Fiche de mathématiques
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Brevet Groupement Est 2005

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Sujet donné dans les académies de Besançon, Dijon, Grenoble, Lyon, Nancy-Metz, Reims et Strasbourg.

La rédaction et la présentation seront notées sur 4 points.
L'emploi des calculatrices est autorisée.
Coefficient : 2     Durée : 2 heures


12 points

Activités numériques

Dans toute cette partie, les résultats des calculs demandés doivent être accompagnés d'explications, le barème en tiendra compte.

exercice 1

Alain, Bernard et Charlotte décident de faire chacun une question de l'exercice suivant :
\text{A} = \dfrac{5}{4} - \dfrac{2}{3} \times \dfrac{9}{16} \hspace{50pt} \text{B} = \dfrac{16 \times 10^{-5} \times 3 \times 10^4}{24 \times 10^{-3}} \hspace{50pt} \text{C} = \sqrt{63} + 2\sqrt{7} - 5\sqrt{28}


1. Calculer A et donner le résultat sous forme d'une fraction irréductible.

2. Calculer B et donner le résultat sous forme d'un nombre entier.

3. Écrire C sous la forme a\sqrt{7}, a étant un nombre entier relatif.

Alain calcule A et propose A = \dfrac{21}{64}; Bernard calcule B et propose B = 2 × 10²; Charlotte calcule C et propose C = -5\sqrt{7}.
Ces réponses vous semblent-elles satisfaisantes ? Justifier vos affirmations.




exercice 2

On considère l'expression E = 4x² - 9 + (2x + 3)(x - 2)

1. Développer et réduire l'expression E.

2. Factoriser 4x² - 9. En déduire la factorisation de l'expression E.

3. a) Résoudre l'équation (2x + 3)(3x - 5) = 0.
    b) Cette équation a-t-elle une solution entière ?
    c) Cette équation a-t-elle une solution décimale ?




exercice 3

1. Calculer le PGCD des nombres 135 et 210.

2. Dans une salle de bains, on veut recouvrir le mur situé au dessus de la baignoire avec un nombre entier de carreaux de faïence de forme carrée dont le côté est un nombre entier de centimètres le plus grand possible.
    a) Déterminer la longueur, en cm, du côté d'un carreau, sachant que le mur mesure 210 cm de hauteur et 135 cm de largeur.
    b) Combien faudra-t-il alors de carreaux ?


12 points

Activités géométriques

exercice 1

Démontrer, pour chacune des trois figures ci-dessous, que le triangle ABC est un triangle rectangle en utilisant les informations fournies.
sujet du brevet 2005 : image 1





exercice 2

1. Tracer un segment [EF] de 10 cm de longueur puis un demi-cercle de diamètre [EF].
Placer le point G sur ce demi-cercle, tel que EG = 9 cm.
    a) Démontrer que le triangle EFG est rectangle.
    b) Calculer la longueur GF arrondie au mm.

2. Placer le point M sur le segment [EG] tel que EM = 5,4 cm et le point P sur le segment [EF] tel que EP = 6 cm.
Démontrer que les droites (FG) et (MP) sont parallèles.




exercice 3

On s'intéresse dans cet exercice au réservoir de la fusée XYZ2005, nouveau prototype de fusée interplanétaire.
Ce réservoir est constitué d'un cône surmonté d'un cylindre, comme le montre le dessin ci-dessous.
Le diamètre du réservoir est de 6 m, le cylindre mesure 35 m de hauteur et le cône 4 m de hauteur.
sujet du brevet 2005 : image 2


1. Calculer le volume total du réservoir; on donnera d'abord la valeur exacte en m³, puis la valeur en dm³, arrondie au dm³.

2. Le volume de ce réservoir est-il suffisant pour que les moteurs de la fusée fonctionnent pendant 10 minutes, sachant que ces moteurs consomment 1 500 litres de carburant par seconde ?


Rappels :
Volume d'un cône de hauteur h et de rayon de base R : V = \dfrac{1}{3} \times \pi \times R^2 \times h
Volume d'un cylindre de hauteur h et de rayon de base R : V = \pi \times R^2 \times h


12 points

Problème

Un théâtre propose deux tarifs pour la saison 2004-2005 :
Tarif S : 8 ? par spectacle.
Tarif P : achat d'une carte de 20 ? donnant droit à un tarif préférentiel de 4 ? par spectacle.

