Fiche de mathématiques

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Brevet Groupement Sud 2005

Sujet donné dans les académies de Aix-Marseille, Corse, Montpellier, Nice et Toulouse.

La rédaction et la présentation seront notées sur 4 points.
L'emploi des calculatrices est autorisée.
Coefficient : 2 Durée : 2 heures

12 points

Activités numériques

exercice 1

Dans cet exercice, tous les calculs devront être détaillés.

1. Calculer l'expression : A = $\dfrac{13}{3} - \dfrac{4}{3} \times \dfrac{5}{2}$ (donner le résultat sous sa forme la plus simple).

2. Donner l'écriture scientifique du nombre B tel que : B = $\dfrac{7 \times 10^{15} \times 8 \times 10^{-8}}{5 \times 10^{-4}}$

3. Écrire sous la forme $a\sqrt{7}$ (où a est un entier) le nombre C tel que : C = $4\sqrt{7} - 8\sqrt{28}+ \sqrt{700}$ .

4. Développer et simplifier : $\left(4\sqrt{5} + 2\right)^2$ .

exercice 2

Voici l'histogramme des notes d'un contrôle noté sur 5 pour une classe de 25 élèves.

1. Reproduire et remplir le tableau des notes suivant.

Note	0	1	2	3	4	5
Effectif
Effectif cumulé croissant

2. Calculer la moyenne des notes de la classe.

3. Quelle est la médiane des notes de la classe ?

4. Calculer la fréquence des notes inférieures ou égales à 3 points sur 5.

exercice 3

Répondre aux questions suivantes. (Les calculs pourront être totalement faits à la calculatrice : on ne demande pas d'étapes intermédiaires ni de justification).

a) Donner un arrondi au centième du nombre A tel que : A = $\dfrac{831 - 532}{84}$ .
b) Convertir 3,7 heures en heures et minutes.
c) Donner un arrondi au millième du nombre B tel que : B = $\dfrac{\dfrac{53}{51} - \dfrac{32}{85}}{\dfrac{63}{34}}$ .
d) Calculer à 0,01 près C = $\sqrt{\dfrac{83 + 167}{158}}$ .

exercice 4

1. Trouver le PGDC de 6 209 et 4 435 en détaillant la méthode.

2. En utilisant le résultat de la question précédente, expliquer pourquoi la fraction $\dfrac{4435}{6209}$ n'est pas irréductible.

3. Donner la fraction irréductible égale à $\dfrac{4435}{6209}$ .

12 points

Activités géométriques

exercice 1

ABCDEFGH est un parallélépipède rectangle. On donne AE = 3 m; AD = 4 m; AB = 6 m.

1. a) Que peut-on dire des droites (AE) et (AB) ? Le justifier.
b) Les droites (EH) et (AB) sont-elles sécantes ?

2. a) Calculer EG. On donnera la valeur exacte.
b) En considérant le triangle EGC rectangle en G, calculer la valeur exacte de la longueur de la diagonale [EC] de ce parallélépipède rectangle.

3. Montrer que le volume de ABCDEFGH est égal à 72 m³.

4. Montrer que l'aire totale de ABCDEFGH est égale à 108 m².

exercice 2

Sur le dessin ci-dessous, les droites (AB) et (CD) sont parallèles, les points A, C, O, E sont alignés ainsi que les points B, D, O et F. (On ne demande pas de faire le dessin).
De plus, on donne les longueurs suivantes :
CO = 3 cm, AO = 3,5 cm, OB = 4,9 cm, CD = 1,8 cm, OF = 2,8 cm et OE = 2 cm.

1. Calculer (en justifiant) OD et AB.

2. Prouver que les droites (EF) et (AB) sont parallèles.

exercice 3

Soit ABC un triangle tel que AB = 4,2 cm, BC = 5,6 cm, AC = 7 cm.

1. Faire une figure en vraie grandeur.

2. Prouver que ABC est rectangle en B.

3. Calculer le périmètre et l'aire de ABC.

12 points

Problème

On dispose d'un séjour rectangulaire dans lequel on veut réaliser un petit cagibi triangulaire. Pour cela, on veut installer une cloison.

