Fiche de mathématiques
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Brevet Groupement Ouest 2005

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Sujet donné dans les académies de Bordeaux, Caen, Clermont-Ferrand, Limoges, Nantes, Orléans-Tours, Poitiers et Rennes.

La rédaction et la présentation seront notées sur 4 points.
L'emploi des calculatrices est autorisée.
Coefficient : 2     Durée : 2 heures


12 points

Activités numériques

exercice 1

1. Calculer A = 2 - \dfrac{5}{2} \div \dfrac{15}{4}.
On donnera le résultat sous forme d'une fraction irréductible.
Toutes les étapes du calcul seront détaillées sur la copie.

2. On considère B = \dfrac{2,5 \times 10^{-3} \times 9 \times 10^5}{15 \times 10^{-4}}.
    a) Calculer B ; le résultat sera donné en écriture décimale.
    b) Écrire B en écriture scientifique.

3. Calculer l'expression C = 2\sqrt{45} + 3\sqrt{20} - 10\sqrt{5}.
On donnera le résultat sous la forme a\sqrt{5}a est un entier relatif.




exercice 2

1. Calculer le PGCD des nombres 675 et 375.

2. Écrire la fraction \dfrac{675}{375} sous forme irréductible.




exercice 3

On considère l'expression suivante : E = (x - 3)² + (x - 3)(x + 3).

1. Développer et réduire E.

2. Factoriser E.

3. Calculer E pour x = 5.

4. Résoudre l'équation x(x - 3) = 0.




exercice 4

Aujourd'hui, Marc a 11 ans et Pierre a 26 ans.
Dans combien d'années l'âge de Pierre sera-t-il le double de celui de Marc ?
La démarche suivie sera détaillée sur la copie.


12 points

Activités géométriques

exercice 1

Dans tout cet exercice, l'unité de longueur est le centimètre.

On considère la figure ci-dessous. Ses dimensions ne sont pas respectées et on ne demande pas de la représenter.
Les droites (AB) et (CD) sont parallèles.
Les points O, B, D sont alignés, ainsi que les points O, A, C.
On donne les mesures suivantes : OA = 8 ; OB = 6 ; OC = 10.
sujet du brevet 2005 : image 1

1. Calculer la longueur BD.
La démarche suivie sera expliquée sur la copie.

2. Dans les questions qui suivent, on suppose que \widehat{\text{OBA}} est droit.
    a) Calculer \cos \widehat{\text{AOB}} puis en déduire une valeur approchée arrondie au degré près de la mesure de l'angle \widehat{\text{AOB}}.
    b) Justifier que le triangle ODC est rectangle.
    c) En utilisant le théorème de Pythagore, donner une valeur approchée, en cm, arrondie au dixième de la longueur CD (on pourra admettre que OD = 7,5).




exercice 2

On considère un repère orthonormal (O, I, J) (unité : le centimètre).

1. Placer les points A(-2; 3) et C(3; 2) dans le repère précédent.

2. Calculer les distances OA, OC et AC. On donnera les valeurs exactes de ces distances.

3. Montrer que le triangle OAC est un triangle rectangle isocèle en O.

4. Construire le point B tel que \overrightarrow{\text{OB}} = \overrightarrow{\text{OA}} + \overrightarrow{\text{OC}}.

5. En déduire la nature du quadrilatère OABC.

6. Déterminer les coordonnées du point M, centre de symétrie du quadrilatère OABC.


12 points

Problème

Les parties A et B sont indépendantes.

Partie A


Dans une bibliothèque ouverte du mardi au samedi inclus, on a comptabilisé, jour par jour, le nombre de livres prêtés au cours d'une semaine et on a obtenu les résultats consignés dans le tableau suivant :
  mardi mercredi jeudi vendredi samedi
nombre de livres prêtés 61 121 42 59 82


1. a) Calculer le nombre total de livres prêtés sur la semaine entière.
    b) Calculer le nombre moyen de livres prêtés, par jour, durant cette semaine de cinq jours.

2. a) Calculer le pourcentage de livres prêtés le mercredi par rapport à la semaine entière.
Arrondir le résultat à l'unité.
    b) Le bibliothécaire dit : « le mercredi, nous prêtons le quart des livres de la semaine ».
A-t-il raison ? Expliquer.

Partie B

Sur une année, on propose au public deux types de tarifs pour l'emprunt de livres dans une bibliothèque :
le tarif plein : 0,90 euro par livre emprunté.
le tarif « abonné » : cotisation annuelle de 10 euros à laquelle s'ajoute 0,50 euro par livre emprunté.

