Fiche de mathématiques
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Diplôme National du Brevet
Métropole - La Réunion - Mayotte - Session 2008

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L'usage de la calculatrice est autorisé, dans le cadre de la réglementation en vigueur.
L'emploi de la calculatrice est autorisé.

La qualité de rédaction et la présentation seront notées sur 4 points.

Coefficient : 2     Durée : 2 heures


12 points

Activités numériques


exercice 1

On donne le programme suivant :
Choisir un nombre.
      a) Multiplier ce nombre par 3.
      b) Ajouter le carré du nombre choisi.
      c) Multiplier par 2.
Écrire le résultat.


1. Montrer que, si on choisit le nombre 10, le résultat obtenu est 260.

2. Calculer la valeur exacte du résultat obtenu lorsque :
      le nombre choisi est -5 ;
      le nombre choisi est \dfrac23 ;
      le nombre choisi est \sqrt{5}.

3. Quels nombres peut-on choisir pour que le résultat obtenu soit 0 ?


exercice 2

2 est-il solution de l'équation 2a² - 3a - 5 = 1 ? Justifier.


exercice 3

Trois points A, B et C d'une droite graduée ont respectivement pour abscisse : \dfrac{1}{4} \, ; \, \dfrac{1}{3} \, \text{ et } \, \dfrac{5}{12}.
Ces trois points sont-ils régulièrement espacés sur la droite graduée ? Justifier.


exercice 4

Pour 6 kilogrammes de vernis et 4 litres de cire, on paie 95 euros.
Pour 3 kilogrammes de vernis et 3 litres de cire, on paie 55,50 euros.
Quels sont les prix du kilogramme de vernis et du litre de cire ? Justifier.



12 points

Activités géométriques



exercice 1 : QCM

Cet exercice est un questionnaire à choix multiple.
Aucune justification n'est demandée.
Pour chacune des questions, trois réponses sont proposées. Une seule est exacte.
Chaque réponse exacte rapporte 1 point.
Une réponse fausse ou l'absence de réponse n'enlève aucun point.

Pour chacune des quatre questions, indiquer sur la copie le numéro de la question et recopier la réponse exacte.

1. ABCD est un parallélogramme. Quelle égalité vectorielle peut-on en déduire ?
Proposition 1 Proposition 2 Proposition 3
\overrightarrow{\text{AB}} = \overrightarrow{\text{CD}} \overrightarrow{\text{AC}} = \overrightarrow{\text{DB}} \overrightarrow{\text{AD}} = \overrightarrow{\text{BC}}


2. On considère un cylindre de rayon 3 cm et de hauteur 6 cm. Quel est le volume de ce cylindre, exprimé en cm3 ?
Proposition 1 Proposition 2 Proposition 3
18 \pi 54 \pi 36 \pi


3. On considère dans un cercle, un angle inscrit et un angle au centre qui interceptent le même arc. L'angle au centre mesure 34°. Combien l'angle inscrit mesure-t-il ?
Proposition 1 Proposition 2 Proposition 3
34° 17° 68°


4.
Diplôme national du brevet - Métropole - La Réunion - Mayotte - 2008 - troisième : image 1

Le dessin ci-dessus représente en perspective une pyramide à base carrée de sommet S. Quelle est en réalité la nature du triangle ABC ?
Proposition 1 Proposition 2 Proposition 3
Ni rectangle, ni isocèle. Rectangle et isocèle. Isocèle mais non rectangle.



exercice 2

Diplôme national du brevet - Métropole - La Réunion - Mayotte - 2008 - troisième : image 2


Sur la figure ci-dessus :
    les points K, A, F, C sont alignés ;
    les points G, A, E, B sont alignés ;
    (EF) et (BC) sont parallèles ;
    AB = 5 et AC = 6,5 ;
    AE = 3 et EF = 4,8 ;
    AK = 2,6 et AG = 2.

1. Démontrer que BC = 8.
2. Tracer en vraie grandeur la figure complète en prenant comme unité le centimètre.
3. Les droites (KG) et (BC) sont-elles parallèles ? Justifier.
4. Les droites (AC) et (AB) sont-elles perpendiculaires ? Justifier.



12 points

Problème

Dans ce problème, on étudie deux méthodes permettant de déterminer si le poids d'une personne est adapté à sa taille.

