Fiche de mathématiques
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Diplôme National du Brevet
Polynésie Française - Session Juin 2008

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4 points sont réservés à la présentation et à la rédaction.
Les calculatrices sont autorisées.
L'échange de calculatrices et de tout autre matériel est formellement interdit.

Coefficient : 2     Durée : 2 heures


12 points

Activités numériques


exercice 1

Cet exercice est un questionnaire à choix multiples (QCM). Aucune justification n'est demandée.
Pour chacune des questions, trois réponses sont proposées, une seule est exacte.
Pour chacune des questions, entourer la bonne réponse.

1Le nombre \sqrt{45} - \sqrt{20} est égal aussi à :\sqrt{25}\sqrt{5}5\sqrt{5}
2L'expression développée de (5x + 2)^2 est :25x^2 +45x^2 + 20 x + 425x^2 + 20x + 4
3L'expression factorisée de A = (3x - 5)^2+(2x - 1)(3x - 5) est :(3x-5)(5x-6)(2x-1)(6x-4)15x^2 - 43 x +30
4Une solution de l'équation (3x+2)(4x - 3) = 0 est :\dfrac{2}{3}\dfrac{3}{4}0
5Une solution de l'inéquation 3x +4 < 0 est :2- \dfrac{5}{3}-1





exercice 2

Le magasin TAMARIIGAMES loue des jeux vidéo et des DVD.
Moana loue un jeu vidéo et un DVD pour 1 400 F.
Son copain Tihoti loue 3 jeux et 2 DVD pour 3 600 F.

1. Moana pense que le prix de la location d'un jeu est de 1 000 F et celui d'un DVD est 400 F.
    a) Si tel est le cas, compléter les tableaux suivants :

Achat de Moana
Prix d'un jeuPrix d'un DVDSomme totale
   



Achat de Tihoti
Prix des 3 jeuxPrix des 2 DVDSomme totale
   

    b) Tiboti n'est pas d'accord avec Moana. Qui a raison ? Pourquoi ?

2. Résoudre le système suivant : \left\lbrace\begin{array}{l c l} x + y & = &1400 \\ 3x+2y &=&  3600 \end{array}\right.

3. En déduire le prix de la location d'un jeu vidéo ainsi que celui d'un DVD.


12 points

Activités géométriques


exercice 1

L'unité est le centimètre.
On considère le cercle \mathcal{C}_{1} et de diamètre [BC] et le cercle \mathcal{C}_{2} de diamètre [BD].
A est un point de \mathcal{C}_{1} et la droite (AB) coupe le cercle \mathcal{C}_{2}, au point E.
Diplôme national du brevet - Polynésie Française - Juin 2008 - troisième : image 1

On donne :
BA = 4 ; BC = 5 et BD = 9.


La figure ci-contre n'est pas en vraie grandeur


1. Les triangles ABC et EBD sont rectangles.
Parmi les trois propriétés suivantes, recopier sur votre copie la propriété qui permet de démontrer ce résultat, dans cet exercice :
    Si le carré de la longueur d'un côté d'un triangle est égal à la somme des carrés des longueurs des deux autres côtés, alors ce triangle est rectangle.
    Les bissectrices d'un triangle sont concourrantes en un point qui est le centre du cercle inscrit dans ce triangle.
    Si un triangle est inscrit dans un cercle et que l'un de ses côtés est un diamètre de ce cercle, alors ce triangle est rectangle.

2. Dans le triangle ABC rectangle en A, calculer AC.

3. En vous aidant du résultat donné la question 1., montrer que les droites (AC) et (ED) sont parallèles.

4. Montrer que BE = 7,2.




exercice 2

Diplôme national du brevet - Polynésie Française - Juin 2008 - troisième : image 2
Voici le pentagone régulier ABCDE. Le point I est le milieu de [AB].
OA = OB = OC = OD = OE = 5,7 cm.


Cette figure n'est pas en vraie grandeur


1. a) Quelle est la nature du triangle AOB ?
    b) Montrer que la mesure de l'angle \widehat{\text{AOB}} est de 72°.

2. Quelle est l'image du triangle BOC,
    a) par la symétrie axiale d'axe (DI) ?
    b) par la rotation de centre O, d'angle 72°, dans le sens inverse des aiguilles d'une montre ?

