Fiche de mathématiques
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DNB Amérique du Nord / Washington 2016

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exercice 1


Affirmation 1 : fausse
5x+4=2x+17
5x-2x=17-4
3x=13 soit x=\frac{13}{3} qui n'est pas un entier

Affirmation 2 : vraie
DE^2=(13\sqrt{7})^2=1183
DC^2+CE^2=(\sqrt{175})^2+(12\sqrt{7})^2=175+1008=1183
Donc : DE^2=DC^2+CE^2 et d'après la réciproque du théorème de Pythagore, on peut affirmer que le triangle DCE est rectangle en C.

Affirmation 3 : fausse
Le coefficient multiplicateur appliqué pour les lunettes a été de : \dfrac{31,50}{45}=0,7 ce qui correspond à une réduction de 30\%
Le coefficient multiplicateur appliqué pour la montre a été de : \dfrac{42}{56}=0,75 ce qui correspond à une réduction de 25\%. Manu a tort.

exercice 2


1.a Il y a 5 pistes au total, dont 2 rouges. Il choisit une piste au hasard, on est donc en situation équiprobable.
La probabilité qu'il emprunte une piste rouge est égale à :\frac{2}{5}=0,4

1.b Il y a 7 pistes au total et une seule est bleue.
La probabilité qu'il emprunte une piste bleue est égale à \frac{1}{7}\approx 0,14

2. La situation peut être représenté par un arbre partiel. Il y a 6 issues favorables sur 35 issues possibles.
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La probabilité qu'il emprunte successivement deux pistes noires est égale à \dfrac{6}{35}\approx 0,17

exercice 3

1.a C'est en février qu'il y a eu le plus de forfaits vendus.
b. Le nombre total de forfaits vendus est égal à :60\, 457 + 60\, 457 + 148\, 901 + 100\, 058 + 10\, 035 = 379\, 908

or \dfrac{148\,901}{379\, 908}\approx0,39 qui est supérieur à \frac{1}{3}. Ninon a raison.

2. Dans G2, on peut saisir : "=SOMME(B2:F2)

3. Le total obtenu est le nombre de forfaits vendus en 5 mois.

Le nombre moyen est donc : \dfrac{379\, 908}{5}=75\,981,6 soit 75\,982 arrondi à l'unité.

exercice 4


1. Le télésiège fonctionne 7 heures sur une journée. En une journée, il peut donc transporter 7\times 3000=21\,000 skieurs.

2. La distance parcourue est égale à 1453 m.La vitesse est de 5,5m.s-1.

La durée du trajet pour atteindre le sommet est égale à : \dfrac{1453}{5,5}\approx 264 secondes

Mais 264=4\times 60+24 ce qui donne 4 minutes 24 secondes.

3. Le dénivelé est de 2261-1839=422 m.

Soit x l'angle formé entre l'horizontale et le câble. On a \sin (x)=\dfrac{422}{1453}
A la calculatrice, on trouve que l'angle vaut environ 17 degrés.

exercice 5


1.aElliot skie deux jours.
Avec le tarif 1, il paiera : 40,50\times 2=81 euros
Avec le tarif 2, il paiera : 31+2\times 32 =95 euros
Pour Elliot, le tarif le plus intéressant est le tarif 1.

1.b Soit x le nombre de jours pour lequel le tarif 2 sera plus intéressant.

x doit donc être solution de : 40,50x>31+32x
Résolvons cette inéquation :40,50x>31+32x soit 40,50x-32x>31 soit 8,5 x> 31 soit x>\dfrac{31}{8,5}

Or \dfrac{31}{8,5}\approx 3,65
C'est donc à partir de 4 jours de ski que le tarif 2 est plus intéressant.

2.a La représentation du tarif 1 est une droite qui passe par l'origine du repère.
C'est donc le tarif 1 qui représente une situation de proportionnalité.

2.b Pour 6 jours de ski, la différence est environ de 240-225 soit une différence d'environ 15 euros.

2.c Avec 275 euros, Elliot pourra faire 7 jours de ski au mieux, à condition de chosir le tarif 2.

exercice 6


1. La section se fait parallèlement à la base du cône. (AB) et (A'B') sont donc des droites parallèles.
SAB est un agrandissement de SA'B' de rapport \dfrac{AB}{A'B'}=\dfrac{60}{30}=2

Puisque BB'=240 cm c'est que SB est égal au double soit 480 cm.

2. Le point O étant le centre de la base du cône, SO est la hauteur du cône et le triangel SOB est un triangle rectangle en O. Appliquons l'égalité de Pythagore.
SO^2=SB^2-OB^2 soit SO^2=480^2-30^2=229\,500 et SO\approx 479 cm.

3. Le volume du cône SAB est \mathcal{V}=\dfrac{\pi\times AO^2\times SO}{3} soit \mathcal{V}=\dfrac{\pi\times 30^2\times 479}{3} cm³

Le cône SA'B' est une réduction du grand cône SAB, dans un rapport \frac{1}{2}, donc son volume est égal au \frac{1}{8} du volume du grand cône. Le volume de la manche à air représente donc les \frac{3}{4} du volume du grand cône. Il est donc égal à \dfrac{7}{8}\times\dfrac{\pi\times 30^2\times 479}{3} soit  395\,016 cm³

exercice 7

1.
Avec la formule 1, le forfait pour 6 jours pour 2 adultes et 2 enfants revient à : 187,50\times 2+162,50\times 2=700 euros
Avec la formule 2, cela revient à : 120+2\times 25\times 6+2\times 20\times 6=660 euros
Pour cette famile, la formule 2 est plus intéressante.

2.
Le coût du studio est : 1\,020 euros
Le coût du matériel est : (17\times 2+10\times 1+19\times 1)\times 6=378 euros
Le coût du forfait est de 660 euros (cf 1.)
Le coût de la nourriture est de 500 euros.
Le budget total de la famille est égal à :  1\,020+378+660+500=2558 euros.
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