Fiche de mathématiques
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Brevet Polynésie 2005

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La rédaction et la présentation seront notées sur 4 points.
L'emploi des calculatrices est autorisée.
Coefficient : 2     Durée : 2 heures


12 points

Activités numériques


Le détail des calculs devra apparaître sur la copie.

exercice 1

Calculer A et B en donnant le résultat sous la forme d'une fraction irréductible.
\text{A} = \dfrac{\frac{9}{2}}{3} \hspace{50pt} \text{B}  = \dfrac{4}{5} - \dfrac{8}{3} \times \dfrac{2}{5}





exercice 2

Calculer C puis donner le résultat sous forme scientifique.
\text{C} = \dfrac{4 \times 10^{-2} \times 30 \times 10^5}{6 \times 10^{-1}}





exercice 3

On considère l'expression D = 7\sqrt{3}- 3\sqrt{48}.
Ecrire D sous la forme a\sqrt{3}a est un nombre entier relatif.




exercice 4

On considère l'expression E = (x -2)² + (x - 2)(3x - 1).

1. Développer et réduire E.

2. Factoriser E.

3. Résoudre l'équation (x - 2)(4x - 3) = 0.




exercice 5

1. Résoudre le système ci-dessous :
\left\lbrace \begin{array}{l c l} x + 3y &=& 2\,250\\ 2x + y &=& 2\,750\\ \end{array}

2. Pour l'achat d'un tee-shirt et de trois casquettes, André a payé 2 250 F.
Pour l'achat de deux tee-shirts et d'une casquette, Maeva a payé 2 750 F.
Déterminer le prix d'un tee-shirt et d'une casquette.


12 points

Activités géométriques

exercice 1

L'unité de longueur est le centimètre.
\mathcal{C} est un cercle de 2,6 cm de rayon. Le segment [MN] est un diamètre de ce cercle. P est un point du cercle tel que MP = 2.

1. Construire la figure.

2. Démontrer que le triangle MNP est rectangle en P.

3. Calculer la longueur PN.

4. a) Calculer le cosinus de l'angle \widehat{\text{NMP}}. Arrondir le résultat au millième.
    b) En déduire la mesure de l'angle \widehat{\text{NMP}} arrondie au degré.




exercice 2

L'unité de longueur est le centimètre.
ABC est triangle tel que AB = 4,5 et AC = 6 et BC = 7,5.

1. Démontrer que ABC est un triangle rectangle.

2. Construire le triangle et placer le point D sur [AC] tel que AD = 2.
Tracer la droite passant par D et parallèle à (AB). Elle coupe (BC) en E.
Placer le point E.

3. Démontrer que CDE est un triangle rectangle en D.

4. Calculer DE.


12 points

Problème

Partie A

Le tableau suivant représente la hauteur des précipitations relevées mensuellement sur un atoll des Tuamotu en 2004.
mois jan. fév. mars avr. mai juin juil. aoû. sep. oct. nov. déc.
précipitations em mm 200 175 120 0 95 110 110 90 85 100 140 155


1. Quel est le mois le plus sec ?

2. Calculer la hauteur d'eau tombée sur l'atoll en 2004.

3. Calculer la hauteur d'eau moyenne tombée en un mois.

Partie B

Un habitant de cet atoll utilise la toiture de sa maison pour recueillir l'eau de pluie et la stocker dans un réservoir. Vue du ciel, cette toiture a la forme d'un rectangle de 6 m par 10 m.

1. Calculer l'aire de ce rectangle en m².
On admet que le volume d'eau recueillie sur cette toiture est obtenu à l'aide de la formule suivante : V = A × hA est l'aire de la base (en m²) et h est la hauteur d'eau tombée (en m).
Calculer le volume d'eau (en m³) tombée sur cette toiture pendant le mois de mars.