1. Reproduire et compléter le tableau suivant :
nombre de livres empruntés pendant l'année 10 20 50 100
prix payé au plein tarif (en euros)   18    
prix payé au tarif "abonné" (en euros) 15      


2. Quel est le prix payé, en euros, pour l'emprunt de 35 livres :
    a) Avec le tarif plein ? Justifier.
    b) Avec le tarif « abonné » ? Justifier.

3. On note :
x le nombre de livres empruntés sur l'année;
P(x) le prix payé pour l'emprunt de x livres au tarif plein;
A(x) le prix payé pour l'emprunt de x livres au tarif «abonné».

Exprimer P(x) et A(x) en fonction de x.

4. a) Résoudre l'équation : 0,9x = 0,5x + 10.
    b) Que représente la solution trouvée pour une personne empruntant des livres à la bibliothèque ?



Activités numériques

exercice 1

1. Calcul de l'expression A :
\text{A} = 2 - \dfrac{5}{2} \div \dfrac{15}{4}\\ \text{A} = 2 - \dfrac{5}{2} \times \dfrac{4}{15}\\ \text{A} = 2 - \dfrac{5 \times 2 \times 2}{2 \times 5 \times 3}\\ \text{A} = \dfrac{6}{3} - \dfrac{2}{3}\\ \text{A} = \dfrac{4}{3}

2. a) Calcul de B :
\text{B} = \dfrac{2,5 \times 10^{-3} \times 9 \times 10^5}{15 \times 10^{-4}}\\ \text{B} = \dfrac{2,5 \times 9 \times 10^{-3} \times 10^5}{15 \times 10^{-4}}\\ \text{B} = \dfrac{2,5 \times 9}{15} \times 10^{-3 + 5 - (-4)}\\ \text{B} = \dfrac{2,5 \times 9 \times 10^6}{15}\\ \text{B} = \dfrac{2,5 \times 9 \times 10 \times 10^5}{15}\\ \text{B} = \dfrac{25 \times 9 \times 10^5}{15}\\ \text{B} = \dfrac{5 \times 5 \times 3 \times 3 \times 10^5}{5 \times 3}\\ \text{B} = 5 \times 3 \times 10^5\\ \text{B} = 15 \times 10^5\\ \text{B} = 1 500 000

2. b) Ecrivons B en écriture scientifique :
B = 1,5 × 106

3. Calculons l'expression C :
\text{C} = 2\sqrt{45} + 3\sqrt{20} - 10\sqrt{5}\\ \text{C} = 2\sqrt{9 \times 5} + 3\sqrt{4 \times 5} - 10\sqrt{5}\\ \text{C} = 2 \times 3\sqrt{5} + 3 \times 2\sqrt{5} - 10\sqrt{5}\\ \text{C} = 6\sqrt{5} + 6\sqrt{5} - 10\sqrt{5}\\ \text{C} = 2\sqrt{5}




exercice 2

1. Calculons le PGCD des nombres 675 et 375 :
Par la méthode des soustractions successives :
PGCD(675; 375) = PGCD(375; 300)
PGCD(375; 300) = PGCD(300; 75)
PGCD(300; 75) = PGCD(225; 75)
PGCD(225; 75) = PGCD(150; 75)
PGCD(150; 75) = PGCD(75; 75)
PGCD(75; 75) = 75

En utilisant l'algorithme d'Euclide :
675 = 375 × 1 + 300
375 = 300 × 1 + 75
300 = 75 × 4 + 0
Le dernier reste non nul est 75, donc PGCD(675; 375) = 75.

2. Écrivons la fraction \dfrac{675}{375} sous forme irréductible :
\dfrac{675}{375} = \dfrac{75 \times 9}{75 \times 5} = \dfrac95




exercice 3

1. Développons et réduisons l'expression E :
\text{E} = (x - 3)^2 + (x - 3)(x + 3)\\ \text{E} = x^2 - 2 \times x \times 3 + 3^2 + x^2 - 3^2\\ \text{E} = x^2 - 6x + 9 + x^2 - 9\\ \text{E} = 2x^2 - 6x

2. Factorisons E :
\text{E} = (x - 3)^2 + (x - 3)(x + 3)\\ \text{E} = (x - 3)[(x - 3) + (x + 3)]\\ \text{E} = (x - 3)(x - 3 + x + 3)\\ \text{E} = (x - 3)(2x)\\ \text{E} = 2x(x - 3)

ou
\text{E} = 2x^2 - 6x\\ \text{E} = 2x(x - 3)

