Fiche de mathématiques
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Exercices sur les angles inscrits, angles au centre et polygones réguliers

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exercice 1

Construire un triangle équilatéral, un hexagone régulier, un carré et un octogone régulier ainsi que leur cercle circonscrit. Vous devrez utiliser uniquement un compas et une règle non graduée.


exercice 2

1/ Soit un triangle équilatéral ABC de côté 4 cm. O est le centre du cercle circonscrit au triangle. On trace (OH) la perpendiculaire au côté [BC] passant par O. Calculer la valeur exacte de OH.

2/ Soit un carré ABCD de côté 5 cm ; O est le centre du cercle circonscrit au carré. On trace (OH] (avec H sur [BC] ) la perpendiculaire au côté [BC] passant par O. Calculer la valeur exacte de OH.

exercice 3

Le cercle C de centre O, est circonscrit au pentagone régulier ABCDE
Calculer les trois angles suivants :  \widehat{EOD}; \widehat{EOA}; \widehat{EAC}.
Exercice sur les angles inscrits, Angle au centre et polygones réguliers : image 1






exercice 1.


Construire le triangle équilatéral à l'aide d'un compas. Puis, pour tracer son cercle circonscrit, tracer les médiatrices du triangle équilatéral. Leur intersection est le centre du cercle.

Pour construire un hexagone régulier, tracer un triangle équilatéral, ses médiatrices, puis son cercle circonscrit. Les sommets de l'hexagone sont les sommets du triangle et les points d'intersection des médiatrices avec le cercle.

Tracer deux droites perpendiculaires. Le centre du cercle est le point d'intersection des deux droites. Une fois le cercle tracé, relier les quatre points entre eux.

Pour construire un octogone régulier, on trace un carré, ses médiatrices, puis son cercle circonscrit. Les sommets de l'octogone régulier sont les sommets du carré et les points d'intersection des médiatrices avec le cercle.

exercice 2.


1.
Exercice sur les angles inscrits, Angle au centre et polygones réguliers : image 2

1/ L'angle \widehat{CAB} est un angle inscrit de mesure 60°, qui intercepte l'arc \wideparen {CB}
L'angle \widehat{COB} est l'angle au centre qui intercepte le même arc ; sa mesure est donc 120°
OB et OC sont des rayons : OB=OC, le triangle BOC est isocèle en O, et ses deux angles à la base sont de même mesure.
On en déduit que \widehat{OCH} = 30°
O est le point d'intersection des médiatrices des côtés de ABC : (OH) est la médiatrice de [BC] et H est le milieu de [BC] d'où [CH] = 2 cm
Dans le triangle COH rectangle en H, on peut écrire :

\tan \widehat{OCH} = \dfrac{OH}{CH}
\dfrac{\sqrt{3}}{3}  = \dfrac{OH}{2}
\dfrac{2\sqrt{3}}{3} = OH
ainsi  OH = \dfrac{2\sqrt{3}}{3}

2.
Exercice sur les angles inscrits, Angle au centre et polygones réguliers : image 3

Le triangle ACB est rectangle en B ; l'hypoténuse [AC] est un diamètre du cercle circonscrit, et O est donc milieu de [AC].
(OH) et (AB) sont perpendiculaires à (BC) d'où (OH) // (AB)
Dans le triangle CBA, on a : O milieu de [AC], et (OH) // (AB)
D'après le théorème des milieux, H est milieu de [BC] et la mesure de [OH] est la moitié de celle de [AB] d'où OH = 2.5 cm

exercice 3.


On utilise la propriété suivante : tous les angles au centre d'un polygone régulier ont la même mesure.
Ici, le polygone a 5 côtés, donc il y a 5 angles au centre.

Chaque angle au centre mesure \dfrac{360}{5} = 72° , ainsi \widehat{EOD} = 72° et \widehat{EOA} = 72°
Calcul de la mesure de \widehat{EAC}
On calcule d'abord la mesure de l'angle au centre \widehat{EOC}
\widehat{EOC} = 2 \times  72 = 144°
Or l'angle \widehat{EAC}  est un angle inscrit qui intercepte le même arc que l'angle au centre \widehat{EOC}
donc sa mesure est : \dfrac{144}{2} = 72°
\widehat{EAC} = 72°
Merci à
Exercice sur les angles inscrits, Angle au centre et polygones réguliers : image 4
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