Fiche de mathématiques

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Brevet Groupement Nord 2005

Sujet donné dans les académies de Amiens, Créteil, Lille, Paris, Rouen et Versailles.

La rédaction et la présentation seront notées sur 4 points.
L'emploi des calculatrices est autorisé.
Coefficient : 2 Durée : 2 heures

12 points

Activités numériques

exercice 1

Soit A = $\dfrac53 - \dfrac73 \times \dfrac94$ et B = $\sqrt{45} - 12\sqrt{5}$

1. Calculer A et donner le résultat sous forme d'une fraction irréductible.

2. Écrire B sous la forme a $\sqrt{5}$ où a est un entier relatif.

exercice 2

On donne l'expression A = (2x - 3)² - (4x + 7)(2x - 3)

1. Développer et réduire A.

2. Factoriser A.

3. Résoudre l'équation (2x - 3)(-2x - 10) = 0.

exercice 3

Un pâtissier dispose de 411 framboises et de 685 fraises. Afin de préparer des tartelettes, il désire répartir ces fruits en les utilisant tous et en obtenant le maximum de tartelettes identiques.

1. Calculer le nombre de tartelettes.

2. Calculer le nombre de framboises et de fraises dans chaque tartelette.

exercice 4

Une élève de CP fait des courses pour elle et ses camarades :
La première fois elle achète 5 crayons et 2 gommes pour 10,90 €.
La seconde fois elle achète 8 crayons et 3 gommes pour 17,20 €.

En utilisant un système d'équations, aider l'élève de CP à retrouver le prix de chaque article.

12 points

Activités géométriques

exercice 1

1. Construire un triangle ABC tel que BC = 7 cm, $\widehat{BCA}$ = 37° et $\widehat{CBA}$ = 53°.

2. Prouver que ce triangle est un triangle rectangle.

3. Calculer la longueur CA puis donner la valeur arrondie au mm.

exercice 2

1. Sur la page annexe, dans le repère orthonormé (O, I, J) tel que OI = OJ = 1 cm, placer les points A(0; 4) B(3; 2) C(-1; -4).

2. Calculer la longueur BC, donner la valeur exacte puis la valeur arrondie au dixième.

3. En admettant que AB = $\sqrt{13}$ cm et AC = $\sqrt{65}$ cm, démontrer que le triangle ABC est rectangle en B.

4. Placer dans le repère le point E image du point C dans la translation de vecteur $\overrightarrow{BA}$ .

5. Démontrer que le quadrilatère ABCE est un rectangle.

Annexe

exercice 3

Sur la figure ci-dessous on a un cône de révolution tel que SA = 12 cm.
Un plan parallèle à la base coupe ce cône tel que SA' = 3 cm (la figure ci-dessous n'est pas à l'échelle).

1. Le rayon du disque de base du grand cône est de 7 cm. Calculer la valeur exacte du volume du grand cône.

2. Quel coefficient de réduction permet de passer du grand cône au petit cône ?

3. Calculer la valeur exacte du volume de ce petit cône, puis en donner la valeur arrondie au cm³.

12 points

Problème

Monsieur Martin habite Petitville. Monsieur Gaspard habite à une distance de 900 km de Petitville.

A huit heures du matin les deux personnes commencent à rouler l'un vers l'autre :
Monsieur Martin quitte Petitville et roule à 60km/h.
Monsieur Gaspard se dirige vers Petitville et roule à 90 km/h.

On note x le temps écoulé depuis huit heures du matin (x est exprimé en heures). Ainsi, quand il est huit heures du matin, x = 0.

Après avoir roulé une heure, c'est à dire quand x = 1, Monsieur Martin est à 60 km de Petitville et Monsieur Gaspard est lui à 810 km de Petitville.

1. A quelle distance de Petitville Monsieur Martin se situe-t-il quand x = 4 ? quand x = 10 ?

2. A quelle distance de Petitville Monsieur Gaspard se situe-t-il quand x = 4 ? quand x = 10 ?

3. Exprimer en fonction de x la distance qui sépare Monsieur Martin de Petitville.
Exprimer en fonction de x la distance qui sépare Monsieur Gaspard de Petitville.