Partie I :

Dans le graphique donné en annexe, on lit pour une taille comprise entre 150 cm et 200 cm :
      en abscisse la taille exprimée en cm.
      en ordonnée le poids exprimé en kg.

A l'aide du graphique, répondre aux questions suivantes :

1. Donner le poids minimum et le poids maximum conseillés pour une personne mesurant 180 cm. On donnera les valeurs arrondies des poids au kg près.
2. Une personne mesure 165 cm et pèse 72 kg. Elle dépasse le poids maximum conseillé. De combien ? Donner la valeur arrondie au kg près.
3. Une personne de 72 kg a un poids inférieur au poids maximum conseillé pour sa taille. Quelle peut être sa taille ?


Partie II :

Dans cette partie, t représente la taille d'une personne, exprimée en cm.
On calcule ce qu'on appelle le poids idéal, que l'on note p.
p, exprimé en kg, est donné par la formule : p = t - 100 - \dfrac{t - 150}{4}

1. Calculer le poids idéal de personnes mesurant respectivement :
    160 cm
    165 cm
    180 cm
Placer les points correspondants sur le graphique figurant en annexe.

2. Démontrer que la représentation graphique du poids idéal en fonction de la taille est une droite. Tracer cette droite sur le graphique figurant en annexe.

3. Une personne mesure 170 cm et son poids est égal au poids idéal augmenté de 10 %. Dépasse-t-elle le poids maximum conseillé ?

Diplôme national du brevet - Métropole - La Réunion - Mayotte - 2008 - troisième : image 3

Annexe




Activités numériques


exercice 1

1. Montrons que, si on choisit le nombre 10, le résultat obtenu est 260 :
On choisit le nombre 10.
a) On le multiplie par 3, on obtient 30.
b) On ajoute le carré du nombre choisi : 30 + 10² = 30 + 100 = 130
c) On multiplie par 2 : 130 × 2 = 260
On obtient 260.

2. Calculons la valeur exacte du résultat obtenu lorsque :
      le nombre choisi est -5 ;
a) On le multiplie par 3, on obtient -5 × 3 = -15.
b) On ajoute le carré du nombre choisi : -15 + (-5)² = -15 + 25 = 10
c) On multiplie par 2 : 10 × 2 = 20
On obtient 20.

      le nombre choisi est \dfrac23 ;
a) On le multiplie par 3, on obtient \dfrac{2}{3} \times 3 = 2.
b) On ajoute le carré du nombre choisi : 2 + \left(\dfrac{2}{3}\right)^2 = 2 + \dfrac{4}{9} = \dfrac{18}{9} + \dfrac{4}{9} = \dfrac{22}{9}
c) On multiplie par 2 : \dfrac{22}{9} \times 2 = \dfrac{44}{9}
On obtient \dfrac{44}{9}.

      le nombre choisi est \sqrt{5}.
a) On le multiplie par 3, on obtient 3\sqrt{5}.
b) On ajoute le carré du nombre choisi :3\sqrt{5} + \left(\sqrt{5}\right)^2 = 3\sqrt{5} + 5 = 5 + 3\sqrt{5}
c) On multiplie par 2 : 2\left(5 + 3\sqrt{5}\right) = 10 + 6\sqrt{5}
On obtient 10 + 6\sqrt{5}.

3. Déterminons les nombres que l'on peut choisir pour que le résultat obtenu soit 0 :
Soit x un nombre quelconque.
a) On le multiplie par 3, on obtient 3x.
b) On ajoute le carré du nombre choisi : 3x + x^2
c) On multiplie par 2 : 2(3x + x^2)
On obtient 2(3x + x^2)
On veut que ce résultat soit égal à 0, résolvons l'équation 2(3x + x^2) = 0 :
2(3x + x^2) = 0 \\ 2x(3 + x) = 0
Or, un produit est nul si l'un de ses facteurs est nul, et réciproquement, donc :
\begin{array}{lll} 2x = 0 & \hspace{15pt} \text{ ou } \hspace{15pt} & 3 + x = 0 \\ x = 0 & & x = -3 \\ \end{array}
D'où : les nombres que l'on peut choisir pour que le résultat obtenu soit 0 sont : -3 et 0.


exercice 2

Pour a = 2, on obtient :
2 × 2² - 3 × 2 - 5 = 2 × 4 - 6 - 5 = 8 - 6 - 5 = -3
Or, -3 \neq 1, donc 2 n'est pas solution de l'équation 2a² - 3a - 5 = 1.