2. Cette eau est stockée dans une cuve pouvant contenir toute l'eau des précipitations.
On rappelle que 1 m³ = 1 000 litres.
La consommation de cet habitant est de 300 litres d'eau par jour.
Calculer sa consommation pour le mois de mars (en m³).

3. À la fin du mois de février, il restait 6,9 m³ d'eau dans la cuve.
Quel volume d'eau reste-t-il à la fin du mois de mars ?

Partie C

1. On considère le mois d'avril 2004.
Soit x le nombre de jours écoulés depuis le début du mois. On admet que le volume d'eau restant dans la cuve pour x jours écoulés est donné par y = 4,8 - 0,3x.
Calculer le volume restant dans la cuve à la fin du 7e jour.

2. Soit g la fonction affine définie par g(x)= 4,8 - 0,3x.
Construire la représentation graphique de la fonction g sur la feuille de papier millimétré mise à votre disposition (prendre 1 cm pour 2 jours en abscisse et 1 cm pour 0,4 m³ en ordonnée).

3. Cet habitant a continué à consommer 300 litres d'eau par jour en avril.
Déterminer par lecture graphique le volume d'eau (en m³) qui reste dans la cuve au bout du 10e jour. (Faire apparaître la réponse sur le graphique).



Activités numériques

exercice 1

Calculons A :
\text{A} = \dfrac{\frac{9}{2}}{3}\\ \text{A} = \dfrac{9}{2} \times \dfrac{1}{3}\\ \text{A} =\dfrac{3 \times 3}{2 \times 3}\\ \text{A} =\dfrac{3}{2}

Calculons B :
\text{B} = \dfrac{4}{5} - \dfrac{8}{3} \times \dfrac{2}{5}\\ \text{B} = \dfrac{4}{5} - \dfrac{8 \times 2}{3 \times 5}\\ \text{B} = \dfrac{4}{5} - \dfrac{16}{15}\\ \text{B} = \dfrac{4 \times 3}{5 \times 3} - \dfrac{16}{15}\\ \text{B} = \dfrac{12}{15} - \dfrac{16}{15}\\ \text{B} = \dfrac{12 - 16}{15}\\ \text{B} = -\dfrac{4}{15}




exercice 2

Calculons C :
\text{C} = \dfrac{4 \times 10^{-2} \times 30 \times 10^5}{6 \times 10^{-1}}\\ \text{C} = \dfrac{4 \times10^{-2} \times 5 \times 6 \times 10^5}{6 \times 10^{-1}}\\ \text{C} = \dfrac{4 \times10^{-2} \times 5 \times 10^5}{10^{-1}}\\ \text{C} = 4 \times 5 \times 10^{-2 + 5 - (-1)}\\ \text{C} = 20 \times 10^4\\ \text{C} = 2 \times 10 \times 10^4\\ \text{C} = 2 \times 10^{1 + 4}\\ \text{C} = 2 \times 10^5




exercice 3

Écrivons D sous la forme a\sqrt{3} :
\text{D} = 7\sqrt{3} - 3\sqrt{48}\\ \text{D} = 7\sqrt{3} - 3\sqrt{16 \times 3}\\ \text{D} = 7\sqrt{3} - 3\sqrt{4^2 \times 3}\\ \text{D} = 7\sqrt{3} - 3 \times 4 \sqrt{3}\\ \text{D} = 7\sqrt{3} - 12\sqrt{3}\\ \text{D} = -5\sqrt{3}




exercice 4

1. Développons et réduisons l'expression E :
E = (x - 2)^2 + (x - 2)(3x - 1)\\ E = x^2 - 4x + 4 + (3x^2 - x - 6x + 2)\\ E = x^2 - 4x + 4 + 3x^2 - 7x + 2\\ E = 4x^2 - 11x + 6

2. Factorisons l'expression E :
E = (x - 2)^2 + (x - 2)(3x - 1)\\ E = (x - 2)[(x - 2) + (3x - 1)]\\ E = (x - 2)(x - 2 + 3x - 1)\\ E = (x - 2)(4x - 3)