3. Calculer la longueur AB (arrondie au millimètre).


12 points

Problème

Première partie

Il existe trois variétés de thon pêché en Polynésie française :
    le thon Germon (variété de thon blanc)
    le thon Jaune (à nageoires jaunes, variété de thon rouge)
    le thon Obèse (variété de thon rouge)
deco


1. Le graphique 1, ci-dessous, représente la taille du thon Germon en fontion de sa masse.
    a) Est-ce que la taille du thon Germon est proportionnelle à sa masse ? Justifier.
    b) L'équipe de Moana a capturé un thon Germon de 22 kg.
Déterminer graphiquement, sa taille.
(On laissera apparents les traits de construction).
    c) L'équipe de Teiki a pris un thon Germon de 70 cm.
Déterminer graphiquement sa masse.
(On laissera apparents les traits de construction).
Graphique 1 : taille du thon Germon
Diplôme national du brevet - Polynésie Française - Juin 2008 - troisième : image 3


Graphique 2
Diplôme national du brevet - Polynésie Française - Juin 2008 - troisième : image 4


2. La masse du thon Jaune représente en moyenne 17 % de la masse totale des trois espèces de thon pêché.
Le graphique 2, ci-dessus, représente la masse de thon Jaune pêché par rapport à la masse totale de thon pêché.
    a) Est-ce que la masse de thon Jaune est proportionnelle à la masse totale de thon pêché ?
Justifier.
    b) L'équipe de Moana a pêché 400 kg de thon.
Calculer la masse de thon Jaune pêché.

DEUXIÈME PARTIE

À un concours de pêche au large, les prises sont constituées de thons, d'espadons, de thazards et de mahi-mahi.
On a réparti les différentes prises des équipes de Moana et de Teiki dans les tableaux suivants : tableau (I) et tableau (II).

TABLEAU (I) : Équipe de Moana
Espècethonespadonthazardmahi-mahitotal
Prise en kg40010456240800


Diplôme national du brevet - Polynésie Française - Juin 2008 - troisième : image 5

Diagramme semi-circulaire représentant les prises en pourcentage de l'équipe de Moana


TABLEAU (II) : Équipe de Teiki
 
Espècethonespadonthazardmahi-mahitotal
Prise en kg14410836432720
Fréquence en %    100
Secteur angulaire en degré    180


1. Compléter sur cette feuille le tableau (II) précédent.

2. Représenter les prises exprimées en fréquence de ce deuxième tableau, par un diagramme semi-circulaire de rayon 5 cm.

3. Quel est le poisson principalement capturé par chacune des équipes ?

4. Quel pourcentage représente la masse totale de thon pêché par les deux équipes par rapport à la masse totale de poissons capturés par les deux équipes ? (arrondir à l'unité).



Activités numériques

exercice 1

1. Le nombre \sqrt{45}-\sqrt{20} est égal à \sqrt{5}.

2. L'expression développée de (5x+2)^2 est 25x^2+20x+4.

3. L'expression factorisée de (3x-5)^2+(2x-1)(3x-5) est (3x-5)(5x-6).

4. Une solution de l'équation (3x+2)(4x-3)=0 est \dfrac{3}{4}.

5. Une solution de l'inéquation 3x+4<0 est -\dfrac{5}{3}.





exercice 2

1. a)
Achats de MoanaPrix d'un jeuPrix d'un DVDSomme totale
1000 F400 F1400 F

Achats de TihotiPrix des 3 jeuxPrix des 2 DVDSomme totale
3000 F800 F3800 F


1. b) Si Moana avait raison, alors Tihoti aurait payé 3800F pour 3 jeux et 2 DVD ; or il n'a payé que 3600 F. Donc Moana s'est effectivement trompée : Tihoti a raison.

2. Résolvons le système \left\lbrace\begin{array}{l} x+y=1400 \\ 3x+2y=3600 \\ \end{array}\right., par substitution :
de la première équation, on tire y=1400-x ; en reportant dans la deuxième, on obtient 3x+2(1400-x)=3600, c'est-à-dire 3x+2800-2x=3600, d'où x=3600-2800=800. On en déduit : y=1400-x=1400-800=600.
La solution de ce système est donc : x=800 et y=600.

3. Soit x le prix de location d'un jeu vidéo et y celui d'un DVD (en F). Alors x et y vérifient les équations : \left\lbrace\begin{array}{l} x+y=1400 \\ 3x+2y=3600 \\ \end{array}\right..
D'après la question précédente, x=800 et y=600 : ainsi, un jeu vidéo coûte 800 F et un DVD coûte 600 F.


Activités géométriques

exercice 1

1. La propriété permettant de prouver que ABC et EBD sont rectangles est :
"Si un triangle est inscrit dans un cercle et que l'un de ses côtés est un diamètre de ce cercle, alors ce triangle est rectangle."

2. Le triangle ABC est rectangle en A. D'après le théorème de Pythagore, on a : \text{BC}^2=\text{AB}^2+\text{AC}^2, donc \text{AC}^2=\text{BC}^2-\text{AB}^2=5^2-4^2=25-16=9 : on en déduit que \text{AC}=3.

