Trigonométrie dans un cercle et polygones réguliers
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Angles inscrits et angles au centre
Prérequis :
Dans ce chapitre tu vas découvrir des propriétés des angles dans un
cercle. Il est donc utile de connaître les différents types d'angles rencontrés en 5ème ainsi
que leurs propriétés. Tu seras également amené, comme dans tous les chapitres de géométrie,
à construire des démonstrations. Il faudra donc que tu sois vigilant à l'enchaînement des
justifications que tu feras.
Enjeu :
Tu complètes, avec ce chapitre, tes connaissances sur la trigonométrie.
Ce cours est particulièrement utile pour comprendre, par la suite, la notion de rotation qui
est une transformation du plan très utilisée.
I Définitions
Définition :
On considère trois points , et
d'un cercle. L'angle est appelé angle inscrit dans ce cercle.
Les points , et définissent deux arcs de
cercle. Celui qui ne contient pas le point est dit intercepté par l'angle
inscrit.
Remarque : Plusieurs angles inscrits peuvent intercepter le même arc.
Dans cet exemple, les angles inscrits , ,
et interceptent tous le même arc de cercle
.
Définition :
On considère deux points et d'un cercle
de centre .
L'angle est appelé angle au centre du cercle.
On dit que l'angleintercepte l'arc de cercle
II Propriétés
Dans un cercle un même arc peut être intercepté à la fois par un angle au centre et par des angles
inscrits. On s'est donc posé la question, s'il y avait un lien entre les mesures de ces deux
angles. La propriété suivante répond à cette question.
Propriété :
Dans un cercle, si un angle au centre et un angle inscrit interceptent
le même arc de cercle alors l'angle au centre mesure le double de l'angle inscrit.
Dans le cercle, l'angle au centre et l'angle inscrit
interceptent le même arc .
D'après la propriété
Démonstration : Nous allons distinguer trois cas : Cas 1 : Le centre du cercle appartient à l'un des côtés de l'angle inscrit.
donc les angles et sont supplémentaires.
Par conséquent .
Le triangle est isocèle en donc .
La somme des angles d'un triangle vaut donc .
Donc
Puisque on a bien Cas 2 : Le centre du cercle est situé entre les deux côtés de l'angle inscrit.
On appelle le point diamétralement opposé au point .
Ainsi et
.
Dans le cercle, l'angle au centre et l'angle inscrit
interceptent le même arc et le centre du cercle appartient à un
côté de l'angle inscrit.
Donc .
Dans le cercle, l'angle au centre et l'angle inscrit
interceptent le même arc et le centre du cercle appartient à un
côté de l'angle inscrit.
Donc .
Par conséquent :
Et donc . Cas 3 : Le centre du cercle est situé à l'extérieur de l'angle inscrit.
On appelle le point diamétralement opposé au point .
Ainsi et
.
Dans le cercle, l'angle au centre et l'angle inscrit
interceptent le même arc et le centre du cercle appartient à un
côté de l'angle inscrit.
Donc .
Dans le cercle, l'angle au centre et l'angle inscrit
interceptent le même arc et le centre du cercle appartient à un
côté de l'angle inscrit.
Donc .
Par conséquent :
Et donc .
On a vu qu'un même arc de cercle pouvait être intercepté par plusieurs angles inscrits.
La propriété précédente nous permet donc de dire que, pour chacun d'entre eux,
leur mesure vaut la moitié de celle de l'angle au centre associé. Par conséquent :
Propriété
Si, dans un cercle, deux angles inscrits interceptent le même arc alors
ils ont la même mesure.
Dans le cercle, les angles inscrits , ,
et interceptent tous le même arc de cercle
.
Par conséquent .
III Polygones réguliers
Définition :
Un polygone est dit régulier si tous ses côtés ont la même longueur
et tous ses angles ont la même mesure.
Exemples :
Un triangle équilatéral est le seul type de polygone régulier possédant trois côtés.
Un carré est le seul type de polygone régulier possédant quatre côtés.
Propriété :
Tout polygone régulier peut être inscrit dans un cercle.
Il a été ensuite naturel de se demander s'il était possible de déterminer la mesure d'angles au
centre lié aux sommets d'un polygone régulier.
Propriété :
On considère un polygone régulier non croisé à côtés.
La mesure de l'angle au centre interceptant un des côtés du polygone est égale à
.
Exemples :
Dans un triangle équilatéral, un angle au centre interceptant un côté mesure
Dans un carré, un angle au centre interceptant un côté mesure
Dans un pentagone régulier, un angle au centre interceptant un côté mesure
Publié par Prof digiSchool
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, 
,
et 
interceptent tous le même arc de cercle
.
et l'angle inscrit
![O\in[AC]](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?O\in[AC])
donc les angles 
et 
.
est isocèle en 
donc 
.
donc 
.=2\times \widehat{OCB})
on a bien 
le point diamétralement opposé au point 
.
et
.
et l'angle inscrit 
interceptent le même arc 
et le centre du cercle appartient à un
côté de l'angle inscrit. 
. 
et l'angle inscrit 
interceptent le même arc 
et le centre du cercle appartient à un
côté de l'angle inscrit. 
.  \\\\ &=\dfrac{1}{2} \times \widehat{AOB} \end{array})
et
.
et l'angle inscrit 
.  \\\\ &=\dfrac{1}{2} \times \widehat{AOB} \end{array})
.
, 
et 
côtés. 
.