Fiche de mathématiques
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Polygone régulier

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I) Définition.

Un polygone régulier est un polygone dont tous les côtés ont la même longueur et dont tous les angles, la même mesure.

Ainsi, il ne peut y avoir qu'un seul polygone régulier qui a un nombre de côtés donnés.
Par exemple : Quel est le polygone régulier à 3 côtés ?
Il s'agit du triangle équilatéral. En effet, il possède 3 côtés de même longueur et 3 angles de même mesure (à savoir 60°).

II) Propriétés.

A) Reconnaitre un polygone régulier.

"Tout polygone régulier est inscrit dans un cercle".
ou réciproquement
"Si un polygone a tous ses côtés de la même longueur et tous ses sommets qui appartiennent à un même cercle, alors ce polygone est régulier."
Exemple :
Un carré à ses 4 côtés de même longueur. Un carré est inscrit dans un cercle. Par conséquent, un carré est polygone régulier à 4 côtés.

B) Calcul d'angles dans les polygones réguliers.


1) Angle au centre.
Dans les polygones réguliers, l'angle au centre (en degrés) se calcule par : \frac{360}{n} (n étant le nombre de côtés de la figure).
Par exemple, pour un hexagone régulier ( rappel : Un hexagone possède 6 côtés de même longueur ), ayant pour centre 0 et un segment [AB] ; l'angle au centre se calculera par :
\widehat{AOB} = \frac{360}{n}
\widehat{AOB} = \frac{360}{6}
\widehat{AOB} = 60°
Donc, l'angle au centre d'un hexagone régulier vaut 60°.

2) Angle au sommet.
Dans les polygones réguliers, l'angle au sommet se calcule par : (Notons S l'angle au sommet).
S = 180 - angle au centre.
Soit, 180° - \frac{360°}{n}
Par exemple, pour un octogone régulier (8 côtés de même longueur et 8 angles de même mesure), l'angle au sommet se calculera par :
S = 180° - \frac{360°}{n}
S = 180° - \frac{360°}{8}
S = 180° - 45°
S = 135°
Donc, l'angle au sommet d'un octogone régulier est de 135°.

III) Quelques exemples de polygones ...


Polygone régulier à 3 côtés : Triangle équilatéral (Angle au centre : 120° ;Angle au sommet : 60°)

Polygone régulier à 4 côtés : Carré (Angle au centre : 90° ; Angle au sommet : 90°)

Polygone régulier à 5 côtés : Pentagone régulier (Angle au centre : 72° ; Angle au sommet : 108°)

Polygone régulier à 6 côtés : Hexagone régulier (Angle au centre : 60° ; Angle au sommet : 120°)
Remarque : Un hexagone régulier est formé de 6 triangles équilatéraux.

Polygone régulier à 8 côtés : Octogone régulier (Angle au centre : 45° ; Angle au sommet : 135°).
Remarque : Un octogone régulier est formé de 8 triangles isocèles.

Polygone régulier à 9 côtés : Ennéagone régulier (Angle au centre : 40° ; Angle au sommet : 140°)

Polygone régulier à 10 côtés : Décagone régulier (Angle au centre : 36° ; Angle au sommet : 144°)

Polygone régulier à 12 côtés : Dodécagone régulier (Angle au centre : 30° ; Angle au sommet : 150°)

Remarque générale : L'angle au centre (et donc, l'angle au sommet) du polygone régulier à 7 et à 11 côtés (à savoir l'heptagone et l'hendécagone) n'est pas exact (sous la forme décimale).

IV) Comment tracer un hexagone régulier ?

Construire un hexagone régulier de côté c = 3cm.
Tout d'abord, on trace un cercle de centre 0, et de rayon OI = 3cm. Ensuite, à partir du point I, on reporte sur le cercle, avec le compas 6 fois (ici 6 puisqu'il s'agit d'un hexagone) de longueur c = 3cm, pour trouver les autres points.
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Yumi
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