3. Résolvons l'équation (x - 2)(4x - 3) = 0 :
Un produit de facteurs est nul si l'un au moins de ces facteurs est nul, et réciproquement.
\begin{array}{lcccl} x - 2 = 0 & \hspace{20pt} & \text{ ou } & 4 x - 3 = 0 \\ x = 2 &&& 4x = 3 \\ &&& x = \dfrac{3}{4} \\ \end{array}
Les solutions de l'équation sont \dfrac{3}{4} et 2.




exercice 5

1. Résolvons le système :
par combinaison :
\left\lbrace \begin{array}{l c l} x + 3y &=& 2\,250\\ 2x + y &=& 2\,750\\ \end{array}
On multiplie la première équation par 2 :
\left\lbrace \begin{array}{l c l} 2x + 6y &=& 4\,500\\ 2x + y &=& 2\,750\\ \end{array}
On soustrait les deux équations membre à membre :
2x - 2x + 6y - y = 4 500 - 2 750
5y = 1 750
y = \dfrac{1\,750}{5}
y = 350

On remplace y par 350 dans la première équation :
x + 3 × 350 = 2 250
x + 1 050 = 2 250
x = 2 250 - 1 050
x = 1 200
Le couple (1 200; 350) est solution du système.

par substitution :
\left\lbrace \begin{array}{l c l} x + 3y &=& 2\,250\\ 2x + y &=& 2\,750\\ \end{array}
D'après la première équation, on peut écrire : x = 2 250 - 3y.
On remplace x par cette expression dans la deuxième équation :
2(2 250 - 3y) + y = 2 750
4 500 - 6y + y = 2 750
-5y = 2 750 - 4 500
-5y = -1 750
y = \dfrac{-1\,750}{-5}
y = 350
Donc :
x = 2 250 - 3 × 350
x = 2 250 - 1 050
x = 1 200
Le couple (1 200; 350) est solution du système.

2. Déterminons le prix d'un tee-shirt et d'une casquette :
Soit x le prix d'un tee-shirt et soit y le prix d'une casquette.
Pour l'achat d'un tee-shirt et de trois casquettes, André a payé 2 250 F, donc : x + 3y = 2 250
Pour l'achat de deux tee-shirts et d'une casquette, Maeva a payé 2 750 F, donc : 2x + y = 2 750
Le problème se traduit par le système suivant : \left \lbrace \begin{array}{c @{ = } c} x + 3y  &  2\,250 \\ 2x + y  &  2\,750 \\ \end{array} \right.
Ce système a été résolu à la question précédente, le prix d'un tee shirt est donc de 1 200 F et le prix d'une casquette est de 350 F.

remarque : 1 euro correspond à 119,33 francs polynésiens.


Activités géométriques

exercice 1

1.
sujet du brevet 2005 : image 1


2. Démontrons que le triangle MNP est rectangle en P :
P est un point du cercle \mathcal{C} de diamètre [MN].
Donc MNP est un triangle rectangle en P.

3. Calculons la longueur PN :
On sait que MP = 2 cm et que MN = 2 × 2,6 = 5,2 cm.
Dans le triangle PMN rectangle en P, on applique le théorème de Pythagore :
MN² = MP² + PN²
PN² = MN² - MP²
PN² = 5,2² - 2²
PN² = 27,04 - 4
PN² = 23,04
Donc PN = \sqrt{23,04} car PN est une distance.
D'où : PN = 4,8 cm

4. a) Calculons le cosinus de l'angle \widehat{\text{NMP}} :
Dans le triangle MNP rectangle en P, on a :
\cos \widehat{\text{NMP}} = \dfrac{\text{MP}}{\text{MN}}\\ \cos \widehat{\text{NMP}} = \dfrac{2}{5,2}\\ \cos \widehat{\text{NMP}} \approx 0,385

4. b) Mesure de l'angle \widehat{\text{NMP}} :
D'après la question précédente, on en déduit que : \widehat{\text{NMP}} = \cos^{-1} \left( \dfrac{2}{5,2} \right) \approx 67°
L'angle \widehat{\text{NMP}} mesure 67° (valeur arrondie au degré).




exercice 2

1. Démontrons que ABC est un triangle rectangle :
BC² = 7,5² = 56,25
et AB² + AC² = 4,5² + 6² = 20,25 + 36 = 56,25.
Comme BC² = AB² + AC², alors d'après la réciproque du théorème de Pythagore, le triangle ABC est rectangle en A.

