Fiche de mathématiques

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Ile mathématiques > maths brevet > DNB 2025

20 points

exercice 1

23 points

exercice 2

18 points

exercice 3

20 points

exercice 4

19 points

exercice 5

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DNB Métropole 2025

20 points

exercice 1

Dans tout l'exercice, on nous dit que les boules sont indiscernables au toucher, on est donc en situation d'équiprobabilité.

Les probabilités vont se calculer en utilisant : $p=\dfrac{\text{nombre de cas favorables}}{\text{nombre de cas possibles}}$ .

1.    Dans l'urne A, on a un total de 6 boules. Il y a parmi elles, 4 boules portant un numéro pair.

La probabilité de tirer un nombre pair dans l'urne A est $\dfrac 46=\dfrac 23$

2.    Dans l'urne B il y a 9 boules. Les nombres premiers sont : 2, 5 , 17.

Il y a donc 3 boules portant un nombre premier dans l'urne B.

La probabilité de tirer un nombre premier dans l'urne B est égale à $\dfrac{3}{9}=\dfrac 13$ .

3.    Dans l'urne A, les multiples de 6 sont : 12, 24 et 30. Il y en a donc 3.

Dans l'urne B, les multiples de 6 sont : 6 et 18. Il y en a donc 2. C'est l'urne A qui contient le plus de boules portant un multiple de 6.

4.    Si je tire une boule de l'urne A, la probabilité de tirer une boule portant un nombre supérieur ou égal à 20 est égale à $\dfrac{2}{6}=\dfrac 13$ .

Si je tire une boule de l'urne B, la probabilité de tirer une boule portant un nombre supérieur ou égal à 20 est égale à $\dfrac 39=\dfrac 13$ .

La probabilité est donc la même.

5.    On ajoute le numéro 50 dans chaque urne. Si je tire une boule de l'urne A, la probabilité de tirer une boule portant un nombre supérieur ou égal à 20 est égale à $\dfrac{3}{7}$ .

Si je tire une boule de l'urne B, la probabilité de tirer une boule portant un nombre supérieur ou égal à 20 est égale à $\dfrac {4}{10}=\dfrac 25$ .

Or $\dfrac{3}{7}\neq \dfrac 25$ car $3\times 5\neq 7\times 2$ , donc les probabilités ne sont plus les mêmes.

23 points

exercice 2

PARTIE A

1.    Les points A, D et E sont alignés, on peut écrire : $AD=AE-DE=250-50=200$ m.

2.    Le triangle $CAD$ est rectangle en $A$ . Appliquons le théorème de Pythagore.

$CD^2=AD^2+AC^2$

$CD^2=200^2+480^2$

$CD^2=40~000+230~400=270~400$

$CD=\sqrt{270~400}=520$ m.

3. a.    Les points A, C, B d'une part et A, D, E d'autre part sont alignés dans le même ordre.

$\dfrac{AC}{AB}=\dfrac{480}{480+120}=\dfrac{480}{600}=\dfrac 45$ d'une part ,

$\dfrac{AD}{AE}=\dfrac{200}{250}=\dfrac{4}{5}$ d'autre part.

Les deux rapports sont égaux.

D'après la réciproque du théorème de Thalès, les droites (CD) et (BE) sont parallèles.

3. b.    Dans le triangle rectangle ACD, on connait AC la longueur du côté adjacent à l'angle $\widehat C$ , ainsi que AD la longueur du côté opposé.

On peut calculer $\tan\widehat C$ .

$\tan\widehat C=\dfrac{AD}{AC}=\dfrac{200}{480}$ .

A l'aide de la calculatrice, on trouve $\widehat C=tan^{-1}\left(\dfrac{200}{480}\right)$ soit $\widehat C\approx 22,62^\circ$ .

La mesure de l'angle $\widehat{ACD}$ est bien supérieure à $20^ {\circ}$ .

3. c.    Les droites (CD) et (BE) sont parallèles, et l'angle $\widehat C$ a une mesure supérieure à $20^ {\circ}$ , les deux conditions sont remplies et le parcours peut être validé.

PARTIE B

4.    Les temps sont rangés en ordre croissant, il y a 9 valeurs, le temps médian correspond donc à la 5^e valeur qui est 6 minutes.

