Fiche de mathématiques
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Diplôme National du Brevet
Nouvelle Calédonie - Mars 2009
Session Remplacement 2008

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L'usage de la calculatrice est autorisé, dans le cadre de la réglementation en vigueur.

I - Activités numériques12 points
II - Activités géométriques12 points
III - Problème12 points
Qualité de rédaction et de présentation4 points


Durée de l'épreuve : 2 heures
12 points

Activités numériques


Tous les calculs et toute trace de recherche, même incomplète, doivent figurer sur la copie.

exercice 1

On considère le programme de calcul ci-dessous.
\fbox{\begin{array}{l} \text{Programme de calcul :} \\ \bullet \text{ Choisir un nombre de départ}\\ \bullet \text{ Ajouter }1\\ \bullet \text{ Calculer le carré du résultat obtenu}\\ \bullet \text{ Lui soustraire le carré du nombre de départ}\\ \bullet \text{ Écrire le résultat final}\\ \end{array}}

1. a) Vérifier que lorsque le nombre de départ est 1, on obtient 3 au résultat final.
    b) Lorsque le nombre de départ est 2, quel résultat final obtient-on ?
    c) Le nombre de départ étant x, exprimer le résultat final en fonction de x.

2. On considère l'expression \text{P} = (x + 1)^2 - x^2. Développer puis réduire l'expression P.

3. Quel nombre de départ doit-on choisir pour obtenir un résultat final égal à 15 ?



exercice 2

Le tableau ci-dessous indique des grandeurs physiques et démographiques des pays et territoires constituant la Mélanésie en 2005.

Pays et territoires de Mélanésie Superficie terrestre (en km²) Densité en 2005 (nombre d'habitants par km²)
Îles Fidji 18 272 45
Îles Salomon 28 370 17
Nouvelle-Calédonie 18 576 13
Papouasie – Nouvelle-Guinée 462 840 13
Vanuatu 12 190 18

Source : Institut de la Statistique et des Études Économiques.

1. Quelle est la superficie terrestre totale de la Mélanésie ?
2. Quel pourcentage de la superficie totale représente la superficie de la Nouvelle-Calédonie ?
Donner le pourcentage obtenu arrondi au dixième près.
3. Calculer le nombre d'habitants en Nouvelle-Calédonie en 2005.



exercice 3

1. Justifier sans calcul que 850 et 714 ne sont pas premiers entre eux.

2. a) Déterminer par la méthode de votre choix, en détaillant les différentes étapes, le PGCD de 850 et 714.
    b) En déduire la fraction irréductible égale à \dfrac{850}{714}.


12 points

Activités géométriques


exercice 1

Cet exercice est un questionnaire à choix multiples (QCM). Aucune justification n'est demandée.
Pour chacune des questions, trois réponses sont proposées, une seule réponse est exacte.
Aucun point ne sera enlevé en cas de mauvaise réponse.

Pour chacune des cinq questions, indiquer sur la copie le numéro de la question et recopier la réponse exacte.

1. Si \tan x = 54 alors la valeur approchée de x arrondie au degré près est égale à :
88° 89°

2.
Diplôme national du brevet - Nouvelle Calédonie - Mars 2009 - Session de remplacement - troisième : image 1
La valeur de a est égale à :
77° 36° 26°

3. Dans le plan rapporté à un repère orthonormé, les coordonnées des points A et B sont : A(3 ; -2) et B(-1 ; -1).
La distance AB est exactement égale à :
\sqrt{17} 4,123 \sqrt{13}

4. Une petite sphère a pour rayon r.
Une grande sphère a pour rayon R tel que R = 3r.
Soient v le volume de la petite sphère et V le volume de la grande sphère.
Diplôme national du brevet - Nouvelle Calédonie - Mars 2009 - Session de remplacement - troisième : image 2

Quelle égalité est vraie ?
V = 3v V = 9v V = 27v

5.
Diplôme national du brevet - Nouvelle Calédonie - Mars 2009 - Session de remplacement - troisième : image 3
\dfrac{3}{5} est égal à :
\sin y \cos y \tan y




exercice 2

La figure qui suit n'est pas en vraie grandeur. Il n'est pas demandé de la reproduire.
L'unité est le centimètre.

