Fiche de mathématiques

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Diplôme National du Brevet
Métropole - La Réunion
Session Septembre 2008

L'emploi de la calculatrice est autorisé.

La rédaction et la présentation seront notées sur 4 points.

Coefficient : 2 Durée : 2 heures

12 points

Activités numériques

exercice 1

1. Déterminer le PGCD de 240 et 375.
2. Déterminer la fraction irréductible égale à $\dfrac{240}{375}$ .

exercice 2

On considère le programme de calcul :
  Choisir un nombre
  a) Calculer le carré de ce nombre.
  b) Multiplier par 10.
  c) Ajouter 25.
  Écrire le résultat.

1. Mathieu a choisi 2 comme nombre de départ et il a obtenu 65. Vérifier par un calcul que son résultat est exact.
2. On choisit $\sqrt{2}$ comme nombre de départ. Que trouve-t-on comme résultat ?
3. Clémence affirme que si le nombre choisi au départ est un nombre entier pair alors le résultat est pair. A-t-elle raison ? Justifier.
4. Margot affirme que le résultat est toujours positif quel que soit le nombre choisi au départ. A-t-elle raison ? Justifier.

exercice 3

On a posé à des élèves de 3^ème la question suivante :
« Est-il vrai que, pour n'importe quelle valeur du nombre $x$ , on a : $5x^2 - 10x + 2 = 7x - 4$ ?»
Léa a répondu: « Oui, c'est vrai. En effet, si on remplace $x$ par 3, on a :
$5 \times 3^2 - 10 \times 3 + 2 = 17$ et $7 \times 3 - 4 = 17$ ».
Myriam a répondu : « Non, ce n'est pas vrai. En effet, si on remplace $x$ par $0$ , on a :
$5 \times 0^2 - 10 \times 0 + 2 = 2$ et $7 \times 0 - 4 = -4$ ».
Une de ces deux élèves a donné un argument qui permet de répondre de façon correcte à la question posée dans l'exercice. Indiquer laquelle en expliquant pourquoi.

12 points

Activités géométriques

exercice 1

Diplôme national du brevet - Métropole - La réunion - Septembre 2008 - troisième : image 1

On considère un cercle de centre A et de rayon 5 cm.
Soit [EF] un de ses diamètres, M le point du segment [AE] tel que AM = 4 cm et P un point du cercle tel que MP = 3 cm.
La figure n'est pas en vraie grandeur.

1. Démontrer que le triangle AMP est rectangle en M.

2. On trace la tangente au cercle en F ; cette droite coupe la droite (AP) en T.
a) Démontrer que les droites (FT) et (MP) sont parallèles.
b) Calculer la longueur AT.

exercice 2

On considère un cercle de centre O et de diamètre [BC] tel que BC = 8 cm. On place sur ce cercle un point A tel que BA = 4 cm.

1. Faire une figure en vraie grandeur.

2. a) Démontrer que le triangle ABC est rectangle en A.
b) Calculer la valeur exacte de la longueur AC. Donner la valeur arrondie de AC au millimètre près.
c) Déterminer la mesure de l'angle $\widehat{\text{ABC}}$ .

3. On construit le point E symétrique du point B par rapport au point A. Quelle est la nature du triangle BEC ? Justifier.

12 points

Problème

Partie I

Une enquête a été réalisée auprès de 170 élèves d'un collège sur l'utilisation du téléphone portable. Voici deux des questions posées dans cette enquête :

Q1 : Possédez-vous un téléphone portable ?
Q2 : Quel abonnement avez-vous ?

1. Résultats obtenus à la question Q1 : possédez-vous un téléphone portable ?

Réponses	Oui	Non
Nombre d'élèves	125	45

a) Donner la valeur arrondie à l'unité du pourcentage d'élèves possédant un téléphone portable.
b) Peut-on dire que près des trois quarts des élèves de ce collège possèdent un téléphone portable ?

2. Résultats obtenus à la question Q2 : quel abonnement utilisez-vous ?

Les réponses des 125 élèves ayant un téléphone portable sont représentées dans le diagramme ci-dessous :

Diplôme national du brevet - Métropole - La réunion - Septembre 2008 - troisième : image 2

a) 32 % des 125 élèves ayant un téléphone portable ont une carte prépayée. Quel est le nombre d'élèves concernés ?
b) Déterminer à l'aide du diagramme une valeur approchée du nombre d'élèves ayant un compte bloqué 1 heure. Expliquer la démarche utilisée.