4. On donne les fonctions suivantes f : x $\mapsto$ 60x et g : x $\mapsto$ 900 - 90x.
Compléter les tableaux suivants :

x	0	1	4	10		x	0	1	4	10
f(x)						g(x)

5. Représenter graphiquement les fonctions f et g sur une feuille de papier millimétré en prenant
en abscisse : 1 cm pour une durée d'une heure
en ordonnée : 1 cm pour une distance de 100 km.

6. A l'aide d'une lecture graphique, déterminer :
     a) La durée au bout de laquelle les deux personnes se croisent.
     b) A quelle distance de petitville se croisent-ils ? Faire apparaître les pointillés nécessaires.

7. a) Retrouver le résultat de la question 6. a) en résolvant une équation.
    b) Retrouver le résultat de la question 6. b) par le calcul.

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Activités numériques

exercice 1

1. Calculons A :
$\text{A} = \dfrac53 - \dfrac73 \times \dfrac94\\ \text{A} = \dfrac{20}{12} - \dfrac{63}{12}\\ \text{A} = -\dfrac{43}{12}$

2. Ecrivons B sous la forme a $\sqrt{5}$ :
$\text{B} = \sqrt{45} - 12\sqrt{5}\\ \text{B} = \sqrt{9 \times 5} - 12\sqrt{5}\\ \text{B} = 3\sqrt{5} - 12\sqrt{5}\\ \text{B} = -9\sqrt{5}$

exercice 2

1. Développons et réduisons A :
A = (2x - 3)² - (4x + 7)(2x - 3)
A = (2x)² - 2 × 2x × 3 + 3² - (4x × 2x - 4x × 3 + 7 × 2x - 7 × 3)
A = 4x² - 12x + 9 - (8x² - 12x + 14x - 21)
A = 4x² - 12x + 9 - (8x² + 2x - 21)
A = 4x² - 12x + 9 - 8x² - 2x + 21
A = -4x² - 14x + 30

2. Factorisons A :
A = (2x - 3)² - (4x + 7)(2x - 3)
A = (2x - 3)[(2x - 3) - (4x + 7)]
A = (2x - 3)(2x - 3 - 4x - 7)
A = (2x - 3)(-2x - 10)
A = -2(2x - 3)(x + 5)

3. Résolvons l'équation (2x - 3)(-2x - 10) = 0 :
Un produit de facteurs est nul si l'un au moins de ces facteurs est nul, et réciproquement.
$\begin{array}{lcl} 2x - 3 = 0& \hspace{25pt} \text{ou} \hspace{25pt} & -2x - 10 = 0\\ 2x = 3& \hspace{25pt} \text{ou} \hspace{25pt} & -2x = 10\\ x = \dfrac32& \hspace{25pt} \text{ou} \hspace{25pt} & x = \dfrac{10}{-2}\\ & & x = -5 \end{array}$
Les solutions de l'équation sont -5 et $\dfrac32$

exercice 3

1. Calculons le nombre de tartelettes :
Commençons par calculer le PGCD des nombres 411 et 685 :
Par la méthode des soustractions successives :
PGCD(685; 411) = PGCD(411; 274)
PGCD(411; 274) = PGCD(274; 137)
PGCD(274; 137) = PGCD(137; 137)
PGCD(137; 137) = 137

En utilisant l'algorithme d'Euclide :
685 = 411 × 1 + 274
411 = 274 × 1 + 137
274 = 137 × 2 + 0
Le dernier reste non nul est 137. On en déduit que : PGCD(685; 411) = 137.

Le pâtissier pourra préparer au maximum 137 tartelettes.