3. Calculons E pour x = 5 :
\text{E} = 2x(x - 3)
Pour x = 5,
E = 2 × 5 × (5 - 3)
E = 10 × 2
E = 20

4. Résolvons l'équation x(x - 3) = 0 :
Un produit de facteurs est nul si l'un au moins de ces facteurs est nul, et réciproquement.
\begin{array}{lcl} x = 0&\hspace{25pt} \text{ou} \hspace{25pt}&x - 3 = 0\\ &\hspace{25pt} \text{ou} \hspace{25pt}&x= 3\\ \end{array}
Les solutions de l'équation sont 0 et 3.




exercice 4

Soit x le nombre d'années cherché.

Dans x années, Pierre aura (26 + x) ans et Marc aura (11 + x) ans.
L'âge de Pierre est le double de celui de Marc signifie que 26 + x = 2(11 + x)

Résolvons l'équation :
26 + x = 2(11 + x)\\ 26 + x = 22 + 2x\\ x - 2x = 22 - 26\\ -x = -4\\ x = 4

Dans quatre ans, l'âge de Pierre sera le double de celui de Marc.


Activités géométriques

exercice 1

1. Calculons la longueur OD :
Les droites (BD) et (AC) sont sécantes en O, les droites (AB) et (CD) sont parallèles. D'après le thérème de Thalès, on a :
\dfrac{\text{OB}}{\text{OD}} = \dfrac{\text{OA}}{\text{OC}} = \dfrac{\text{BA}}{\text{DC}}}
De \dfrac{\text{OB}}{\text{OD}} = \dfrac{\text{OA}}{\text{OC}}, on en déduit que : \text{OD} = \dfrac{\text{OB} \times \text{OC}}{\text{OA}}
Donc : \text{OD} = \dfrac{6 \times 10}{8} = 7,5 \text{ cm}
    Déduisons-en la longueur BD :
Or, B appartient au segment [OD], donc : BD = OD - OB = 7,5 - 6 = 1,5
La longueur BD est de 1,5 cm.

2. a) Calculons \cos \widehat{\text{AOB}} :
Dans le triangle OBA rectangle en B, on a :
\cos \widehat{\text{AOB}} = \dfrac{\text{OB}}{\text{OA}} = \dfrac{6}{8} = \dfrac{3}{4}
Donc : \widehat{\text{AOB}} = \cos^{-1} \left(\dfrac34\right)
D'où : \widehat{\text{AOB}} \approx 41
L'angle \widehat{\text{AOB}} mesure environ 41°.

2. b) Justifions que le triangle ODC est rectangle :
On sait que les droites (AB) et (DC) sont parallèles. \widehat{\text{OBA}} est un angle droit, donc les droites (OD) et (AB) sont perpendiculaires.
On en déduit que les droites (OD) et (DC) sont perpendiculaires.
D'où : ODC est un triangle rectangle en D.

2. c) Déterminons la longueur CD :
Dans le triangle ODC rectangle en D, on applique le théorème de Pythagore :
OC² = OD² + DC², donc :
DC² = OC² - OD²
DC² = 10² - 7,5²
DC² = 100 - 56,25
DC² = 43,75
DC = \sqrt{43,75}
D'où : la longueur CD est environ égale à 6,6 cm (valeur arrondie au dixième).




exercice 2

1. Plaçons les points A et C dans le repère orthonormal :
sujet du brevet 2005 : image 2


2. Calculons les distances OA, OC et AC :
Déterminons OA :
\text{OA}^2 = \left(x_{\text{A}} - x_{\text{O}}\right)^2 + \left(y_{\text{A}} - y_{\text{O}}\right)^2 = (-2 - 0)^2 + (3 - 0)^2 = 4 + 9 = 13
Donc : \text{OA} = \sqrt{13} \text{ cm}
Déterminons OC :
\text{OC}^2 = \left(x_{\text{C}} - x_{\text{O}}\right)^2 + \left(y_{\text{C}} - y_{\text{O}}\right)^2 = (3 - 0)^2 + (2 - 0)^2 = 9 + 4 = 13
Donc : \text{OC} = \sqrt{13} \text{ cm}
Déterminons AC :
\text{AC}^2 = \left(x_{\text{C}} - x_{\text{A}}\right)^2 + \left(y_{\text{C}} - y_{\text{A}}\right)^2 = (3 - (-2))^2 + (2 - 3)^2 = 25 + 1 = 26
Donc : \text{AC} = \sqrt{26} \text{ cm}