Le point B appartient au segment [DE] et le point A au segment [CE].
On donne : ED = 9 ; EB = 5,4 ; EC = 12 ; EA = 7,2 ; CD = 15.
Diplôme national du brevet - Nouvelle Calédonie - Mars 2009 - Session de remplacement - troisième : image 4


1. Montrer que les droites (AB) et (CD) sont parallèles.

2. Calculer la longueur du segment [AB].

3. Montrer que les droites (CE) et (DE) sont perpendiculaires.

4. a) Calculer la valeur arrondie au degré près de l'angle \widehat{\text{ECD}}.
    b) En déduire, sans faire de calcul, celle de l'angle \widehat{\text{EAB}}. Justifier.


12 points

Problème

Les parties A et B sont indépendantes.

Partie A

Dans un magasin de location, le gérant a comptabilisé le nombre de DVD loués au cours d'une semaine et il a obtenu les résultats consignés dans le tableau suivant :

  Lundi Mardi Mercredi Jeudi Vendredi Samedi Dimanche
Nombre de DVD loués 19 15 16 14 20 74 52

1. Quel est le nombre total de DVD loués sur la semaine entière ?
2. Calculer le nombre moyen de DVD loués par jour durant cette semaine.
3. Calculer le pourcentage de DVD loués pendant le week-end (samedi et dimanche) par rapport à la semaine entière.

Partie B

Dans un magasin de location de DVD, on propose à la clientèle deux formules :
    Tarif plein : 500 F par DVD loué ;
    Tarif abonné : 2 000 F pour l'achat d'une carte d'abonné, puis 300 F par DVD loué.

On note x le nombre de DVD loués, P(x) le prix payé au tarif plein et A(x) le prix payé au tarif abonné.

1. Recopier et compléter le tableau suivant :

Nombre de DVD loués : x 2 5 8 12
Prix payé avec le tarif plein : P(x) en Franc.   2 500    
Prix payé avec le tarif abonné : A(x) en Franc.     4 400  

2. On admettra que P est une fonction linéaire, A est une fonction affine, et donc que leurs représentations graphiques sont des droites.
Représenter dans un repère orthonormal les deux tarifs en fonction du nombre de DVD loués. (On placera l'origine du repère en bas à gauche, on prendra 1 cm pour 1 DVD loué en abscisse et 2 cm pour 1 000 F en ordonnée).

3. En utilisant le graphique : donner le nombre de DVD pour lequel le prix est le même dans les deux tarifs puis, préciser le tarif le plus avantageux en fonction du nombre de DVD loués.

4. a) Exprimer P(x) et A(x) en fonction de x.
    b) Retrouver par le calcul le nombre de DVD pour lequel le prix est le même quelle que soit la formule choisie.



Activités numériques

exercice 1

1. a) Le nombre de départ est 1.
On ajoute 1 : 1 + 1 = 2
On calcule le carré du résultat obtenu : 2² = 4
On lui soustrait le carré du nombre de départ : 4 - 1² = 3
Le résultat final est bien 3.

1. b) Le nombre de départ est 2.
On lui ajoute 1 : 2 + 1 = 3
On calcule le carré du résultat obtenu : 3² = 9
On lui soustrait le carré du nombre de départ : 9 - 2² = 9 - 4 = 5
Lorsque le nombre de départ est 2, on obtient 5.

1. c) Le nombre de départ est x.
On ajoute 1 : x + 1
On calcule le carré du résultat obtenu : (x + 1)^2
On lui soustrait le carré du nombre de départ : (x + 1)^2 - x^2
Le résultat final s'écrit : (x+1)^{2}-x^{2}.

