Fiche de mathématiques

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Diplôme National du Brevet
Madagascar - Session Juin 2008

L'emploi de la calculatrice est autorisé.

La rédaction et la présentation seront notées sur 4 points.

Coefficient : 2 Durée : 2 heures

12 points

Activités numériques

exercice 1

On donne E $= \dfrac{2}{3} + \dfrac{17}{2} \times \dfrac{4}{3}\qquad$ et $\qquad \text{F} = \dfrac{\sqrt{6} \times \sqrt{3} \times \sqrt{16}}{\sqrt{2}}.$

1. Démontrer que les nombres E et F sont égaux.
2. On donne G $= \left(10^{-1}+ a\right) \times 10^2$ . Calculer le nombre $a$ pour que l'égalité E = G soit vraie.

exercice 2

On considère les nombres suivants : $\text{A} = \nombre{1001} \times 999 - 999^2\quad \text{B} = 57 \times 55 - 55^2\quad \text{et} \quad \text{C} = (-2) \times (-4) -(- 4)^2$ .
1. a) Donner les valeurs lues sur la calculatrice pour A, B et C.
    b) Les nombres A et B sont-ils premiers entre eux ? Justifier brièvement.

2. On pose $\text{D} = (x + 1)(x - 1) - (x - 1)^2$ .
    a) $x$ étant un nombre entier, supérieur à 1, montrer que D est un multiple de 2.
    b) Pour quelles valeurs de $x$ , D est-il un nombre négatif ou nul ?
Représenter les valeurs trouvées sur un axe en hachurant la partie qui ne convient pas.

3. Trouver une expression E de la même forme que celle de A pour laquelle le résultat du calcul est 2 008.

exercice 3

L'air, dans l'environnement terrestre, est un mélange constitué
    de 78 % de diazote
    de dioxygène
    d'autres gaz (ozone, argon, vapeur d'eau, dioxyde de carbone, ...).

1. L'air contenu dans un ballon de football pèse 470,6 g. Dans des conditions de température et de pression fixées, la masse d'un litre d'air est 1,3 g. Déterminer alors la masse, en g, puis le volume, en L, de diazote à l'intérieur du ballon.

2. Une salle de classe de volume 30 m³ contient 6,3 m³ de dioxygène. Trouver le pourcentage de dioxygène et le pourcentage des gaz présents dans l'air, autres que le diazote et le dioxygène.

12 points

Activités géométriques

Dans les deux exercices, les figures ne sont pas en vraie grandeur. Elles ne sont pas à reproduire mais elles peuvent constituer une aide pour les démonstrations demandées.

exercice 1

Diplôme national du brevet - Madagascar - Juin 2008 - troisième : image 1

ABC est un triangle rectangle en C tel que
    le segment [AC] mesure 8 cm ;
    le segment [BC] mesure 6 cm;
    le milieu du segment [AC] est noté I.

1. Montrer que AB = 10 cm.

2. Préciser la position du point O centre du cercle circonscrit au triangle ABC. Justifier.

3. Pour chacune des cinq questions, indiquer sur la copie la ligne de la question et recopier la réponse exacte. On ne demande pas de justification.

	Questions	Réponses proposées
L1	Que représente la droite (OI) ?	Une médiane du triangle	Une hauteur du triangle	La médiatrice de [AC]
L2	Que vaut la longueur du segment [OI] ?	2 cm	3 cm	5 cm
L3	Quel est l'arrondi à l'unité de la mesure de l'angle $\widehat{\text{IAO}}$ ?	53 °	36 °	37 °
L4	Que vaut l'aire du quadrilatère OICB ?	18 cm²	6 cm²	12 cm²
L5	Quelle est la nature du triangle OBC ?	Un triangle équilatéral	Un triangle quelconque	Un triangle isocèle

exercice 2

(O ; I, J) est un repère orthogonal donné.

Diplôme national du brevet - Madagascar - Juin 2008 - troisième : image 2

1. Lire les coordonnées des points L, U, N et E.

2. Démontrer que le quadrilatère LUNE est un parallélogramme.
Préciser son centre de symétrie.

3. Le point A est défini par $\overrightarrow{\text{LA}} = \overrightarrow{\text{LU}} + \overrightarrow{\text{LN}}$ .
Prouver que N est le milieu du segment [AE].

4. Les droites (OA) et (UN) se coupent au point H. Montrer que la droite (EH) est une médiane du triangle UEA.

12 points

Problème

Partie 1

Pour commercialiser des tomates, une coopérative les calibres en fonction du diamètre. On a relevé, ci-dessous, le diamètre de 30 tomates (en millimètres).