3. D'après la question 1., ABC est rectangle en A et EBD est rectangle en E. Les points B, A, E étant alignés, (AC) est donc perpendiculaire à (BE), et (DE) est aussi perpendiculaire à (BE). On en déduit que les droites (AC) et (DE) sont parallèles.

4. Les points B, A, E d'une part, et B, C, D d'autre part sont alignés dans cet ordre. De plus, les droites (AC) et (DE) sont parallèles. D'après le théorème de Thalès, on a les égalités : \dfrac{\text{BA}}{\text{BE}}=\dfrac{\text{BC}}{\text{BD}} ; on en déduit \text{BE}=\dfrac{\text{BA}\times \text{BD}}{\text{BC}}=\dfrac{4\times 9}{5}=\dfrac{36}{5}=7,2.




exercice 2

1. a) Puisque OA=OB(=5,7 cm), le triangle AOB est isocèle en O.

1. b) Le pentagone ABCDE est régulier, donc \widehat{AOB} = \dfrac{360}{5} = 72°
ou : AOB est isocèle en O donc ses angles à la base sont égaux : \widehat{OAB}=\widehat{OBA}=54°. La somme des angles d'un triangle étant égale à 180°, on en déduit que \widehat{AOB} mesure 180-54-54=72°.

2. a) La symétrie axiale d'axe (DI) envoie : O sur O (car O appartient à (DI)), B sur A (car (DI) est la médiatrice de [AB]), et C sur E (car (DI) est la médiatrice de [CE]) ; elle transforme donc le triangle BOC en le triangle AOE.

2. b) Par la rotation de centre O, d'angle 72°, dans le sens inverse des aiguilles d'une montre :
L'image du point O est le point O (c'est le centre de la rotation),
on a : OB = OA et \widehat{BOA} = 72°, donc l'image du point B est le point A.
on a : OC = OB et \widehat{COB} = 72° (car le pentagone ABCDE est régulier, donc \widehat{COB} = \dfrac{360}{5} =72°), donc l'image du point C est le point B.
Donc : par la rotation de centre O, d'angle 72°, dans le sens inverse des aiguilles d'une montre, l'image du triangle BOC est le triangle BOA.

3. Le triangle OAI étant isocèle en O, (OI) est la hauteur issue de O. En particulier, le triangle IOA est rectangle en I. Alors \cos(54°)=\dfrac{\text{AI}}{\text{OA}}, d'où \text{AI}=\text{OA}\times \cos(54°)=5,7\times \cos(54°), et \text{AB}=2\text{AI}=11,4\times \cos(54°) ; on trouve comme valeur approchée arrondie au millimètre : \text{AB}\approx 6,7 cm.


Problème

Première partie

Diplôme national du brevet - Polynésie Française - Juin 2008 - troisième : image 6

1. a) La taille du thon Germon n'est pas proportionnelle à sa masse, car le graphique n'est pas une droite passant par l'origine.

1. b) Un thon Germon de 22 kg mesure 100 cm (1 mètre).

1. c) Un thon Germon de 70 cm pèse 7 kg.

2. a) Le graphique représentant la masse de thon jaune en fonction de la masse totale de thon pêché est une droite passant par l'origine : les deux quantités sont donc proportionnelles.
L'énoncé donne la relation de proportionnalité : \text{masse de thon jaune}= 0,17\times\text{masse de thon pêché}.

2. b) L'équipe de Moana a pêché 68 kg de thon jaune : en effet, 0,17\times 400 = 68. On retrouve ce résultat graphiquement :
Diplôme national du brevet - Polynésie Française - Juin 2008 - troisième : image 7


Deuxième partie

1.
Espècethonespadonthazardmahi-mahitotal
Prise en kg14410836432720
Fréquence en %2015560100
Secteur angulaire en degrés36279108180


2. Diagramme semi-circulaire représentant les prises en pourcentage de l'équipe de Teiki :
Diplôme national du brevet - Polynésie Française - Juin 2008 - troisième : image 8

3. L'équipe de Moana a pris principalement du thon, alors que celle de Teiki a pêché surtout du mahi-mahi.

4. La masse totale de thon pêché par les deux équipes est 400+144=544 kg. La masse totale de poisson pêché est 800+720=1520 kg. On a \dfrac{\text{masse de thon pêché}}{\text{masse de poisson pêché}}=\dfrac{544}{1520}\approx \dfrac{36}{100} :
la masse de thon pêché représente environ 36% de la masse totale de poisson (à 1% près).
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