6 = 9 1,5 × 18 = 27 1,5 × 24 = 36 1,5 × x = 1,5x
Tarif C 6 × 0,50 + 14 = 17 18 × 0,50 + 14 = 23 24 × 0,50 + 14 = 26 x × 0,50 + 14 = 0,5x + 14


2. Traçons les représentations graphiques des trois fonctions :
cf graphique
Explications :
La fonction f est une fonction constante. Sa représentation graphique est une droite \scr{D}_f parallèle à l'axe des abscisses passant par le point de coordonnées (0 ; 25).
La fonction g est un fonction linéaire. Sa représentation graphique est une droite \scr{D}_g passant par l'origine du repère.
On a g(18) = 27, donc le point de coordonnées (18 ; 27) appartient à la droite \scr{D}_g.
La fonction h est une fonction affine. Sa représentation graphique est une droite \scr{D}_h.
On a h(6) = 17 et h(24) = 26, donc les points de coordonnées (6 ; 17) et (24 ; 26) appartiennent à la droite \scr{D}_h.

Diplôme national du brevet Centres étrangers - 2008 : image 4


3. Graphiquement, on détermine que le tarif B est le plus intéressant pour un client qui se connecte 8 heures ce mois-ci (cf pointillés rouges). Il paiera alors 12 euros.

4. a) Si le second client dispose de 24 €, alors le tarif C lui permettra de se connecter le plus longtemps possible (cf pointillés verts). Il pourra se connecter 20 heures.

4. b) Retrouvons ce résultat par le calcul :
Avec 24 €, le second client ne peut pas s'abonner au tarif A.
Déterminons le nombre d'heures de connexion si le second client disposant de 24 € choisit le tarif B :
1,5x = 24\\ x = \dfrac{24}{1,5} \\ x = 16
Avec 24 €, un client ayant choisi le tarif B bénéficie de 16 heures de connexion.

Déterminons le nombre d'heures de connexion si le second client disposant de 24 € choisit le tarif C :
0,5x + 14 = 24\\ 0,5x = 10\\ x = \dfrac{10}{0,5} \\ x = 20
Avec 24 €, un client ayant choisi le tarif C bénéficie de 20 heures de connexion.
D'où : Si le second client dispose de 24 €, alors le tarif C lui permettra de se connecter le plus longtemps possible. (On retrouve bien le résultat de la question précédente).

5. Résolvons l'équation suivante : 1,5x = 0,5x + 14 :
1,5x = 0,5x + 14 \\ 1,5x - 0,5x = 14\\ x = 14
La solution de l'équation est 14.
D'où : si un client se connecte 14 heures par mois, qu'il ait choisi le tarif B ou le tarif C, il paiera le même prix.
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