49 - 52 - 59 - 57 - 51 - 55 - 50 - 56 - 49 - 48
58 - 49 - 52 - 51 - 53 - 56 - 49 - 56 - 55 - 50
52 - 56 - 57 - 54 - 53 - 49 - 51 - 55 - 56 - 59

1. Reproduire et compléter le tableau suivant :

Diamètres	[48 ; 51[	[51 ; 54[	[54 ; 57[	[57 ; 60[
Effectif	8
Centre des classes		52,5

2. À partir de ce tableau des effectifs, vérifier que le diamètre moyen d'une tomate, arrondi à l'unité, est 54 mm. Déterminer le volume, en mm³, d'une tomate de diamètre moyen, modélisée comme une boule. Arrondir à l'unité.

On rappelle que le volume d'une boule de rayon $R$ est $\dfrac{4}{3}\pi R^3$ .

Partie 2

Les caissettes de 15 tomates sont vendues et livrées à partir de la coopérative. L'acheminement s'effectue selon deux possibilités.
Possibilité n° 1 : La caissette est vendue 7 € pour une livraison inférieure ou égale à 90 km de la coopérative.
Possibilité n° 2 : La caissette est vendue 6,50 € pour une livraison supérieure ou égale à 90 km avec des frais de transport de 50 €.

1. Comparer les deux tarifs pour un achat de 100 caissettes.
2. Une entreprise située à 200 km de la coopérative achète $x$ caissettes Quel sera le prix $P(x)$ à payer à la coopérative ?
3. Une autre entreprise située à 50 km de la coopérative achète $x$ caissettes. Quel sera le prix $S(x)$ à payer à la coopérative ?

Partie 3

Une feuille de papier millimétré est nécessaire

1. Dans un même repère orthogonal, représenter graphiquement les deux fonctions $S$ et $P$ . On prendra sur l'axe des abscisses 1 cm pour 10 caissettes et sur l'axe des ordonnées 1 cm pour 50 €.
2. Une troisième entreprise se situe exactement à 90 km de la coopérative. On suppose qu'elle a le choix entre les deux tarifs proposés. Déterminer à l'aide du graphique, le tarif de vente le plus avantageux selon le nombre $x$ de caissettes qu'elle souhaite acheter.

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Activités numériques

exercice 1

1. On calcule $E$ et $F$ séparément.
$\displaystyle\left\lbrace \begin{array}{l} \displaystyle E=\frac{2}{3}+\frac{17}{2}\times\frac{4}{3} =\frac{2}{3}+\frac{17\times\cancel{2}\times2}{\cancel{2}\times3} =\frac{2}{3}+\frac{34}{3} =\frac{34+2}{3} =\frac{36}{3} =\fbox{12}\\ \\ \displaystyle F=\frac{\sqrt{6}\times\sqrt{3}\times\sqrt{16}}{\sqrt{2}} =\sqrt{\frac{\cancel{2}\times3\times3\times16}{\cancel{2}}} =\sqrt{144} =\fbox{12}\end{array}\right.$
D'où $\mathbf{E=F}$ .

2. On a : $G=\left(10^{-1}+a\right)\times10^2=10^{-1+2}+a\times 10^2=100a+10$ .
D'où $G=E$ si et seulement si $100a=2$ , soit $\fbox{\displaystyle a=\frac{2}{100}=\frac{1}{50}}$ .

exercice 2

1. a) Si on écrit les calculs sur la calculatrice, on lit :
$\left\lbrace\begin{array}{l}A=1998\\ B=110\\ C=-8\end{array}\right.$

b) Le nombre A se termine par le chiffre 8, et le nombre B par un 0.
Autrement dit, A et B sont des multiples de 2.
Ainsi, A et B ne sont pas premiers entre eux.

2. a) Soit $x$ un nombre entier supérieur à 1. Il s'agit de développer l'expression donnée, en reconnaissant des identités remarquables.
$\begin{array}{r@{\quad=\quad}l} D & (x+1)(x-1)-(x-1)^2\\ & x^2-1-(x^2-2x+1)\\ & x^2-1-x^2+2x-1\\ & 2x-2\\ & 2(x-1)\end{array}$
D'où D est un multiple de 2.

b) D'après les calculs effectués ci-dessus, $D$ est un nombre négatif ou nul lorsque $x-1\leq 0$ , autrement dit lorsque $\fbox{\math x\leq 1}$ .
En hachurant la partie qui ne convient pas, on obtient le schéma suivant :

Diplôme national du brevet - Madagascar - Juin 2008 - troisième : image 5

3. On constate que $2008=2\times1004=2\times(1005-1)$ de la forme $2(x-1)$ avec $x=1005$ .
Ainsi, en remplaçant dans l'expression initiale de D, on obtient : $\fbox{E=1006\times1004-1004^2=2008}$ .

exercice 3

1. L'air contenu dans un ballon pèse 470,6g. En supposant que la masse de chaque constituant de l'air est proportionnelle au pourcentage qu'il occupe dans ce gaz, la masse de diazote à l'intérieur du ballon est :
$\displaystyle m=78\%\,{\rm de}\,470,6=\frac{78}{100}\times470,6\simeq 367,1$ soit 367,1 grammes.