2.
sujet du brevet 2005 : image 2


3. Démontrons que CDE est un triangle rectangle en D :
On sait que (DE) est parallèle a (AB) et que (AB) est perpendiculaire à (AC).
Or, si deux droites sont parallèles, alors toute perpendiculaire à l'une est perpendicualire à l'autre.
D'où : (ED) est perpendiculaire à (AC) et donc le triangle CDE est rectangle en D.

4. Calculons DE :
Les droites (CB) et (CA) sont sécantes en C, E est un point de la droite (CB) et D est un point de la droite (CA).
De plus, les droites (ED) et (AB) sont parallèles, alors d'après le théorème de Thalès, on a :
\dfrac{\text{CE}}{\text{BC}} = \dfrac{\text{CD}}{\text{AC}} = \dfrac{\text{DE}}{\text{AB}}
En particulier, \dfrac{\text{CD}}{\text{AC}} = \dfrac{\text{DE}}{\text{AB}}
Or, CD = AC - AD = 6 - 2 = 4 cm. Donc :
\text{DE} = \text{AB} \times \dfrac{\text{CD}}{\text{AC}}\\ \text{DE} = 4,5 \times \dfrac{4}{6}
D'où : DE = 3 cm.


Problème

Partie A

1. Le mois le plus sec est le mois d'avril.

2. Hauteur d'eau tombée sur l'atoll en 2004 :
200 + 175 + 120 + 0 + 95 + 110 + 110 + 90 + 85 + 100 + 140 + 155 = 1 380
Il est tombé 1 380 mm d'eau sur l'atoll en 2004.

3. Hauteur d'eau moyenne tombée en un mois :
\dfrac{200 + 175 + 120 + 0 + 95 + 110 + 110 + 90 + 85 + 100 + 140 + 155}{12} = \dfrac{1\,380}{12} = 115
La hauteur d'eau moyenne tombée en un mois est de 115 mm.

Partie B

1. Aire du rectangle :
L × l = 10 × 6 = 60
L'aire du rectangle est de 60 m².

    Volume d'eau tombée sur la toiture :
La hauteur d'eau tombée en mars est de 0,12 m.
D'où : le volume d'eau tombée sur cette toiture pendant le mois de mars est de 60 × 0,12 = 7,2 m³.

2. Consommation pour le mois de mars :
Le mois de mars compte 31 jours. La consommation de cet habitant au mois de mars est de 300 × 31 = 9 300 litres, soit 9,3 m³.

3. Volume d'eau restant à la fin du mois de mars :
A la fin du mois de mars, il reste dans la cuve : 6,9 + 7,2 - 9,3 = 4,8 m³.

Partie C

1. Le volume d'eau restant dans la cuve après 7 jours écoulés est de : 4,8 - 0,3 × 7 = 2,7 m³.

2. g est une fonction affine, donc la représentation graphqiue de la fonction g est une droite qui ne passe pas par l'origine du repère.
De plus, g(0) = 4,8 - 0,3 × 0 = 4,8    et    g(6) = 4,8 - 0,3 × 6 = 3
La représentation graphique de la fonction g passe par les points de coordonnées (0; 4,8) et (6; 3).
sujet du brevet 2005 : image 3


3. Le volume d'eau restant dans la cuve au bout du 10e jour est de 1,8 m³.
(pointillés rouges sur le graphique)
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