Partie II

Sophie, Julie et Marie viennent d'avoir leur premier téléphone portable.
    Julie a un compte bloqué à 20 € par mois pour une heure de communication (une fois l'heure utilisée, elle ne peut plus téléphoner jusqu'au mois suivant).
    Marie a un forfait à 17 € par mois qui lui permet de téléphoner 45 minutes et ensuite chaque minute consommée est facturée 0,50 €.
    Sophie a un abonnement de 10 € et chaque minute consommée est facturée 0,25 €.
Sont représentés sur le graphique de l'annexe ci-dessous :
    le prix payé par Julie chaque mois en fonction de sa consommation,
    le prix payé par Marie chaque mois en fonction de sa consommation.

1. Parmi les deux tracés T1 et T2, lequel représente le prix payé par Julie ?
Parmi les deux tracés T1 et T2, lequel représente le prix payé par Marie ?

2. Par lecture graphique, préciser à partir de quelle durée exprimée en minutes le compte bloqué de Julie est moins coûteux que le forfait de Marie.

3. a) Si on désigne par $x$ la durée mensuelle en minutes de communication, donner en fonction de $x$ le prix payé chaque mois par Sophie.
    b) Sur l'annexe, représenter graphiquement le prix payé chaque mois par Sophie en fonction de sa consommation.

4. Le mois dernier, Marie et Sophie ont payé chacune 30 €. Laquelle des deux a téléphoné le plus longtemps ? Justifier.

ANNEXE

Diplôme national du brevet - Métropole - La réunion - Septembre 2008 - troisième : image 3

Correction

Activités numériques

exercice 1

1. Déterminons le PGCD de 240 et 375 à l'aide de l'algorithme d'Euclide :
375 = 240 × 1 + 135
240 = 135 × 1 + 105
135 = 105 × 1 + 30
105 = 30 × 3 + 15
30 = 15 × 2 + 0
Le dernier reste non nul est 15, donc le PGCD de 240 et de 375 est 15.

2. On a PGCD (240 ; 375) = 15, donc :
$\dfrac{240}{375} = \dfrac{240 \div 15}{375 \div 15} = \dfrac{16}{25}$

exercice 2

1. Mathieu a choisi 2 comme nombre de départ.
a) On calcule le carré de ce nombre : 2² = 4
b) On multiplie le résultat obtenu par 10 : 4 × 10 = 40
c) On ajoute 25 au résultat : 40 + 25 = 65
Le résultat de Mathieu est exact.

2. On choisit $\sqrt{2}$ comme nombre de départ.
a) On calcule le carré de ce nombre : $\left( \sqrt{2} \right)^2 = 2$
b) On multiplie le résultat obtenu par 10 : 2 × 10 = 20
c) On ajoute 25 au résultat : 20 + 25 = 45
On trouve alors le nombre 45.

3. On choisit $n$ un nombre entier pair comme nombre de départ.
a) On calcule le carré de ce nombre : $n^2$ (on obtient un nombre pair).
b) On multiplie le résultat obtenu par 10 : $10 \times n^2$ (on obtient un nombre pair).
c) On ajoute 25 au résultat : $10 \times n^2 + 25$ (on obtient un nombre impair car 25 est impair).
Clémence n'a donc pas raison.

4. On choisit $n$ un nombre positif comme nombre de départ.
a) On calcule le carré de ce nombre : $n^2$ (on obtient un nombre positif car tout carré est positif).
b) On multiplie le résultat obtenu par 10 : $10 \times n^2$ (on obtient un nombre positif car le produit de deux nombres positifs est un nombre positif).
c) On ajoute 25 au résultat : $10 \times n^2 + 25$ (on obtient un nombre positif car on ajoute deux nombres positifs).
Margot a donc raison.

exercice 3

Myriam a trouvé une valeur de $x$ (zéro) pour laquelle $5x^2 - 10x + 2$ n'est pas égal à $7x - 4$ . Elle a donc montré que pour n'importe quelle valeur de $x$ , $5x^2 - 10x + 2$ n'est pas égal à $7x - 4$ .
Remarque : Léa a trouvé une valeur de $x$ (trois) pour laquelle l'égalité $5x^2 - 10x + 2 = 7x - 4$ est vraie mais cela ne montre pas que cette égalité est vraie pour n'importe quelle valeur de $x$ .

Activités géométriques

exercice 1

1. Dans le triangle AMP, le plus long côté est [AP]. On a :
AM² + MP² = 4² + 3² = 16 + 9 = 25
et AP² = 5² = 25
Donc AM² + MP² = AP².
D'après la réciproque du théorème de Pythagore, le triangle AMP est rectangle en M.