exercice 3

Diplôme national du brevet - Métropole - La Réunion - Mayotte - 2008 - troisième : image 6

On a : \dfrac{1}{4} < \dfrac{1}{3} < \dfrac{5}{12}
Donc, pour savoir si les trois points sont régulièrement espacés sur la droite graduée, déterminons les distances AB et BC.
\dfrac{1}{4} < \dfrac{1}{3}, donc AB = \dfrac13 - \dfrac14 = \dfrac{4}{12} - \dfrac{3}{12} = \dfrac{1}{12}
\dfrac{1}{3} < \dfrac{5}{12}, donc BC = \dfrac{5}{12} - \dfrac{1}{3} = \dfrac{5}{12} - \dfrac{4}{12} = \dfrac{1}{12}
Donc : AB = BC.
D'où : les trois points A, B et C sont régulièrement espacés sur la droite graduée.


exercice 4

Soit x le prix du kilogramme de vernis (x est un nombre strictement positif), soit y le prix du litre de cire (y est un nombre strictement positif).
On sait que " Pour 6 kilogrammes de vernis et 4 litres de cire, on paie 95 euros ", donc 6x + 4y = 95
et que " Pour 3 kilogrammes de vernis et 3 litres de cire, on paie 55,50 euros ", donc 3x + 3y = 55,50
On obtient alors le système suivant : \left \lbrace \begin{array}{c @{ = } c} 6x + 4y  &  95 \\ 3x + 3y  &  55,50 \\ \end{array} \right.
Résolvons ce système par combinaison :
\left \lbrace \begin{array}{c @{ = } c} 6x + 4y  &  95 (1) \\ 3x + 3y  &  55,50 (2) \\ \end{array} \right.
Déterminons y :
On multiplie par (-2) les deux membres de l'équation (2), on obtient :
\left \lbrace \begin{array}{c @{ = } c} 6x + 4y  &  95  \\ -6x - 6y  &  -111  \\ \end{array} \right.
En additionnant membre à membre, on obtient :
6x - 6x + 4y - 6y = 95 - 111 \\ -2y = -16\\ \boxed{y = 8}

Déterminons x :
On multiplie par 3 les deux membres de l'équation (1) et par (-4) les deux membres de l'équation (2) :
\left \lbrace \begin{array}{c @{ = } c} 18x + 12y  &  285  \\ -12x - 12y  &  -222 \\ \end{array} \right.
En additionnant membre à membre, on obtient :
18x - 12x + 12y - 12y = 285 - 222 \\ 6x = 63\\ \boxed{x = 10,5}

Vérifions :
6 × 10,5 + 4 × 8 = 63 + 32 = 95
3 × 10,5 + 3 × 8 = 31,5 + 24 = 55,5
Donc la solution du système est la couple (10,5 ; 8).
D'où : un kilogramme de vernis coûte 10,50 € et un litre de cire coûte 8 €.



Activités géométriques



exercice 1 : QCM

1. Réponse : Proposition 3 : \overrightarrow{\text{AD}} = \overrightarrow{\text{BC}}
ABCD est un parallélogramme, donc \overrightarrow{\text{AD}} = \overrightarrow{\text{BC}}

2. Réponse : Proposition 2 : 54\pi
\scr{V}_{\text{cylindre}} = \pi R^2 \times h = \pi \times 3^2 \times 6 = 54\pi \text{ cm}^3

3. Réponse : Proposition 2 : 17°
L'angle inscrit et l'angle au centre interceptent le même arc, donc l'angle inscrit vaut la moitié de l'angle au centre, soit 17° (34 : 2 = 17)

4. Réponse : Proposition 2 : Rectangle et isocèle.
ABCD est un carré, donc AB = BC et \widehat{\text{ABC}} est un angle droit. Donc le triangle ABC est rectangle et isocèle en B.


exercice 2

1. Démontrons que BC = 8 :
Les droites (EB) et (FC) sont sécantes en A, les droites (EF) et (BC) sont parallèles. D'après le théorème de Thalès, on a :
\dfrac{\text{AE}}{\text{AB}} = \dfrac{\text{AF}}{\text{AC}} = \dfrac{\text{EF}}{\text{BC}}
Donc : \dfrac{3}{5} = \dfrac{\text{AF}} {6,5} = \dfrac{4,8}{\text{BC}}
De \dfrac{3}{5} = \dfrac{4,8}{\text{BC}}, on en déduit que :
3 \times \text{BC} = 5 \times 4,8 \\ \text{BC} = \dfrac{5 \times 4,8}{3} \\ \boxed{\text{BC} = 8}

