Fiche de mathématiques
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Sujet corrigé Brevet Maths 2016 Polynésie

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Polynésie juin 2016 - Brevet
Correction de l'épreuve de mathématiques

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exercice 1

1.a. 83~000 sur les 750~000 permettent de gagner 4 Euros.

Donc la probabilité cherchée est p=\dfrac{83~000}{750~000} = \dfrac{83}{750}

b. 532~173 tickets sur les 750~000 sont perdants. Donc 217~827 sont gagnants.

La probabilité d'obtenir un ticket gagnant est donc \dfrac{217~827}{750~000}

c. 5~400+8~150+400+15+2=13~967.

\dfrac{13~967}{750~000} \approx 1,86\%.

On a donc bien moins de 2\% de chance d'obtenir un ticket dont le "montant du gain" est supérieur ou égal à 10 Euros.

2. Coût pour l'achat de tous les tickets : 750~000\times 2=1~500~000 Euros.

Montant des gains :

2 Euros : 2\times 100~000 = 200~000 Euros
4 Euros : 4\times 83~000 = 332~000 Euros
6 Euros : 6\times 20~860 = 125~160 Euros
12 Euros : 12\times 5~400 = 64~800 Euros
20 Euros : 20\times 8~150 = 163~000 Euros
400 Euros : 400\times 150 = 60~000 Euros
1~000 Euros : 1~000\times 15 = 15~000 Euros
15~000 Euros : 15~000\times 2 = 30~000 Euros

Total : 989~960 Euros.

Tom gagnerait moins que ce qu'il pourrait dépenser. Il a donc tort.



exercice 2

1. On choisit 3;
On ajoute 1 : on obtient 4;
On élève au carré : on obtient 16;
On enlève le carré du nombre de départ : 16-9=7
On obtient bien 7.

2.a. Si le nombre choisi est 8 on obtient les étapes suivantes :
8\to 9 \to 81 \to 17 (81-8^2=81-64=17).
Le chiffre des unités est bien 7 : l'affirmation 1 est vraie.
8+9=17 : l'affirmation 2 est vraie.

Si le nombre choisi est 13 on obtient les étapes suivantes :
13\to 14 \to 196 \to 27 (196-13^2=196-169=27).
Le chiffre des unités est bien 7 : l'affirmation 1 est vraie.
13+14=27 : l'affirmation 2 est vraie.

b. Si on prend 1 comme nombre de départ, on obtient alors :
1 \to 2 \to 4 \to 3 : affirmation 1 fausse.
L'affirmation n°1 n'est donc pas vraie pour tous les nombres.
Si on prend un nombre n on obtient alors :
n\to n+1 \to (n+1)^2 \to (n+1)^2-n^2
Or (n+1)^2-n^2&=n^2+2n+1-n^2 \\ &=2n+1 \\ &=n+(n+1)
L'affirmation n°2 est vraie.



exercice 3

1. Dans les triangles AIJ et ABE on a :
I est le milieu de [AB]
J est le milieu de [AE]
D'après le théorème des milieux (IJ) et (BE) sont parallèles.

2. Dans le triangle ABE, [BE] est le plus grand côté.
D'une part BE^2=100
D'autre part AB^2+AE^2=36+64=100
Donc BE^2=AB^2+AE^2
D'après la réciproque du théorème de Pythagore, le triangle ABE est rectangle en A.

3. Dans le triangle ABE rectangle en A :

\sin \widehat{AEB}=\dfrac{AB}{BE}=\dfrac{6}{10}
Donc \widehat{AEB} \approx 37°


4.a. Puisque I et J appartiennent respectivement à [AB] et [AE], le triangle AIJ est rectangle en A.
Par conséquent le centre du cercle circonscrit à ce triangle est le milieu de son hypoténuse [IJ].
Le centre du cercle (C) est donc le milieu de [IJ].

b. D'après le théorème des milieux appliqué à la question 1. on a IJ=\dfrac{BE}{2}=5 cm.
Donc le rayon du cercle est R=\dfrac{IJ}{2}=2,5 cm.

exercice 4

1. David a parcouru 42 km.

2. Vitesse moyenne de David : v_1=\dfrac{42}{3}=14 km/h.
Vitesse moyenne de Gwenn : v_2=\dfrac{27}{1,5}=18 km/h.

a.
On doit saisir 1,75 en E3.

36 min =\dfrac{36}{60} h =0,6 h.
Donc on doit saisir 1,6 en F3.

b. On peut saisir =B2/B3.

4. On appelle t le temps mis par Stefan.

On a donc 25=\dfrac{35}{t} soit t=\dfrac{35}{25}=1,4h =1h 24 minutes (0,4\times 60 = 24).



exercice 5

1. On a donc IF = 3 cm et FK=3 cm.
Sujet et correction Brevet Maths 2016 Polynésie : image 10


2. La pyramide est constituée de 3 triangles rectangles ,IFK, IFJ et KFJ, et d'un triangle équilatéral, IJK.
Le schéma 3 est donc le bon patron de la pyramide FIJK.

3. Aire de IFK : \mathscr{C}=\dfrac{IF\times KF}{2}=\dfrac{9}{2}=4,5 cm^2.

Volume de la pyramide : \mathscr{V}=\dfrac{4,5\times 3}{3}=4,5 cm^3.



exercice 6

1. \begin{array}{|l|c|c|} \hline &\text{Version ESSENCE}&\text{Version DIESEL} \\ \hline \text{Consommation de carburant (en L)}& 1~383&1~160 \\ \hline \text{Budget de carburant (en Euros)}&1~957&1~420 \\ \hline \end{array}

Consommation de carburant : \dfrac{22~300}{100} \times 5,2 = 1~159,6 L \approx 1~160 L.

Budget associé : 1,224 \times 1~160 \approx 1~420 Euros

2. La différence de prix d'achat est : 23~950-21~550 = 2~400 Euros
La différence de prix pour le budget carburant est : 1~957-1~420=537 Euros

\dfrac{2~400}{537} \approx 4,47.

Au bout de 5 ans l'économie réalisée sur le carburant compensera la différence de prix d'achat.



exercice 7

1. 1-\dfrac{5}{17}=\dfrac{12}{17}

Par conséquent les mers et océans occupent \dfrac{12}{17} de la superficie totale de la Terre.

L'océan pacifique occupe donc \dfrac{\dfrac{12}{17}}{2}=\dfrac{6}{17} de la superficie totale de la terre.

2. On appelle S la superficie de la terre.

On a donc \dfrac{6}{17}S=180~000~000.

Donc

S&=\dfrac{180~000~000}{\dfrac{6}{17}} \\ &= \dfrac{180~000~000 \times 17}{6} \\ &=510~000~000

La superficie de la terre est donc de 510~000~000 km^2.
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