La masse d'un litre d'air étant de 1,3g, et en supposant qu'il en est de même pour le diazote, le volume occupé par les 367,1 grammes de diazote est alors : $V=\frac{m}{1,3}\simeq 282,4L$ .

2. On construit le tableau de proportionnalité suivant :
$\begin{tabular}{|ll|c|c|}\hline {\rm Volume\,de\,dioxygène} & {\rm (en L)} & 6,3 & p\\\hline {\rm Volume\,total\,de\,la\,pièce} & {\rm (en L)} & 30 & 100\\\hline \end{tabular}$
Dès lors, par produit en croix, on obtient : $\displaystyle p = \frac{6,3\times100}{30}=\fbox{21\%}$ .
Enfin, comme il y a 78% de diazote et 21% de dioxygène, les autres gaz constituent (100-78-21) = 1% de l'air.

Activités géométriques

exercice 1

1. Dans le triangle ABC rectangle en C, on a d'après le théorème de Pythagore :
$AB^2=AC^2+BC^2\\ AB^2=8^2+6^2\\ AB^2=64+36\\ AB^2=100\\ AB=\sqrt{100}\quad{\rm car}\,AB\,{\rm positif}\\ \fbox{AB=10}\quad{\rm soit}\,10\,{\rm cm}$

2. Le triangle ABC étant rectangle en C, le centre du cercle circonscrit est le milieu de l'hypoténuse.
D'où O est le milieu du segment [AB].

3. Les justifications n'étaient pas demandées mais sont indiquées ici à titre indicatif.
    (L1) La droite (OI) représente la médiatrice de [AC].
En effet, d'après le théorème de la droite des milieux, (OI) est parallèle à (BC).
Or, si deux droites sont parallèles, toute perpendiculaire à l'une est perpendiculaire à l'autre, d'où comme ABC est rectangle en C, (OI) est perpendiculaire à (AC).
(OI) est donc la perpendiculaire à (AC) passant par le milieu du segment [AC] : c'est donc bien la médiatrice du segment [AC].

    (L2) La longueur du segment [OI] est 3 cm.
Le triangle AOI est une réduction du triangle ABC, de rapport 1/2. On a donc : OI = BC/2 = 3cm.
(On peut également s'en convaincre en écrivant les égalités obtenus grâce au théorème de Thalès.)

    (L3) L'arrondi à l'unité de mesure de l'angle $\widehat{IAO}$ est 37°.
Par exemple : $\cos\left(\widehat{IAO}\right)=\cos\left(\widehat{CAB}\right)=\frac{AC}{AB}=\frac{8}{10}$ , d'où $\widehat{IAO}=36,87\dots^\circ$ .

    (L4) L'aire du quadrilatère OICB est de 18 cm².
$\mathcal{A}(OICB)=\mathcal{A}(ABC)-\mathcal{A}(AOI)=\frac{6\times8}{2}-\frac{3\times4}{2}=\frac{48-12}{2}=18$ soit 18 cm².

    (L5) Le triangle OBC est isocèle.
En effet, O est le centre du cercle circonscrit à ABC, donc $OB=OC=\frac{AB}{2}=5\neq BC$ .

exercice 2

1. On lit sur le graphique les coordonnées des points en question :
$\displaystyle\left\lbrace\begin{array}{l}L(-2;3)\\ U(1;2)\\ N(2;-3)\\ E(-1;-2)\end{array}\right.$

2. Il s'agit de calculer par exemple les coordonnées des vecteurs $\overrightarrow{LU}$ et $\overrightarrow{EN}$ .
$\displaystyle\left\lbrace\begin{array}{l} \displaystyle \overrightarrow{LU}=\left(x_U-x_L;y_U-y_L\right)=\left(1-(-2);2-3\right)=(3;-1)\\ \displaystyle \overrightarrow{EN}=\left(x_N-x_E;y_N-y_E\right)=\left(2-(-1);-3-(-2)\right)=(3;-1) \end{array}\right.$
D'où $\overrightarrow{LU}=\overrightarrow{EN}$ : le quadrilatère LUNE est donc un parallélogramme.
Son centre de symétrie est le milieu de ses diagonales : il s'agit du point O.

3. On a vu que $\overrightarrow{LU}=(3;-1)$ . On calcule de même : $\overrightarrow{LN}=(4;-6)$ .
Ainsi, les coordonnées du point A sont $(x_L+x_{\vec{LU}}+x_{\vec{LN}};y_L+y_{\vec{LU}}+y_{\vec{LN}})$ , d'où : $A\left(5;-4)$ .
Les coordonnées du milieu du segment [AE] sont donc :
$\displaystyle\left(\frac{x_A+x_E}{2};\frac{y_A+y_E}{2}\right)=\left(\frac{5+(-1)}{2};\frac{-4+(-2)}{2}\right)=\left(2;-3)$ .
On retrouve les coordonnées du point N, qui est donc le milieu du segment [AE].

