Fiche de mathématiques
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Autre exercice sur les angles inscrits et polygones réguliers

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exercice

Partie A
On considère un triangle ABC tel que \widehat{CAB}=55° et \widehat{ABC}=80°. On appelle O le centre de son cercle circonscrit et D le point diamétralement opposé à B.
Autre exercice sur les angles inscrits et  polygones réguliers : image 1

la figure n'est donnée qu'à titre indicatif. Les mesures des angles n'ont pas été respectées.
1. Calculer la mesure de l'angle \widehat{ACB}.
2. En déduire la mesure de \widehat{AOB}.
3. Démontrer que (AO) est la médiatrice du segment [BD].
4. Démontrer que (AC) est la bissectrice de \widehat{BCD}.
5. Calculer la mesure de l'angle \widehat{CDB} puis celle de \widehat{CBD}.

Partie B
On considère un polygone régulier à n côtés de centre O. On appelle A, B et C trois sommets consécutifs.
Montrer que \widehat{ABC}=\dfrac{(n-2)\times 180°}{n}.





Partie A
1. La somme des angles d'un triangle vaut 180°.
Par conséquent \widehat{ACB}=180-(55+80)=45°.
2. Dans le cercle circonscrit au triangle ABC l'angle au centre \widehat{AOB} et l'angle inscrit \widehat{ACB} interceptent le même arc \wideparen{AB}. Par conséquent \widehat{AOB}=2\times \widehat{ACB}=90°.
3. O est le milieu du segment [BD] et, d'après la question précédente, la droite (AO) est perpendiculaire au segment [BD].
Ainsi la droite (AO) coupe le segment [BD] perpendiculairement en son milieu. Il s'agit donc de sa médiatrice.
4. Le point C appartient au cercle de diamètre [BD]. Le triangle BCD est donc rectangle en C.
On a vu que \widehat{ACB}=45° par conséquent \widehat{ACD}=90-45=45°.
La droite (AC) est donc la bissectrice de l'angle \widehat{BCD}.
5. Dans le cercle, les angles inscrits \widehat{CDB} et \widehat{CAB} interceptent le même arc \wideparen{BC}.
Par conséquent \widehat{CDB}=\widehat{CAB}=55°.
La somme des angles d'un triangle vaut 180°. Dans le triangle BCD on a donc \widehat{CBD}=180-(90+55)=35°.

Partie B
On sait que \widehat{BOC}=\dfrac{360}{n}
Le triangle BOC est isocèle en O. Par conséquent \widehat{OBC}=\dfrac{180-\dfrac{360}{n}}{2}.

Dans le polygone régulier, \widehat{ABC}=2\times \widehat{OBC}=180-\dfrac{360}{n}= \dfrac{180n-360}{n}=\dfrac{180(n-2)}{n}
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