5.    L'élève le plus rapide met 5 min 30 s pour parcourir 200 m; soit 330 secondes pour parcourir 200 mètres.

Le poisson parcourt 5000 mètres en 3600 secondes.

L'élève court à une vitesse de $\dfrac{200}{330}\approx 0,61$ m/s.

Le poisson nage à une vitesse de $\dfrac{5000}{3600}\approx 1,39$ m/s.

Comme $1,39 > 0,61$ , on peut conclure que le poisson nage (nettement !) plus vite que l'élève le plus rapide.

18 points

exercice 3

Dans cet exercice les justifications n'étaient pas demandées.

Question 1 : réponse C

car : 1 melon va coûter $\dfrac{8,40}{3}=2,80$ euros et 5 melons vont coûter $5\times 2,80=14$ euros.

Question 2 : réponse D

Question 3 : réponse A

Une augmentation de $20\%$ correspond à un coefficient multiplicateur de $1,20$ .

Le noveau prix sera de : $350\times 1,20=420$ euros.

Question 4 : réponse B

Le triangle rectangle ABC est un demi-rectangle ; son aire est égale à $\dfrac 12\times 6\times 4,5=27$ cm².

Question 5 : réponse A

On utilise la double distributivité.

$(2x+3)(x-4)=2x\times x+2x\times (-4)+3\times x+3\times (-4)$

$(2x+3)(x-4)=2x^2-8x+3x-12$

$(2x+3)(x-4)=2x^2-5x-12$

Question 6 : réponse B

Le volume d'une pyramide est donnée par $V=\dfrac 13\times B\times h$ où $B$ est l'aire de la base (ici rectangulaire) et $h$ la hauteur de la pyramide.

$V=\dfrac 13\times 7\times 4\times 12=112$ cm³.

20 points

exercice 4

PARTIE A : Le programme de Zoé

1. On choisit 10 comme nombre de départ, on obtient bien 20 avec le programme.

2. On choisit le nombre -7 comme nombre de départ.

Le résultat est alors $-14$ .

3. On choisit un nombre quelconque, je l'appelle $x$ , et j'applique le programme.

Développons et simplifions l'écriture du résultat du programme :

$2(x-4)+8=2x-8+8=2x$ ; ce nombre est bien le double du nombre départ appelé $x$ . Zoé a donc raison.

PARTIE B : Le programme de Fred

4. Le nombre de départ est $x$ .

Le résultat obtenu est $20x+50$ .

5. Pour obtenir comme résultat $75$ , on doit avoir : $20 x+ 50=75$ . Résolvons cette équation :

$20 x+ 50=75$

$20x+50-50=75-50$ en retranchant $50$ aux deux membres ,

$20x=25$ après simplification,

$x=\dfrac{25}{20}$ en divisant les deux membres par $20$ ,

$x=1,25$ .

Fred devra mettre le nombre $1,25$ s'il veut obtenir 75 comme résultat.

6. A la 6e ligne, on doit avoir "mettre résultat à résultat - 50 ".

En effet, une fois arrivé à $20x+50$ , il suffit de soustraire $50$ pour obtenir $20x$ soit $20$ fois le nombre de départ.

19 points

exercice 5

PARTIE A

1.    Avec l'option "Achat", au bout d'une année la dépense est égale à : $22~400+12\times 75=23~300$ euros.

2.    Après 36 mois, avec l'option "Achat" la dépense est de : $22~400+36\times 75=25~100$ euros.

Après 36 mois, avec l'option "Location" la dépense est de $425\times 36=15~300$ euros.

L'économie alors réalisée est de $25~100-15~300=9~800$ euros.

3.    La formule à entrer est : $=B1*425$ .

PARTIE B

4.    L'expression de $f(x)$ correspondant à l'option "Achat" est : $f(x)=22~400+75 x$ .

5.    Sur le graphique, on lit l'abscisse du point d'intersection des deux droites.

L'option "Achat" est plus avantageuse à partir de $64$ mois (la droite $C_f$ étant en dessous de la droite $C_g$ , la dépense sera moindre).

_{Merci à malou pour avoir élaboré cette contribution.}

Publié par malou le 27-06-2025

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