Fiche de mathématiques
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Trigonométrie dans un cercle et polygones réguliers

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Angles inscrits et angles au centre
Prérequis :
Dans ce chapitre tu vas découvrir des propriétés des angles dans un cercle. Il est donc utile de connaître les différents types d'angles rencontrés en 5ème ainsi que leurs propriétés. Tu seras également amené, comme dans tous les chapitres de géométrie, à construire des démonstrations. Il faudra donc que tu sois vigilant à l'enchaînement des justifications que tu feras.

Enjeu :
Tu complètes, avec ce chapitre, tes connaissances sur la trigonométrie. Ce cours est particulièrement utile pour comprendre, par la suite, la notion de rotation qui est une transformation du plan très utilisée.

I Définitions

Définition :
On considère trois points A, B et C d'un cercle. L'angle \widehat{ACB} est appelé angle inscrit dans ce cercle.
Les points A, B et C définissent deux arcs de cercle. Celui qui ne contient pas le point C est dit intercepté par l'angle inscrit \widehat{ACB}.

Cours complémentaire sur les angles inscrits et polygones réguliers : image 4
Remarque : Plusieurs angles inscrits peuvent intercepter le même arc.
Cours complémentaire sur les angles inscrits et polygones réguliers : image 7
Dans cet exemple, les angles inscrits \widehat{ACB}, \widehat{ADB}, \widehat{AEB} et \widehat{AFB} interceptent tous le même arc de cercle \wideparen{AB}.
Définition :
On considère deux points A et B d'un cercle de centre O. L'angle \widehat{AOB} est appelé angle au centre du cercle.
On dit que l'angle\widehat{AOB} intercepte l'arc de cercle \wideparen{AB}

Cours complémentaire sur les angles inscrits et polygones réguliers : image 10

II Propriétés

Dans un cercle un même arc peut être intercepté à la fois par un angle au centre et par des angles inscrits. On s'est donc posé la question, s'il y avait un lien entre les mesures de ces deux angles. La propriété suivante répond à cette question.
Propriété :
Dans un cercle, si un angle au centre et un angle inscrit interceptent le même arc de cercle alors l'angle au centre mesure le double de l'angle inscrit.

Cours complémentaire sur les angles inscrits et polygones réguliers : image 9
Dans le cercle, l'angle au centre \widehat{AOB} et l'angle inscrit \widehat{ACB} interceptent le même arc \wideparen{AB}. D'après la propriété \widehat{AOB}=2\times \widehat{ACB}

