Fiche de mathématiques

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Diplôme National du Brevet
Antilles-Guyane - Session Septembre 2008

L'emploi de la calculatrice est autorisé.

La rédaction et la présentation seront notées sur 4 points.

Coefficient : 2 Durée : 2 heures

12 points

Activités numériques

exercice 1

1. A $= \dfrac{2}{13} - \dfrac{5}{13} : \dfrac{10}{16}$ . Calculer A en donnant le résultat sous la forme d'une fraction irréductible.

2. B $= \dfrac{5 \times 10^{-7} \times 39 \times 10^4 }{1,3 \times 10^{-5}}$ .
a) Calculer B sous forme décimale.
b) Donner le résultat sous la forme d'une écriture scientifique.

3. C $= 5\sqrt{12}+ \sqrt{27} - 10\sqrt{3}$ .
Écrire C sous la forme $a\sqrt{b}$ , où $a$ et $b$ sont deux nombres entiers.

exercice 2

Voici les effectifs et les salaires des employés d'une Petite et Moyenne Entreprise (PME).

Catégorie	Ouvrier simple	Ouvrier qualifié	Cadre moyen	Cadre supérieur	Dirigeant
Effectif	50	25	15	10	2
Salaire en euros	950	1 300	1 700	3 500	8 000

1. Quel est l'effectif de cette PME ?

2. Calculer le salaire moyen arrondi à l'unité.

3. Déterminer l'étendue des salaires.

4. Les dirigeants décident une augmentation de 8 % du montant du salaire d'un ouvrier simple.
Calculer le nouveau salaire de cet ouvrier.

exercice 3

On considère l'expression D $= (2x + 3)^2 + (x - 5)(2x + 3)$ .

1. Développer et réduire l'expression D.

2. Factoriser l'expression D.

3. Résoudre l'équation D $= 0$ .

12 points

Activités géométriques

Exercice 1 désormais hors-programme.

exercice 2

1. Construire un triangle PQR rectangle en P et tel que PR = 6 cm, QR = 7,5 cm.

2. Montrer par le calcul que PQ = 4,5 cm .

3. Sur la demi-droite [PR), placer le point O tel que PO = 10,8 cm. Sur la demi-droite [PQ), placer le point L tel que PL = 8,1 cm.
a) Montrer que les droites (RQ) et (OL) sont parallèles.
b) Calculer OL.

exercice 3

1. Tracer un cercle $\mathcal{C}$ de diamètre AB = 8 cm, puis placer un point F sur le cercle tel que l'angle $\widehat{\text{BAF}}$ soit égal à 60°.

2. Montrer que le triangle ABF est rectangle en F.

3. Calculer AF.

12 points

Problème

1. Une séance de cinéma coûte 7,50 euros. Recopier et compléter le tableau.

Nombre de séances	0	1
Prix en euros			30	75

2. On propose aux étudiants une carte d'abonnement de 20 euros qui permet de payer chaque séance 5 euros. Recopier et compléter le tableau.

Nombre de séances	0	1
Prix en euros avec la carte			40	65

On note :
    $x$ le nombre de séances,
    $P(x)$ le prix payé pour $x$ séances au tarif normal,
    $A(x)$ le prix payé pour $x$ séances au tarif abonné.

3. Exprimer $P(x)$ en fonction de $x$ .

4. Exprimer $A(x)$ en fonction de $x$ .

5. Représenter graphiquement la fonction $P$ et la fonction $A$ sur une feuille de papier millimétré en prenant :
    en abscisse: 1 cm pour 1 séance,
    en ordonnée : 1 cm pour 5 euros.

6. Résoudre l'équation : $7,5x = 20 + 5x$ .

7. En déduire le nombre de séances au-delà duquel il est intéressant de prendre une carte d'abonnement.
Expliquer comment on retrouve ce résultat sur le graphique.

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Activités numériques

exercice 1

1. Calculons A.
$\begin{array}{rcl} A&=&\cfrac{2}{13}-\cfrac{5}{13}\div\cfrac{10}{16}\\\\ &=&\cfrac{2}{13}-\cfrac{5\times16}{13\times10}\\\\ &=&\cfrac{2}{13}-\cfrac{5\times2\times8}{13\times5\times2}\\\\ &=&\cfrac{2}{13}-\cfrac{8}{13}\\\\ &=&-\cfrac{6}{13} \end{array}$

2.a) Calculons B.
$\begin{array}{rcl} B&=&\cfrac{5\times10^{-7}\times39\times10^{4}}{1,3\times10^{-5}}\\\\ &=&\cfrac{5\times39\times10^{-7}\times10^{4}}{1,3\times10^{-5}}\\\\ &=&\cfrac{5\times1,3\times30\times10^{-7+4}}{1,3\times10^{-5}}\\\\ &=&150\times10^{-3-(-5)}\\ &=&150\times10^{2}\\ &=&15\ 000 \end{array}$
2.b) En notation scientifique, B s'écrit donc $1,5\times10^{4}$ .