1. Recopier et compléter le tableau suivant, sachant que Monsieur Scapin a choisi le tarif S et Monsieur Purgon le tarif P.
Nombre de spectacles 4 9 15
Dépense de M. Scapin en ?      
Dépense de M. Purgon en ?      


On suppose maintenant que Monsieur Scapin et Monsieur Purgon ont chacun assisté à x spectacles.

2. Exprimer en fonction de x le prix s(x) payé par M. Scapin puis le prix p(x) payé par M. Purgon.

3. Résoudre l'équation 8x = 4x + 20. À quoi correspond la solution de cette équation ?

Sur une feuille de papier millimétré, mettre en place un repère orthogonal (placer l'origine O en bas à gauche, prendre 1 cm pour un spectacle sur l'axe des abscisses et 1 cm pour 5 ? sur l'axe des ordonnées).

4. Représenter graphiquement les fonctions s et p définies respectivement par s(x) = 8x et p(x) = 4x + 20.

5. Déterminer par lecture graphique, en faisant apparaître sur le dessin les tracés nécessaires :
    a) Le résultat de la question 3.
    b) Le tarif le plus avantageux pour un spectateur qui assisterait à 8 spectacles durant la saison.
    c) Le tarif le plus avantageux pour M. Harpagon qui ne souhaite pas dépenser plus de 50 ? pour toute la saison. À combien de spectacles pourra-t-il assister ? Retrouver ce dernier résultat par le calcul.



Activités numériques

Dans toute cette partie, les résultats des calculs demandés doivent être accompagnés d'explications, le barème en tiendra compte.

exercice 1

1. Calcul de A :
\text{A} = \dfrac54 - \dfrac23 \times \dfrac{9}{16}\\ \text{A} = \dfrac54 - \dfrac{2 \times 3 \times 3}{3 \times 2 \times 8}\\ \text{A} = \dfrac54 - \dfrac38\\ \text{A} = \dfrac{5 \times 2}{4 \times 2} - \dfrac38\\ \text{A} = \dfrac{10}{8} - \dfrac38\\ \text{A} = \dfrac{7}{8}\\

2. Calcul de B :
\text{B} = \dfrac{16 \times 10^{-5} \times 3 \times 10^4}{24 \times 10^{-3}}\\ \text{B} = \dfrac{16 \times 3 \times 10^{-5} \times 10^4}{24 \times 10^{-3}}\\ \text{B} = \dfrac{2 \times 8 \times 3 \times 10^{-5 + 4 - (-3)}}{3 \times 8}\\ \text{B} = 2 \times 10^2\\ \text{B} = 200

3. Ecrivons C sous la forme a\sqrt{7} :
\text{C} = \sqrt{63} + 2\sqrt{7} - 5\sqrt{28}\\ \text{C} = \sqrt{9 \times 7} + 2\sqrt{7} - 5\sqrt{4 \times 7}\\ \text{C} = 3\sqrt{7} + 2\sqrt{7} - 5 \times 2\sqrt{7}\\ \text{C} = 3\sqrt{7} + 2\sqrt{7} - 10\sqrt{7}\\ \text{C} = -5\sqrt{7}

Alain propose A = \dfrac{21}{64}.
Or, \dfrac78 = \dfrac{56}{64}, donc \dfrac{21}{64} \neq \dfrac78.
La réponse d'Alain est donc fausse.

Bernard propose B = 2 × 10².
Son résultat est correct mais il n'est pas donné sous forme d'un nombre entier.

Charlotte propose C = -5\sqrt{7}.
Sa réponse est correcte.




exercice 2

1. Développement de l'expression E :
E = 4x² - 9 + (2x + 3)(x - 2)
E = 4x² - 9 + 2x × x - 2x × 2 + 3 × x - 3 × 2
E = 4x² - 9 + 2x² - 4x + 3x - 6
E = 6x² - x - 15

2. Factorisation de 4x² - 9 :
4x² - 9 = (2x)² - 3² = (2x - 3)(2x + 3)

    Factorisation de l'expression E :
E = 4x² - 9 + (2x + 3)(x - 2)
E = (2x - 3)(2x + 3) + (2x + 3)(x - 2)
E = (2x + 3)[(2x - 3) + (x - 2)]
E = (2x + 3)(3x - 5)

3. a) Résolution de l'équation (2x + 3)(3x - 5) = 0 :
(2x + 3)(3x - 5) = 0
Un produit de facteurs est nul si l'un au moins de ces facteurs est nul, et réciproquement.
\begin{array}{lcl} 2x + 3 = 0&\hspace{25pt} ou \hspace{25pt}&3x - 5 = 0\\ 2x = - 3&\hspace{25pt} ou \hspace{25pt}&3x = 5\\ x = -\dfrac32&\hspace{25pt} ou \hspace{25pt}&x = \dfrac53\\ \end{array}
Les solutions de l'équation sont -\dfrac32 \text{ et } \dfrac53.