2. Développons puis réduisons P :
P = (x+1)^2 - x^2\\ P = x^2 + 2 \times x \times 1 + 1^2 - x^2\\ P = 2x + 1

3. On veut un nombre de départ (x) tel que le résultat final (2x+1) soit égal à 15. résolvons l'équation :
2x + 1 = 15\\ 2x = 15 - 1 \\ 2x = 14 \\ x = \dfrac{14}{2} \\ x = 7
Pour que le résultat final soit égal à 15, il faut choisir 7 comme nombre de départ.




exercice 2

1. On a : 18 272 + 28 370 + 18 576 + 462 840 + 12 190 = 540 248
La superficie terrestre totale de la Mélanésie est de 540 248 km².

2. La Nouvelle Calédonie a une superficie de 18 576 km².
On a : \dfrac{18 \ 576}{540\ 248} \times 100 \approx 3,4.
La Nouvelle-Calédonie représente environ 3,4 % du territoire mélanésien.

3. En 2005, il y avait 13 habitants par km² en Nouvelle Calédonie.
La superficie de la Nouvelle Calédonie
Donc : 18 576 × 13 = 241 488
Il y avait 241 488 habitants en Nouvelle-Calédonie en 2005.




exercice 3

1. 850 et 714 sont deux nombres pairs, ils sont donc divisibles par 2. Leur pgcd est donc au moins 2. Il ne sont donc pas premier entre eux.

2. a) A l'aide de l'algorithme d'Euclide, déterminons le PGCD de 850 et 714 :
850 = 714 × 1 + 136
714 = 136 × 5 + 34
136 = 34 × 4 + 0
Le dernier reste non nul est 34, donc PGCD(850, 714) = 34.

2. b) Pour trouver la fraction irréductible égale à \dfrac{850}{714}, on divise le numérateur et le dénominateur par le PGCD de 850 et 714 :
\dfrac{850}{714} = \dfrac{850 : 34}{714 : 34} = \dfrac{25}{21}



Activités géométriques

exercice 1

Les justifications sont indicatives, elles ne sont pas nécessaires.

1. Réponse : 89°
car : si \tan x = 54 alors x = \tan^{-1} (54) \approx 89° (valeur arrondie au degré près).

2. Réponse : a = 26°
car :
Diplôme national du brevet - Nouvelle Calédonie - Mars 2009 - Session de remplacement - troisième : image 5

c = 180 - 103 = 77°
b = c = 77° (car le triangle est isocèle)
La somme des angles d'un triangle est égale à 180°, donc : a = 180 - (b + c) = 180 - (77 + 77) = 180 - 154 = 26°
L'angle a mesure 26°.

3. Réponse : \sqrt{17}
car : AB = \sqrt{(x_B - x_A)^2 + (y_B - y_A)^2}
AB = \sqrt{(-1 - 3)^2 + (-1 - (-2))^2} \\ AB = \sqrt{(-4)^2 + 1^2} \\ AB = \sqrt{16 + 1}
AB = \sqrt{17} (valeur exacte)

4. Réponse : V = 27 v.
car : le rayon de la grande sphère a été multiplié par 3.
Donc le volume de la grande sphère est multiplié par 3³ = 27.
On a donc : V = 27 v.
ou : V = \dfrac{4}{3}\pi(3r)^{3} = \dfrac{4}{3} \pi \times 27r^{3} = 3v.

5. Réponse : \dfrac{3}{5}=\sin{y}.
car : \sin y = \dfrac{\text{longueur du côté opposé}}{\text{longueur de l'hypothénuse}} = \dfrac{3}{5}.




exercice 2

1. Les points E, B et D d'une part et E, A et C d'autre part sont alignés dans le même ordre.
On a : \dfrac{EB}{ED} = \dfrac{5,4}{9} = \dfrac{54}{90} = \dfrac{18 \times 3}{18 \times 5} = \dfrac{3}{5}
et \dfrac{EA}{EC} = \dfrac{7,2}{12} = \dfrac{72}{120} = \dfrac{24 \times 3}{24 \times 5} = \dfrac{3}{5}
Donc \dfrac{EB}{ED} = \dfrac{EA}{EC}
D'après la réciproque du théorème de Thalès, les droites (AB) et (CD) sont parallèles.

