Diplôme National du Brevet
Polynésie Française - Session Juin 2008
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4 points sont réservés à la présentation et à la rédaction.
Les calculatrices sont autorisées.
L'échange de calculatrices et de tout autre matériel est formellement interdit.
Coefficient : 2 Durée : 2 heures
12 points
Activités numériques
exercice 1
Cet exercice est un questionnaire à choix multiples (QCM). Aucune justification n'est demandée.
Pour chacune des questions, trois réponses sont proposées, une seule est exacte.
Pour chacune des questions, entourer la bonne réponse.
1
Le nombre est égal aussi à :
2
L'expression développée de est :
3
L'expression factorisée de A est :
4
Une solution de l'équation est :
5
Une solution de l'inéquation est :
exercice 2
Le magasin TAMARIIGAMES loue des jeux vidéo et des DVD.
Moana loue un jeu vidéo et un DVD pour 1 400 F.
Son copain Tihoti loue 3 jeux et 2 DVD pour 3 600 F.
1. Moana pense que le prix de la location d'un jeu est de 1 000 F et celui d'un DVD est 400 F.
a) Si tel est le cas, compléter les tableaux suivants :
Achat de Moana
Prix d'un jeu
Prix d'un DVD
Somme totale
Achat de Tihoti
Prix des 3 jeux
Prix des 2 DVD
Somme totale
b) Tiboti n'est pas d'accord avec Moana. Qui a raison ? Pourquoi ?
2. Résoudre le système suivant :
3. En déduire le prix de la location d'un jeu vidéo ainsi que celui d'un DVD.
12 points
Activités géométriques
exercice 1
L'unité est le centimètre.
On considère le cercle et de diamètre [BC] et le cercle de diamètre [BD].
A est un point de et la droite (AB) coupe le cercle , au point E.
On donne :
BA = 4 ; BC = 5 et BD = 9.
La figure ci-contre n'est pas en vraie grandeur
1. Les triangles ABC et EBD sont rectangles.
Parmi les trois propriétés suivantes, recopier sur votre copie la propriété qui permet de démontrer ce résultat, dans cet exercice :
Si le carré de la longueur d'un côté d'un triangle est égal à la somme des carrés des longueurs des deux autres côtés, alors ce triangle est rectangle.
Les bissectrices d'un triangle sont concourrantes en un point qui est le centre du cercle inscrit dans ce triangle.
Si un triangle est inscrit dans un cercle et que l'un de ses côtés est un diamètre de ce cercle, alors ce triangle est rectangle.
2. Dans le triangle ABC rectangle en A, calculer AC.
3. En vous aidant du résultat donné la question 1., montrer que les droites (AC) et (ED) sont parallèles.
4. Montrer que BE = 7,2.
exercice 2
Voici le pentagone régulier ABCDE. Le point I est le milieu de [AB].
OA = OB = OC = OD = OE = 5,7 cm.
Cette figure n'est pas en vraie grandeur
1. a) Quelle est la nature du triangle AOB ?
b) Montrer que la mesure de l'angle est de 72°.
2. Quelle est l'image du triangle BOC,
a) par la symétrie axiale d'axe (DI) ?
b) par la rotation de centre O, d'angle 72°, dans le sens inverse des aiguilles d'une montre ?
3. Calculer la longueur AB (arrondie au millimètre).
12 points
Problème
Première partie
Il existe trois variétés de thon pêché en Polynésie française :
le thon Germon (variété de thon blanc)
le thon Jaune (à nageoires jaunes, variété de thon rouge)
le thon Obèse (variété de thon rouge)
1. Le graphique 1, ci-dessous, représente la taille du thon Germon en fontion de sa masse.
a) Est-ce que la taille du thon Germon est proportionnelle à sa masse ? Justifier.
b) L'équipe de Moana a capturé un thon Germon de 22 kg.
Déterminer graphiquement, sa taille.
(On laissera apparents les traits de construction).
c) L'équipe de Teiki a pris un thon Germon de 70 cm.
Déterminer graphiquement sa masse.
(On laissera apparents les traits de construction).
Graphique 1 : taille du thon Germon
Graphique 2
2. La masse du thon Jaune représente en moyenne 17 % de la masse totale des trois espèces de thon pêché.
Le graphique 2, ci-dessus, représente la masse de thon Jaune pêché par rapport à la masse totale de thon pêché.
a) Est-ce que la masse de thon Jaune est proportionnelle à la masse totale de thon pêché ?
Justifier.
b) L'équipe de Moana a pêché 400 kg de thon.
Calculer la masse de thon Jaune pêché.
DEUXIÈME PARTIE
À un concours de pêche au large, les prises sont constituées de thons, d'espadons, de thazards et de mahi-mahi.
On a réparti les différentes prises des équipes de Moana et de Teiki dans les tableaux suivants : tableau (I) et tableau (II).