3. b) Cette équation n'a donc pas de solution entière.

3. c) Cette équation admet une solution décimale : -\dfrac32 = -1,5




exercice 3

1. Calcul du PGCD des nombres 135 et 210 :
Par la méthode des soustractions successives :
PGCD(210; 135) = PGCD(135; 75)
PGCD(135; 75) = PGCD(75; 60)
PGCD(75; 60) = PGCD(60; 15)
PGCD(60; 15) = PGCD(45; 15)
PGCD(45; 15) = PGCD(30; 15)
PGCD(30; 15) = PGCD(15; 15)
PGCD(15; 15) = 15

En utilisant l'algorithme d'Euclide :
210 = 135 × 1 + 75
135 = 75 × 1 + 60
75 = 60 × 1 + 15
60 = 15 × 4 + 0
Le dernier reste non nul est 15. On en déduit que : PGCD(210; 135) = 15.

2. a) Longueur du côté d'un carreau :
On a vu que PGCD(210; 135) = 15, donc : 210 = 15 × 14 et 135 = 15 × 9.
Les carreaux de faïence ont une forme carrée. Ils mesurent donc 15 cm de côté.

2. b) Nombre de carreaux nécessaires :
Dans le sens de la hauteur (210 cm), on peut mettre 14 carreaux mesurant 15 cm de côté. Dans le sens de la largeur (135 cm), on peut mettre 9 carreaux mesurant 15 cm de côté.
Au total, on utilisera 14 × 9 = 126 carreaux de faïence.


Activités géométriques

exercice 1

Figure 1 :
Le plus grand côté est [BC] (si le triangle est rectangle, alors ce côté est l'hypoténuse).
On a : BC² = 50² = 2 500
et : AB² + AC² = 30² + 40² = 2 500
Comme AB² + AC² = BC², alors, d'après la réciproque du théorème de Pythagore, le triangle ABC est rectangle en A.

Figure 2 :
Les angles \small \widehat{\text{ABC}} et \small \widehat{\text{AEC}} sont deux angles inscrits qui interceptent l'arc de cercle
sujet du brevet 2005 : image 3
. Ils sont donc de même mesure : \widehat{\text{ABC}} = \widehat{\text{AEC}} = 50°.
La somme des mesures des angles du triangle ABC est égale à 180°, donc :
\widehat{\text{BAC}} = 180 - (\widehat{\text{ABC}} + \widehat{\text{BCA}})\\ \widehat{\text{BAC}} = 180 - (50 + 40)\\ \widehat{\text{BAC}} = 90^o
Comme \small \widehat{\text{BAC}} = 90°, alors le triangle ABC est rectangle en A.

Figure 3 :
On sait que les droites (DE) et (AC) sont parallèles et que les droites (AD) et (DE) sont perpendiculaires. On en déduit que les droites (AC) et (AD) sont perpendiculaires.
Comme B est un point de la droite (AD), alors les droites (AC) et (AB) sont perpendiculaires. Le triangle ABC est donc rectangle en A.




exercice 2

1.

sujet du brevet 2005 : image 4

Figure


1. a) Montrons que le triangle EFG est rectangle :
Comme le point G appartient au demi-cercle de diamètre [EF], alors le triangle EFG est rectangle en G.

1. b) Calculons la longueur GF :
Dans le triangle EFG rectangle en G, on applique le théorème de Pythagore :
EF² = EG² + GF²
10² = 9² + GF²
100 = 81 + GF²
GF² = 100 - 81
GF² = 19
GF = \sqrt{19}
D'où : GF \approx 4,4 cm à 1 mm près.