2. Traçons en vraie grandeur la figure complète en prenant comme unité le centimètre :
Diplôme national du brevet - Métropole - La Réunion - Mayotte - 2008 - troisième : image 4


3. Déterminons si les droites (KG) et (BC) sont parallèles ou non :
Les points K, A, C d'une part et G, A, B d'autre part sont alignés dans le même ordre.
On a : \dfrac{\text{AB}}{\text{AG}} = \dfrac{5}{2} et \dfrac{\text{AC}}{\text{AK}} = \dfrac{6,5}{2,6} = \dfrac{65}{26} = \dfrac{5 \times 13}{2 \times 13} = \dfrac{5}{2}
Donc \dfrac{\text{AB}}{\text{AG}} = \dfrac{\text{AC}}{\text{AK}}
Donc d'après la réciproque du théorème de Thalès, les droites (KG) et (BC) sont parallèles.

4. Déterminons si les droites (AC) et (AB) sont perpendiculaires ou non :
Dans le triangle ABC, on a : ([BC] est le côté le plus grand)
BC² = 8² = 64     et     AC² + AB² = 6,5² + 5² = 42,25 + 25 = 67,25
Donc BC² \neq AC² + AB²
Or, si le triangle ABC était rectangle en A, on aurait d'après le théorème de Pythagoe BC² = AC² + AB². Or, ce n'est pas le cas, donc le triangle ABC n'est pas rectangle en A.
D'où : les droites (AC) et (AB) ne sont pas perpendiculaires.



Problème

Partie I :

1. Pour une personne mesurant 180 cm, le poids minimum est de 60 kg, le poids maximum est de 81 kg. (cf pointillés rouges sur le graphique).

2. Pour un personne mesurant 165 cm, le poids maximum conseillé est de 68 kg. Si elle pèse 72 kg, elle dépasse le poids maximum conseillé de 4 kg. (cf pointillés bleus sur le graphique)

3. Une personne de 72 kg qui a un poids inférieur au poids maximum conseillé mesure plus de 170 cm. (cf pointillés verts)

Diplôme national du brevet - Métropole - La Réunion - Mayotte - 2008 - troisième : image 5



Partie II :

1. Calculons le poids idéal de personnes mesurant respectivement :
    160 cm :
Pour t = 160 cm, p = 160 - 100 - \dfrac{160-150}{4} = 60 - \dfrac{10}{4} = 57,5
Le poids idéal d'une personne mesurant 160 cm est de 57,5 kg.
    165 cm :
Pour t = 165 cm, p = 165 - 100 - \dfrac{165-150}{4} = 65 - \dfrac{15}{4} = 61,25
Le poids idéal d'une personne mesurant 165 cm est de 61,25 kg.
    180 cm :
Pour t = 180 cm, p = 180 - 100 - \dfrac{180 - 150}{4} = 80 - \dfrac{30}{4} = 72,5
Le poids idéal d'une personne mesurant 180 cm est de 72,5 kg.

2. Démontrer que la représentation graphique du poids idéal en fonction de la taille est une droite :
On a :
p = t - 100 - \dfrac{t - 150}{4}\\ p = t - 100 - \left(\dfrac{t}{4} - \dfrac{150}{4}\right) \\ p = \dfrac{4t}{4} - \dfrac{t}{4} - \dfrac{400}{4} + \dfrac{150}{4} \\ p = \dfrac{3}{4}t - \dfrac{250}{4}
p est une fonction affine, donc la représentation graphique du poids idéal en fonction de la taille est une droite.
cf graphique

3. Une personne qui mesure 170 cm a un poids idéal de : 170 - 100 - \dfrac{170 - 150}{4} = 70 - \dfrac{20}{4}, soit 65 kg.
Son poids est égal au poids idéal augmenté de 10 %, soit à : 65 + \dfrac{10}{100} \times 65 = 65 + 6,5 = 71,5 kg.
Le poids maximum conseillé pour une personne mesurant 170 cm étant de 72 kg, elle ne dépasse pas le poids maximum conseillé.
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