2. Calculons le nombre de framboises et de fraises dans chaque tartelette :
PGCD(685; 411) = 137, donc :
411 = 137 × 3 et 685 = 137 × 5
Chaque tartelette sera composée de 3 framboises et 5 fraises.

exercice 4

Soit x le prix d'un crayon et soir y le prix d'une gomme.
L'élève achète 5 crayons et 2 gommes pour 10,90 €, soit 5x + 2y = 10,9.
L'élève achète 8 crayons et 3 gommes pour 17,20 €, soit 8x + 3y = 17,2.
D'où le système suivant : $\left \lbrace \begin{array}{c @{ = } c} 5x + 2y & 10,9 \\ 8x + 3y & 17,2 \\ \end{array} \right.$

Résolvons ce système :
par combinaison :
$\left \lbrace \begin{array}{c @{ = } c} 5x + 2y & 10,9 \\ 8x + 3y & 17,2 \\ \end{array} \right.$
On multiplie la première équation par 3 et la deuxième équation par 2 :
$\left \lbrace \begin{array}{c @{ = } c} 15x + 6y & 32,7 \\ 16x + 6y & 34,4 \\ \end{array} \right.$
On soustrait les deux équations membre à membre :
15x - 16x + 6y - 6y = 32,7 - 34,4
-x = -1,7
x = 1,7

On remplace x par 1,7 dans la première équation :
5 × 1,7 + 2y = 10,9
8,5 + 2y = 10,9
2y = 10,9 - 8,5
2y = 2,4
$y = \dfrac{2,4}{2}\\ y = 1,2$
Le couple (1,7; 1,2) est solution du système.

par substitution :
$\left \lbrace \begin{array}{c @{ = } c} 5x + 2y & 10,9 \\ 8x + 3y & 17,2 \\ \end{array} \right.$
D'après la première équation, on peut écrire : $x = \dfrac{10,9 - 2y}{5}$
On remplace x par cette expression dans la deuxième équation :
$8 \times \dfrac{10,9 - 2y}{5} + 3y = 17,2\\ 17,44 - 3,2y + 3y = 17,2\\ -0,2y = -0,24\\ y = \dfrac{-0,24}{-0,2}\\ y = 1,2$
Donc :
$x = \dfrac{10,9 - 2 \times 1,2}{5}\\ x = 1,7$
Le couple (1,7; 1,2) est solution du système.
Un crayon coûte 1,70 € et une gomme coûte 1,20 €.

Activités géométriques

exercice 1

1. On trace le segment [BC] de longueur 7 cm. On trace une demi-droite [Cx) telle que $\widehat{BCx}$ = 37° et une demi-droite [By) telle que $\widehat{CBy}$ = 53°. Ces deux demi-droites se coupent en A.

2. Prouvons ABC est un triangle rectangle :
La somme des mesures des angles du triangle ABC est égale à 180°. Donc :
$\widehat{\text{CAB}} = 180 - (\widehat{\text{BCA}} + \widehat{\text{CBA}})\\ \widehat{\text{CAB}} = 180 - (37 + 53)\\ \widehat{\text{CAB}} = 180 - 90\\ \widehat{\text{CAB}} = 90^o$
Comme l'angle $\widehat{\text{CAB}}$ mesure 90°, alors le triangle ABC est rectangle en A.

3. Calculons la longueur CA :
Dans le triangle ABC rectangle en A, on a :
$\cos \widehat{\text{BCA}} = \dfrac{\text{CA}}{\text{BC}}$
Donc : CA = BC × cos $\widehat{\text{BCA}}$ = 7 × cos 37
D'où : CA $\small \approx$ 5,6 cm

exercice 2

2. Longueur BC :
BC² = (x_C - x_B)² + (y_C - yB)²
BC² = (-1 - 3)² + (-4 - 2)²
BC² = (-4)² + (-6)²
BC² = 16 + 36
BC² = 52
D'où : BC = $\sqrt{52}$ cm (car BC est une longueur)
Soit BC $\small \approx$ 7,2 cm.