2. Montrons que les droites (FG) et (MP) sont parallèles :
On a \dfrac{EP}{EF} = \dfrac{6}{10} = \dfrac35 \text{ et } \dfrac{EM}{EG} = \dfrac{5,4}{9} = \dfrac{54}{90} = \dfrac35

Les droites (EF) et (EG) sont sécantes en E.
P est un point de la droite (EF).
M est un point de la droite (EG).
Les points E, P, F d'une part et E, M, G d'autre part sont alignés dans le même ordre.
Comme \dfrac{EP}{EF} = \dfrac{EM}{EG}, alors d'après la réciproque du théorème de Thalès, les droites (MP) et (FG) sont parallèles.




exercice 3

1. Volume total du réservoir :
Vréservoir = Vcône + Vcylindre

Vcône = \dfrac13 \times \pi \times \text{R}^2 \times \text{h}
\hspace{25pt} = \dfrac13 \times \pi \times 3^2 \times 4\\ \hspace{25pt} = \pi \times 3 \times 4
Donc : Vcône = 12\pi

Vcylindre = \pi \times \text{R}^2 \times \text{h}
\hspace{40pt} = \pi \times 3^2 \times 35
Donc : Vcylindre = 315\pi

D'où : Vréservoir = 12\pi + 315\pi
Vréservoir = 327\pi m³, soit Vréservoir = 327 000\pi dm³.
Vréservoir \approx 1 \,027\, 301 dm³.

2. 10 min = 10 × 60 s = 600 s
consommation moteur (en L) 1 500 x
temps (en s) 1 600


x = \dfrac{600 \times 1500}{1} = 900 000
Pour que les moteurs de la fusée fonctionnent pendant 10 minutes, il faut 900 000 litres de caburant.
Or, le volume total du réservoir de la fusée contient 1 027 301 dm³, soit 1 027 301 L de carburant, et 900 000 < 1 027 301.
Le volume du réservoir est donc suffisant pour que les moteurs de la fusée fonctionnent pendant 10 minutes.


Problème

1.
Nombre de spectacles 4 9 15
Dépense de M. Scapin en ? 32 72 120
Dépense de M. Purgon en ? 36 56 80


Dépense de Monsieur Scapin (en euros) pour 4 spectacles :
8 × 4 = 32

Dépense de M. Purgon (en euros) pour 4 spectacles :
4 × 4 + 20 = 16 + 20 = 36

On suppose maintenant que Monsieur Scapin et Monsieur Purgon ont chacun assisté à x spectacles.

2. Prix payé par Monsieur Scapin (en fonction de x) :
s(x) = 8x

     Prix payé par Monsieur Purgon (en fonction de x) :
p(x) = 4x + 20

3. Résolvons l'équation 8x = 4x + 20 :
8x = 4x + 20
8x - 4x = 20
4x = 20
x = \dfrac{20}{4}
x = 5
La solution de l'équation est 5.
Elle correspond au nombre de spectacles pour lequel les prix payés par Monsieur Scapin et Monsieur Purgon sont égaux (c'est la solution de l'équation s(x) =p(x)).

4. Représentations graphiques des fonctions s et p :
La fonction s est une fonction linéaire. Sa représentation graphique est une droite (d1) qui passe par l'origine O.
De plus : s(9) = 72.
Donc la droite (d1) passe par le point de coordonnées (9; 72).

La fonction p est une fonction affine. Sa représentation graphique est une droite (d2) qui ne passe pas par l'origine O du repère.
De plus, p(4) = 36 et p(9) = 56.
La droite (d2) passe par les points de coordonnées (4; 36) et (9; 56).
sujet du brevet 2005 : image 5

Représentations graphiques des fonctions s et p


5. Déterminons par lecture graphique :
5. a) le résultat de la question 3 :
La solution de l'équation s(x) = p(x) est l'abscisse du point d'intersection des droites (d1) et (d2) [en bleu sur le graphique].
La solution de l'équation est 5.

5. b) Tarif le plus avantageux pour un spectateur qui assisterait à 8 spectacles durant la saison :
Pour huit spectacles (x = 8), la droite (d2) est en-dessous de la droite (d1) [en rouge sur le graphique].
Pour un spectateur qui assisterait à 8 spectacles durant la saison, le tarif P est le plus avantageux.

5. c) Tarif le plus avantageux pour M. Harpagon qui ne souhaite pas dépenser plus de 50 ? pour toute la saison : Le tarif le plus avantageux pour M. Harpagon qui ne souhaite pas dépenser plus de 50 ? pour toute la saison est le tarif P [en vert sur le dessin].

Nombre de spectacles auxquels il pourra assister :
Graphiquement : M. Harpagon pourra assister à 7 spectacles au maximum.

Par le calcul :
p(x) \leq 50
4x + 20 \leq 50
4x \leq 50 - 20
4x \leq 30
x \leq \dfrac{30}{4}
x \leq 7,5

s(x) \leq 50
8x \leq 50
x \leq \dfrac{50}{8}
x \leq 6,25

Par le calul, on retrouve bien le résultat annoncé.
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