3. Réduisons C.
$\begin{array}{rcl} C&=&5\sqrt{12}+\sqrt{27}-10\sqrt{3}\\ &=&5\sqrt{2^{2}\times3}+\sqrt{3^{2}\times3}-10\sqrt{3}\\ &=&10\sqrt{3}+3\sqrt{3}-10\sqrt{3}\\ &=&3\sqrt{3} \end{array}$

exercice 2

1. L'effectif total de cette PME est de 50+25+15+10+2=102 personnes.

2. Le salaire moyen est donné par la formule $\cfrac{\rm{effectif1}\times\rm{salaire1}+\rm{effectif2}\times\rm{salaire2}+\dots}{\rm{effectif\ total}}$

Le salaire moyen de cette PME est $\cfrac{50\times950+25\times1\ 300+15\times1\ 700+10\times3\ 500+2\times8\ 000}{102}\approx1534$ euros.

3. Le salaire minimum est de 950€ et le salaire maximum est de 8 000€ donc l'étendue des salaires est 8 000 - 950 = 7050 €.

4. Le nouveau salaire de cet ouvrier est de $950+950\times\cfrac{8}{100}=950+76=1026$ euros.

exercice 3

1. Développons et réduisons D.
$\begin{array}{rcl} D&=&(2x+3)^{2}+(x-5)(2x+3)\\ &=&4x^{2}+12x+9+2x^{2}+3x-10x-15\\ &=&6x^{2}+5x-6 \end{array}$

2. Factorisons D.
$\begin{array}{rcl} D&=&(2x+3)^{2}+(x-5)(2x+3)\\ &=&(2x+3)\times[(2x+3)+(x-5)]\\ &=&(2x+3)(3x-2) \end{array}$

3. Résolvons D=0.
$(2x+3)(3x-2)=0\\ \begin{array}{rcl} 2x+3=0&\rm{ou}&3x-2=0\\ 2x=-3&\rm{ou}&3x=2\\ x=-\cfrac{3}{2}&\rm{ou}&x=\cfrac{2}{3} \end{array}$

Activités géométriques

exercice 2

Diplôme national du brevet Antilles Guyane Septembre 2008 - troisième : image 2

2. PQR est rectangle en P donc d'après le théorème de Pythagore, on a :
$\begin{array}{rcl} QR^{2}&=&PQ^{2}+PR^{2}\\ PQ^{2}&=&QR^{2}-PR^{2}\\ &=&7,5^{2}-6^{2}\\ &=&20,25\\ PQ&=&\sqrt{20,25}\\ &=&4,5\ \rm{cm} \end{array}$

Diplôme national du brevet Antilles Guyane Septembre 2008 - troisième : image 1

La figure n'est pas demandée.

3.a) $\cfrac{PQ}{PR}=\cfrac{4,5}{6}=0,75=\cfrac{8,1}{10,8}=\cfrac{PL}{PO}$ donc d'après la réciproque du théorème de Thalès, $(RQ)//(OL)$
3. b) D'après le théorème de Thalès, on a :
$\cfrac{PQ}{PL}=\cfrac{QR}{OL}$ d'où $OL=\cfrac{PL\times QR}{PQ}=\cfrac{8,1\times7,5}{4,5}=13,5\ \rm{cm}$

exercice 3

Diplôme national du brevet Antilles Guyane Septembre 2008 - troisième : image 4

2. $\mathcal{C}$ a pour diamètre AB et $F\in\mathcal{C}$ donc le triangle ABF est rectangle en F.

3. ABF est un triangle rectangle donc $\cos(\widehat{BAF})=\cfrac{AF}{AB}=$ d'où $AF=\cos(\widehat{BAF})\times AB=\cos(60°)\times8=4\ \rm{cm}$

Problème

1. Une séance de cinéma coute 7,50 euros donc :

Nombres de séances	0	1	4	10
Prix en euros	0	7,50	30	75

2. Une carte coûte 20 euros et une séance coûte 5 euros donc :

Nombres de séances	0	1	4	9
Prix en euros avec la carte	0	25	40	65

Pour une séance on paye 20 euros + 5 euros.
Quand on paye 40 euros, on en dépense 20 pour la carte et 20 pour les séances, donc on a pris 20/5=4 séances.
Quand on paye 65 euros, on en dépense 20 pour la carte et 45 pour les séances, donc on a pris 45/5=9 séances.

3. $P(x)=7,5x$

4. $A(x)=7,5x+20$

5.

Diplôme national du brevet Antilles Guyane Septembre 2008 - troisième : image 3

Prix payé en fonction du nombre de séances selon le tarif A et le tarif P.

6. Résolvons $7,5x=20+5x$
$2,5x=20\\ x=8$

7. Pour 8 séances achetés, on paye la même somme avec le tarif $P$ et le tarif $A$ . Au-dessus de 8 séances, il est plus intéressant de prendre le tarif abonné.
On peut retrouver ce résultat sur le graphique en constatant que la courbe représentative de $A$ est en-dessous de celle de $P$ à partir de 8.

Publié par TP/david9333 le 18-05-2013

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