2. Les droites (BD) et (AC) sont sécantes en E, les droites (AB) et (CD) sont parallèles. D'après le théorème de Thalès, on a :
\dfrac{EB}{ED} = \dfrac{EA}{EC} = \dfrac{AB}{DC}
Donc \dfrac{5,4}{9} = \dfrac{7,2}{12} = \dfrac{AB}{15}
De \dfrac{7,2}{12} = \dfrac{AB}{15} on en déduit que AB = \dfrac{7,2 \times 15}{12} = 9
D'où : le segment [AB] a pour longueur 9 cm.

3. Dans le triangle DEC, le côté le plus long est [DC].
On a : DC² = 15² = 225
et DE² + EC² = 9² + 12² = 81 + 144 = 225
Donc DC² = DE²sup2; + EC²
D'après la réciproque du théorème de Pythagore, le triangle DEC est rectangle en E.
Donc les droites (DE) et (CE) sont perpendiculaires.

4. a) Dans le triangle ECD rectangle en E, on a :
\tan \widehat{ECD} = \dfrac{ED}{EC} = \dfrac{9}{12} = \dcfrac{3}{4}
Donc : \tan^{-1} \left( \dfrac{3}{4} \right) \approx 37°.
D'où : \widehat{ECD}  \approx 37° (valeur arrondie au degré près).

4. b) \widehat{EAB} et \widehat{DCA} sont deux angles correspondants définis par les deux droites parallèles (AB) et (CD) et la sécante (AC).
Or si deux droites parallèles sont coupées par une sécante, alors les angles correspondants qu'elles déterminent sont de même mesure.
Donc : \widehat{EAB} = \widehat{DCA} \approx 37°



Problème

Partie A

1. On a : 19 + 15 + 16 + 14 + 20 + 74 + 52 = 210
Sur la semaine entière, 210 DVD ont été loués.

2. On a : \dfrac{210}{7} = 30
En moyenne, 30 DVD ont été loués par jour durant cette semaine.

3. On a : 74 + 52 = 126
Le week-end, 126 DVD ont été loués.
Donc : \dfrac{126}{210} \times 100 = 60. 60% des DVD sont loués pendant le week-end.

Partie B

1.
Nombre de DVD loués : x 2 5 8 12
Prix payé avec le tarif plein : P(x) en Franc. 2 × 500 = 1000 2 500 8 × 500 = 4000 12 × 500 = 6 000
Prix payé avec le tarif abonné : A(x) en Franc. 2 × 300 + 2000 = 2600 5 × 300 + 2000 = 3500 4 400 12 × 300 + 2000 = 5600

2. P est une fonction linéaire. Sa représentation graphique est une droite passant par l'origine du repère.
On a : P(5) = 2 500
Donc cette droite \mathcal{C}_P passe par les points de coordonnées (0 ; 0) et (5 , 2500).
A est une fonction affine. Sa représentation graphique est une droite.
On a : A(2) = 2600 et A(12) = 5600
Donc cette droite \mathcal{C}_A passe par les points de coordonnées (2 ; 2600) et (12 ; 5600).
Diplôme national du brevet - Nouvelle Calédonie - Mars 2009 - Session de remplacement - troisième : image 6


3. D'après le graphique, les deux droites se coupent au point de coordonnées (10 ; 5 000). Donc : pour 10 DVD loués, le prix est le même dans les deux tarifs (5 000 F).
Si le nombre de DVD loués est inférieur à 10, le tarif plein est le plus avantageux.
Si le nombre de DVD loués est supérieur à 10, le tarif abonné est le plus avantageux.

4. a) On a : P(x) = 500 x
et A(x) = 300 x + 2000

4. b) le nombre de DVD x pour lequel le prix est le même quelle que soit la formule choisie vérifie l'équation P(x) = A(x).
Donc : 500x = 300 x + 2000
500 x - 300 x = 2 000 \\ 200 x = 2000\\ x = \dfrac{2000}{200} \\ x = 10
Pour 10 DVD loués, le prix est le même quelle que soit la formule choisie (on retrouve bien le résultat de la question 3.).
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