4.

Diplôme national du brevet - Madagascar - Juin 2008 - troisième : image 4

Les droites (OA) et (UN) se coupent en H.
Dans le triangle UEA,
O est le milieu de [UE] donc (OA) est une médiane de UEA.
N est le milieu de [AE] donc (UN) est une médiane de UEA.
Les deux médianes de UEA se coupent en H qui est donc le centre de gravité de UEA.
La droite (EH) passe par le sommet E et par le centre de gravité H du triangle UEA.
(EH) est la troisième médiane de ce triangle.

OU Méthode vectorielle :
On constate sur le dessin qu'il s'agira de montrer que (EH) coupe le milieu du segment [UA].
Un calcul analogue à celui mené à la question précédente permet de déterminer que les coordonnées du milieu M du segment [UA] sont $(3;-1)$ .
De plus, l'équation de la droite (OA) est $y=-\frac{4}{5}x$ , et celle de la droite (UN) est $y=-5x+7$ . Autrement dit, l'abscisse de H vérifie $-\frac{4}{5}x_H=-5x_H+7$ , d'où $x_H=\frac{5}{3}$ .
On calcule alors : $y_H=-\frac{4}{5}x_H=-\frac{4}{5}\times\frac{5}{3}=-\frac{4}{3}$ .

Enfin, l'équation de la droite (EM) est : $y=\frac{1}{4}x-\frac{7}{4}$ .
On vérifie alors que H appartient à la droite (EM). Pour ce faire, calculons :
$\displaystyle\frac{1}{4}x_H-\frac{7}{4}=\frac{1}{4}\times\frac{5}{3}-\frac{7}{4}=\frac{5}{12}-\frac{21}{12}=\frac{-16}{12}=\frac{-4}{3}=y_h$ .

D'où finalement (EH) est une médiane du triangle (UEA).

Problème

Partie A

1. On a le tableau suivant :
$\begin{tabular}{|l|c|c|c|c|}\hline {\rm Diamètres} & [48;51[ & [51;54[ & [54;57[ & [57;60[\\\hline {\rm Effectif} & 8 & \bf 8 & \bf 9 & \bf 5\\\hline {\rm Centre des classes} & \bf 49,5 & 52,5 & \bf 55,5 & \bf 58,5\\\hline\end{tabular}$

2. Le diamètre moyen d'une tomate est :
$d = \dfrac{49,5\times8+52,5\times8+55,5\times9+58,5\times5}{30}=\fbox{53,6}$ soit environ 54 mm.

Le volume d'une tomate ayant un diamètre de 54 mm est : $\mathcal{V} = \dfrac{4}{3} \pi R^3 = \dfrac{4}{3} \pi \times \left(\dfrac{54}{2}\right)^3 = 26 244 \pi \text{ mm}^3$
soit environ 82 448 mm³.

Partie 2

1. Pour un achat de 100 caissettes :
dans le premier cas (livraison inférieure à 90 km), on payera : $7\times100=\fbox{700\euro}$ ;
dans le deuxième cas (livraison supérieure à 90 km), on payera : $6,5\times100+50=650+50=\fbox{700\euro}$ .
Ainsi, pour 100 caissettes achetées, le montant payé est le même dans les deux cas.

2. On se situe dans le deuxième cas (livraison supérieure à 90 km).
Le prix payé par l'entreprise pour $x$ caissettes achetées sera donc : $\fbox{\math P(x)=6,5x+50}$ .

3. Cette entreprise se situe à moins de 90 km : on se situe donc dans le premier cas.
Le prix payé par l'entreprise pour $x$ caissettes achetées sera alors : $\fbox{\math S(x)=7x}$ .

Partie 3

1. Sur le graphique ci-dessous, on a représenté en bleu la courbe de $S$ et en rouge la courbe de $P$ .

Diplôme national du brevet - Madagascar - Juin 2008 - troisième : image 3

2. Une entreprise se situe à 90 km de la coopérative, et a le choix entre les deux tarifs proposés.
si le nombre de caissettes est inférieur à 100, la courbe bleue est en-dessous de la courbe rouge, autrement dit le tarif 1 (correspondant à la fonction S) est le plus avantageux.
si à l'inverse le nombre de caissettes est supérieur à 100, la courbe rouge est en-dessous de la courbe bleue, donc le tarif 2 (correspondant à la fonction P) est le plus avantageux.
si le nombre de caissettes est égal à 100, comme on l'a vu à la première question de la partie 2, les deux tarifs sont équivalents.

Publié par TP/Porcepic le 09-01-2016

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