Démonstration : Nous allons distinguer trois cas :
Cas 1 : Le centre du cercle appartient à l'un des côtés de l'angle inscrit.
Cours complémentaire sur les angles inscrits et polygones réguliers : image 8
O\in[AC] donc les angles \widehat{BOC} et \widehat{AOB} sont supplémentaires. Par conséquent  \widehat{AOB}=180-\widehat{BOC}.
Le triangle BOC est isocèle en O donc \widehat{OBC}=\widehat{OCB}.
La somme des angles d'un triangle vaut 180° donc \widehat{BOC}=180-2\times \widehat{OCB}.
Donc \widehat{AOB}=180-\left(180-2\times\widehat{OCB}\right)=2\times \widehat{OCB}
Puisque \widehat{ACB}=\widehat{OCB} on a bien \widehat{AOB}=2\times \widehat{ACB}
Cas 2 : Le centre du cercle est situé entre les deux côtés de l'angle inscrit.
Cours complémentaire sur les angles inscrits et polygones réguliers : image 3
On appelle D le point diamétralement opposé au point C.
Ainsi \widehat{ACB}=\widehat{ACD}+\widehat{DCB} \quad et \quad \widehat{AOB}=\widehat{AOD}+\widehat{DOB}.
Dans le cercle, l'angle au centre \widehat{AOD} et l'angle inscrit \widehat{ACD} interceptent le même arc \wideparen{AD} et le centre du cercle appartient à un côté de l'angle inscrit.
Donc \widehat{ACD}=\dfrac{1}{2} \times \widehat{AOD}.
Dans le cercle, l'angle au centre \widehat{DOB} et l'angle inscrit \widehat{DCB} interceptent le même arc \wideparen{DB} et le centre du cercle appartient à un côté de l'angle inscrit.
Donc \widehat{DCB}=\dfrac{1}{2} \times \widehat{DOB}.
Par conséquent :
\begin{array}{rl} \widehat{ACB}&=\widehat{ACD}+\widehat{DCB}\\\\ &=\dfrac{1}{2} \times \widehat{AOD}+\dfrac{1}{2} \times \widehat{DOB} \\\\ &=\dfrac{1}{2}\times \left(\widehat{AOD}+\widehat{DOB}\right) \\\\ &=\dfrac{1}{2} \times \widehat{AOB} \end{array}
Et donc \widehat{AOB}=2\times \widehat{ACB}.
Cas 3 : Le centre du cercle est situé à l'extérieur de l'angle inscrit.
Cours complémentaire sur les angles inscrits et polygones réguliers : image 2
On appelle D le point diamétralement opposé au point C.
Ainsi \widehat{ACB}=\widehat{DCB}-\widehat{DCA} \quad et \quad \widehat{AOB}=\widehat{DOB}-\widehat{DOA}.
Dans le cercle, l'angle au centre \widehat{DOA} et l'angle inscrit \widehat{ACD} interceptent le même arc \wideparen{AD} et le centre du cercle appartient à un côté de l'angle inscrit.
Donc \widehat{ACD}=\dfrac{1}{2} \times \widehat{DOA}.
Dans le cercle, l'angle au centre \widehat{DOB} et l'angle inscrit \widehat{DCB} interceptent le même arc \wideparen{DB} et le centre du cercle appartient à un côté de l'angle inscrit.
Donc \widehat{DCB}=\dfrac{1}{2} \times \widehat{DOB}.
Par conséquent :
\begin{array}{rl} \widehat{ACB}&=\widehat{DCB}-\widehat{DCA}\\\\ &=\dfrac{1}{2} \times \widehat{DOB}-\dfrac{1}{2} \times \widehat{DOA} \\\\ &=\dfrac{1}{2}\times \left(\widehat{DOB}-\widehat{DOA}\right) \\\\ &=\dfrac{1}{2} \times \widehat{AOB} \end{array}
Et donc \widehat{AOB}=2\times \widehat{ACB}.

On a vu qu'un même arc de cercle pouvait être intercepté par plusieurs angles inscrits. La propriété précédente nous permet donc de dire que, pour chacun d'entre eux, leur mesure vaut la moitié de celle de l'angle au centre associé. Par conséquent :
Propriété
Si, dans un cercle, deux angles inscrits interceptent le même arc alors ils ont la même mesure.

Cours complémentaire sur les angles inscrits et polygones réguliers : image 7
Dans le cercle, les angles inscrits \widehat{ACB}, \widehat{ADB}, \widehat{AEB} et \widehat{AFB} interceptent tous le même arc de cercle \wideparen{AB}.
Par conséquent \widehat{ACB}=\widehat{ADB}=\widehat{AEB} =\widehat{AFB}.

III Polygones réguliers

Définition :
Un polygone est dit régulier si tous ses côtés ont la même longueur et tous ses angles ont la même mesure.

Exemples :
Un triangle équilatéral est le seul type de polygone régulier possédant trois côtés.
Un carré est le seul type de polygone régulier possédant quatre côtés.
Propriété :
Tout polygone régulier peut être inscrit dans un cercle.

Cours complémentaire sur les angles inscrits et polygones réguliers : image 5
Il a été ensuite naturel de se demander s'il était possible de déterminer la mesure d'angles au centre lié aux sommets d'un polygone régulier.
Propriété :
On considère un polygone régulier non croisé à n côtés.
La mesure de l'angle au centre interceptant un des côtés du polygone est égale à \dfrac{360°}{n}.

Cours complémentaire sur les angles inscrits et polygones réguliers : image 1
Exemples :
Dans un triangle équilatéral, un angle au centre interceptant un côté mesure \dfrac{360}{3}=120°
Dans un carré, un angle au centre interceptant un côté mesure \dfrac{360}{4}=90°
Dans un pentagone régulier, un angle au centre interceptant un côté mesure \dfrac{360}{5}=72°

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