3. Montrons que le triangle ABC est rectangle en B :
AC² = $\left(\sqrt{65}\right)^2$ = 65
et AB² + BC² = $\left(\sqrt{13}\right)^2 + \left(\sqrt{52}\right)^2$ = 13 + 52 = 65.
Comme AC² = AB² + BC², alors d'après la réciproque du théorème de Pythagore, le triangle ABC est rectangle en B.

4. cf graphique

5. Montrons que le quadrilatère ABCE est un rectangle :
Comme le point E est l'image du point C dans la translation de vecteur $\overrightarrow{BA}$ , alors $\overrightarrow{CE} = \overrightarrow{BA}$ .
Le quadrilatère ABCE est donc un parallélogramme.
De plus, on sait que le triangle ABC est rectangle en B, donc l'angle $\widehat{\text{ABC}}$ est droit.
On en conclut que le quadrilatère ABCE est un rectangle.

exercice 3

1. Volume du grand cône :
$\dfrac13 \pi \text{R}^2 \times h = \dfrac13 \pi \times R^2 \times \text{SA}\\ \hspace{50pt} = \dfrac13 \pi \times 7^2 \times 12\\ \hspace{50pt} = \dfrac{7^2 \times 12}{3}\pi\\ \hspace{50pt} = \dfrac{49 \times 4 \times 3}{3}\pi$
D'où : le volume du grand cône est de 196 $\small \pi$ cm³.

2. Le coefficient permettant de passer du grand cône au petit cône est $\left(\dfrac{\text{SA'}}{\text{SA}}\right)^3 = \left(\dfrac{3}{12}\right)^3 = \left(\dfrac14\right)^3 = \dfrac{1}{64}$

3. Volume du petit cône :
D'après la question 2, le volume du petit cône est égal à $196\pi \times \dfrac{1}{64} = \dfrac{49\pi}{16}$ cm³, soit environ 10 cm³.

Problème

1. Quand x = 4, c'est-à-dire après avoir riylé quatre heures, Monsieur Martin est à 60 × 4 = 240 km de Petitville.
Quand x = 10, c'est-à-dire après avoir roulé dix heures, Monsieur Martin est à 60 × 10 = 600 km de Petitville.

2. Quand x = 4, Monsieur Gaspard se situe à 900 - 90 × 4 = 900 - 360 = 540 km de Petitville.
Quand x = 10, Monsieur Gaspard se situe à 900 - 90 × 10 = 0 km de Petitville. Il est donc arrivé à Petitville.

3. Exprimons en fonction de x la distance qui sépare Monsieur Martin de Petitville :
60x

Exprimons en fonction de x la distance qui sépare Monsieur Gaspard de Petitville :
900 - 90x

4. Complétons les tableaux :

x	0	1	4	10		x	0	1	4	10
f(x)	0	60	240	600		g(x)	900	810	540	0

5. f est une fonction linéaire. Sa représentation graphique est une droite passant par l'origine.
De plus, f(10) = 600, donc la droite passe par le point de coordonnées (10; 600).

g est une fonction affine. Sa représentation graphique est une droite ne passant pas par l'origine. De plus, g(0) = 900 et g(10) = 0. La droite passe donc par les points de coordonnées (0; 900) et (10; 0).

6. a) Graphiquement (en rouge sur le dessin), on détermine que les deux personnes se croisent au bout de six heures.

6. b) On lit qu'au bout de six heures, les deux personnes se situent à 360 km de Petitville.

7. a) Retrouvons le résultat de la question 6. a) :
Les deux personnes se croisent lorsqu'elles ont parcouru le même nombre de kilomètres, c'est-à-dire lorsque f(x) = g(x). Résolvons cette équation :
60x = 900 - 90x
60x + 90x = 900
150x = 900
x = $\dfrac{900}{150}$
x = 6
Les deux personnes se croisent au bout de six heures.

7. b Retrouvons le résultat de la question 6. b) :
Au bout de six heures, Monsieur Martin a parcouru f(6) = 60 × 6 = 360 km.
Au bout de six heures, les deux personnes se situent à 360 km de Petitville.

Publié par Tom_Pascal le 09-02-2006

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