3. Montrons que le triangle OAC est un triangle rectangle isocèle en O :
On a montré que \text{OA} = \sqrt{13} \text{ cm} et que \text{OC} = \sqrt{13} \text{ cm}, donc OA = OC. Le triangle OAC est isocèle en O.
On a : OA² + OC² = 13 + 13 = 26     et     AC² = 26, donc OA² + OC² = AC².
D'après la réciproque du théorème de Pythagore, le triangle OAC est rectangle en O.
D'où : OAC est un triangle rectangle et isocèle en O.

4. Construisons le point B tel que \overrightarrow{\text{OB}} = \overrightarrow{\text{OA}} + \overrightarrow{\text{OC}} :
cf graphique

5. Déterminons la nature du quadrilatère OABC :
De \overrightarrow{\text{OB}} = \overrightarrow{\text{OA}} + \overrightarrow{\text{OC}}, on en déduit, d'après la règle du parallélogramme que le quadrilatère OABC est un parallélogramme.
De plus, on a vu que OAC est un triangle rectangle en O, donc \widehat{\text{AOC}} est un angle droit. OABC est donc un rectangle.
De plus, on sait que OAC est un triangle isocèle en O, donc OA = OC. Le quadrilatère OABC est donc un carré.

6. Déterminons les coordonnées du point M :
M est le centre de symétrie du carré OABC, c'est donc le point d'intersection de ses diagonales. Or, dans un carré, les diagonales se coupent en leur milieu. On en déduit que M est le milieu de la diagonale [AC]. Déterminons ses coordonnées :
x_{\text{M}} = \dfrac{x_{\text{A}} + x_{\text{C}}}{2} = \dfrac{-2 + 3}{2} = \dfrac12 et y_{\text{M}} = \dfrac{y_{\text{A}} + y_{\text{C}}}{2} = \dfrac{3+2}{2} = \dfrac52
D'où : le point M a pour coordonnées \left(\dfrac12 ; \dfrac52\right)


Problème

Partie A

1. a) Calculons le nombre total de livres prêtés sur la semaine entière :
61 + 121 + 42 + 59 + 82
= 182 + 42 + 59 + 82
= 224 + 59 + 82
= 283 + 82
= 365
D'où : le nombre total de livres prêtés cette semaine est de 365.

1. b) Calculons le nombre moyen de livres prêtés, par jour, durant cette semaine :
La semaine étant composée de cinq jours, le nombre moyen de livres prêtés par jour est de \dfrac{365}{5} = 73.

2. a) Calculons le pourcentage de livres prêtés le mercredi par rapport à la semaine entière :
Le mercredi, 121 livres sont prêtés sur un total de 365 durant toute la semaine.
Cela représente un pourcentage de : \dfrac{121}{365} \times 100 \approx 33%.

2. b) Le bibliothécaire se trompe car 121 représente environ le tiers du nombre total de livres : 33%.

Partie B

1. Complétons le tableau :
nombre de livres empruntés pendant l'année 10 20 50 100
prix payé au plein tarif (en euros) 9 18 45 90
prix payé au tarif "abonné" (en euros) 15 20 35 60


2. Déterminons le prix payé pour l'emprunt de 35 livres :
    a) au tarif plein :
La personne doit payer 0,90 euro par livre emprunté. Elle en emprunte 35, elle devra donc payer : 0,90 × 35 = 31,50 €.

    b) au tarif abonné :
La personne devra payer sa cotisation annuelle de 10 euros puis elle paiera 0,50 euro par livre emprunté. Elle devra donc payer : 10 + 0,50 × 35 = 27,5 €.

3. La personne doit payer 0,90 euro par livre emprunté. Elle en emprunte x, elle devra donc payer : P(x) = 0,9x
    La personne devra payer sa cotisation annuelle de 10 euros puis elle paiera 0,50 euro par livre emprunté. Elle en emprunte x. Elle paiera donc : A(x) = 0,5x + 10

4. a) Résolvons l'équation proposée :
0,9x = 0,5x + 10\\ 0,9x - 0,5x = 10\\ 0,4x = 10\\ x = \dfrac{10}{0,4}\\ x = 25
La solution de l'équation est 25.

4. b) La solution x = 25 trouvée représente le nombre de livres empruntés en un an à partir duquel il est plus avantageux de s'abonner à la bibliothèque.
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