2. a) Montrons que les droites (FT) et (MP) sont parallèles :
(FT) est la tangente en F au cercle A, donc les droites (FT) et (FM) sont perpendiculaires.
Le triangle AMP est rectangle en M donc les droites (FM) et (MP) sont perpendiculaires.
Or, si deux droites sont perpendiculaires à une même troisième droite, alors ces deux droites sont parallèles.
Donc les droites (FT) et (MP) sont parallèles.

2. b) Calculons la longueur AT :
Les droites (FM) et (TP) sont sécantes en A, les droites (FT) et (MP) sont parallèles. D'après le théorème de Thalès, on a :
$\dfrac{AF}{AM} = \dfrac{AT}{AP} = \dfrac{FT}{MP}$
Donc : $\dfrac{5}{4} = \dfrac{AT}{5} = \dfrac{FT}{MP}$
De $\dfrac{5}{4} = \dfrac{AT}{5}$ on déduit que $AT = \dfrac{5 \times 5}{4}$
Donc $AT = \dfrac{25}{4} = 6,25 \text{ cm}$

exercice 2

Diplôme national du brevet - Métropole - La réunion - Septembre 2008 - troisième : image 4

2. a) Le point A appartient au cercle de diamètre [BC], donc ABC est un triangle rectangle en A.

2. b) Dans le triangle ABC rectangle en A, on applique le théorème de Pythagore :
BC² = AB² + AC²
Donc : AC² = BC² - AB²
AC² = 8² - 4²
AC² = 64 - 16
AC² = 48
$\text{AC} = \sqrt{48} = \sqrt{16 \times 3} = 4 \sqrt{3} \text{ (valeur exacte) }\\ \boxed{\text{AC} \approx 6,9 \text{ cm}}$

2. c) Dans le triangle ABC rectangle en A, on a :
$\cos \widehat{ABC} = \dfrac{AB}{BC} = \dfrac{4}{8}$
Donc $\widehat{ABC} = \cos^{-1} \left( \dfrac{4}{8} \right) = 60°$
L'angle $\widehat{ABC}$ mesure 60°.

3. Le point E est le symétrique du point B par rapport à A, donc BA = AE = 4 cm, ou encore BE = 2 × BA = 8 cm.
On a donc : BE = BC = 8 cm, donc le triangle BEC est isocèle en B.
De plus, on a montré que l'angle $\widehat{ABC}$ mesure 60°, donc le triangle BEC est équilatéral.

Problème

Partie I

1. a) 125 élèves parmi 170 possèdent un téléphone portable.
$\dfrac{125 \times 100}{170} \approx 74$
Donc environ 74 % des élèves possèdent un téléphone portable.

1. b) Les trois quarts des élèves représentent 75 % des élèves. Donc nous pouvons dire que près des trois quarts des élèves de ce collège possèdent un téléphone portable.

2. a) 32 % des 125 élèves ayant un téléphone portable ont une carte prépayée :
$\dfrac{32}{100} \times 125 = 40$
Parmi les 125 élèves ayant un téléphone portable, 40 ont une carte prépayée.

2. b) Sur le diagramme, l'angle au centre correspondant à la carte prépayée est égal à celui correspondant au compte 1 heure.
Donc 40 élèves ont un compte bloqué 1 heure.

Partie II

1. Julie paye 20 euros par mois, le tracé T1 représente donc le prix payé par Julie.
Le tracé T2 représente le prix payé par Marie.

2. Le compte bloqué de Julie est moins couteux que le forfait de Marie à partir de 51 minutes d'appel (cf pointillés rouges).

3. a) Le prix payé par Sophie en fonction de $x$ est $0,25x + 10$ .

3. b) La représentation graphique est une droite. On sait que pour $x = 20$ , le prix payé est 0,25 ×, 20 + 10 = 15 et que pour $x = 60$ , le prix payé par Sophie est de 0,25 × 60 + 10 = 25.
La représentation graphique passe donc par les points de coordonnées (20 ; 15) et (60 ; 25). Plaçons ces deux points dans le repère ci-dessous (tracé en vert).

Diplôme national du brevet - Métropole - La réunion - Septembre 2008 - troisième : image 5

4. Traçons la droite d'équation $y = 30$ (en jaune sur le graphique). Graphiquement, on constate que Marie a téléphoné 71 minutes et Sophie a téléphoné 80 minutes. (la droite d'équation $y = 30$ coupe le tracé représentant la consommation de Sophie en deuxième).
Sophie a donc téléphoné le plus longtemps.

Publié par TP/lucas951 le 21-07-2010

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