TABLEAU (I) : Équipe de Moana
Espèce
thon
espadon
thazard
mahi-mahi
total
Prise en kg
400
104
56
240
800
Diagramme semi-circulaire représentant les prises en pourcentage de l'équipe de Moana
TABLEAU (II) : Équipe de Teiki
Espèce
thon
espadon
thazard
mahi-mahi
total
Prise en kg
144
108
36
432
720
Fréquence en %
100
Secteur angulaire en degré
180
1. Compléter sur cette feuille le tableau (II) précédent.
2. Représenter les prises exprimées en fréquence de ce deuxième tableau, par un diagramme semi-circulaire de rayon 5 cm.
3. Quel est le poisson principalement capturé par chacune des équipes ?
4. Quel pourcentage représente la masse totale de thon pêché par les deux équipes par rapport à la masse totale de poissons capturés par les deux équipes ? (arrondir à l'unité).
1. b) Si Moana avait raison, alors Tihoti aurait payé 3800F pour 3 jeux et 2 DVD ; or il n'a payé que 3600 F. Donc Moana s'est effectivement trompée : Tihoti a raison.
2. Résolvons le système , par substitution :
de la première équation, on tire ; en reportant dans la deuxième, on obtient , c'est-à-dire , d'où . On en déduit : .
La solution de ce système est donc : et .
3. Soit le prix de location d'un jeu vidéo et celui d'un DVD (en F). Alors et vérifient les équations : .
D'après la question précédente, et : ainsi, un jeu vidéo coûte 800 F et un DVD coûte 600 F.
Activités géométriques
exercice 1
1. La propriété permettant de prouver que ABC et EBD sont rectangles est :
"Si un triangle est inscrit dans un cercle et que l'un de ses côtés est un diamètre de ce cercle, alors ce triangle est rectangle."
2. Le triangle ABC est rectangle en A. D'après le théorème de Pythagore, on a : , donc : on en déduit que .
3. D'après la question 1., ABC est rectangle en A et EBD est rectangle en E. Les points B, A, E étant alignés, (AC) est donc perpendiculaire à (BE), et (DE) est aussi perpendiculaire à (BE). On en déduit que les droites (AC) et (DE) sont parallèles.
4. Les points B, A, E d'une part, et B, C, D d'autre part sont alignés dans cet ordre. De plus, les droites (AC) et (DE) sont parallèles. D'après le théorème de Thalès, on a les égalités : ; on en déduit .
exercice 2
1. a) Puisque OA=OB(=5,7 cm), le triangle AOB est isocèle en O.
1. b) Le pentagone ABCDE est régulier, donc
ou : AOB est isocèle en O donc ses angles à la base sont égaux : . La somme des angles d'un triangle étant égale à 180°, on en déduit que mesure .
2. a) La symétrie axiale d'axe (DI) envoie : O sur O (car O appartient à (DI)), B sur A (car (DI) est la médiatrice de [AB]), et C sur E (car (DI) est la médiatrice de [CE]) ; elle transforme donc le triangle BOC en le triangle AOE.
2. b) Par la rotation de centre O, d'angle 72°, dans le sens inverse des aiguilles d'une montre :
L'image du point O est le point O (c'est le centre de la rotation),
on a : OB = OA et , donc l'image du point B est le point A.
on a : OC = OB et (car le pentagone ABCDE est régulier, donc ), donc l'image du point C est le point B.
Donc : par la rotation de centre O, d'angle 72°, dans le sens inverse des aiguilles d'une montre, l'image du triangle BOC est le triangle BOA.
3. Le triangle OAI étant isocèle en O, (OI) est la hauteur issue de O. En particulier, le triangle IOA est rectangle en I. Alors , d'où , et ; on trouve comme valeur approchée arrondie au millimètre : cm.
Problème
Première partie
1. a) La taille du thon Germon n'est pas proportionnelle à sa masse, car le graphique n'est pas une droite passant par l'origine.
1. b) Un thon Germon de 22 kg mesure 100 cm (1 mètre).
1. c) Un thon Germon de 70 cm pèse 7 kg.
2. a) Le graphique représentant la masse de thon jaune en fonction de la masse totale de thon pêché est une droite passant par l'origine : les deux quantités sont donc proportionnelles.
L'énoncé donne la relation de proportionnalité : .
2. b) L'équipe de Moana a pêché 68 kg de thon jaune : en effet, . On retrouve ce résultat graphiquement :
Deuxième partie
1.
Espèce
thon
espadon
thazard
mahi-mahi
total
Prise en kg
144
108
36
432
720
Fréquence en %
20
15
5
60
100
Secteur angulaire en degrés
36
27
9
108
180
2. Diagramme semi-circulaire représentant les prises en pourcentage de l'équipe de Teiki :
3. L'équipe de Moana a pris principalement du thon, alors que celle de Teiki a pêché surtout du mahi-mahi.
4. La masse totale de thon pêché par les deux équipes est kg. La masse totale de poisson pêché est kg. On a :
la masse de thon pêché représente environ 36% de la masse totale de poisson (à 1% près).
Publié par TP/critou
le
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