Voici ci-dessus, une représentation de la pièce.
La partie (2) est le cagibi et la partie (1) représente le séjour après la création du cagibi. La cloison a été dessinée en pointillés.

Dans l'exercice, on considérera que la cloison a une épaisseur nulle.

Les trois parties sont indépendantes.

Partie 1

On considère que x = 3 m.

1. Quelle est la longueur de la cloison (en pointillé) ?

2. Calculer la valeur (à 1° près) de l'angle $\widehat{\text{HDC}}$ .

3. Calculer la valeur (à 1° près) de l'angle $\widehat{\text{DHB}}$ .

Partie 2

1. a) Exprimer la surface au sol du cagibi (2) en fonction de x, sous la forme f(x) = ...
    b) Exprimer la surface au sol du séjour (1) en fonction de x, sous la forme g(x) = ...

2. On admet que f(x) = 2x et que g(x) = 48 - 2x.
    a) Quelle est la nature de la fonction f ? Quelle est la nature de la fonction g ?
    b) Tracer dans un repère (abscisse : 1 cm pour 0,5 unités et en ordonnées, 1 cm pour 5 unités) les représentations graphiques des fonctions f et g pour x compris entre 0 et 10.

3. On veut que le séjour (1) ait une surface minimale de 35 m².
    a) Lire sur le graphique la valeur maximale de x pour que cette condition soit respectée.
    b) Écrire une inéquation qui traduise que la surface du séjour doit être supérieure ou égale à 35 m².
    c) Résoudre cette inéquation.

Partie 3

On réalise une maquette de cette pièce, avant la création du cagibi, à l'échelle 1/200.

1. Rappeler ce que signifie « échelle 1/200 » ?

2. Quelle sera, sur la maquette, la longueur du mur de 12 m ?

3. La surface réelle du séjour est de 48 m². Quelle est la surface du sol du séjour dans la maquette (en cm²) ?

4. Le volume du séjour de la maquette est de 13,125 cm³. Quel est le volume réel du séjour (en cm³ puis en m³) ?

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Activités numériques

exercice 1

1. Calcul de l'expression A :
$\text{A} = \dfrac{13}{3} - \dfrac{4}{3} \times \dfrac{5}{2}\\ \text{A} = \dfrac{13}{3} - \dfrac{2 \times 2 \times 5}{3 \times 2}\\ \text{A} = \dfrac{13}{3} - \dfrac{10}{3}\\ \text{A} = \dfrac{3}{3}\\ \text{A} = 1$

2. Écriture scientifique du nombre B :
$\text{B} = \dfrac{7 \times 10^{15} \times 8 \times 10^{-8}}{5 \times 10^{-4}}\\ \text{B} = \dfrac{7 \times 8 \times 10^{15} \times 10^{-8}}{5 \times 10^{-4}}\\ \text{B} = \dfrac{56 \times 10^{15 - 8 + 4}}{5}\\ \text{B} = \dfrac{56}{5}\times 10^{11}\\ \text{B} = 11,2 \times 10^{11}\\ \text{B} = 1,12 \times 10^{12}$

3. Écrivons le nombre C sous la forme a $\sqrt{7}$
$\text{C} = 4\sqrt{7} - 8\sqrt{28}+ \sqrt{700}\\ \text{C} = 4\sqrt{7} - 8\sqrt{4 \times 7}+ \sqrt{100 \times 7}\\ \text{C} = 4\sqrt{7} - 8 \times 2\sqrt{7}+ 10\sqrt{7}\\ \text{C} = 4\sqrt{7} - 16\sqrt{7}+ 10\sqrt{7}\\ \text{C} = -2\sqrt{7}$

4. Développons et simplifions :
$\left(4\sqrt{5} + 2\right)^2 = \left(4\sqrt{5}\right)^2 + 2 \times 4\sqrt{5} \times 2 + 2^2\\ \hspace{50pt} = 16 \times 5 + 16\sqrt{5} + 4\\ \hspace{50pt} = 80 + 16\sqrt{5} + 4\\ \hspace{50pt} = 84 + 16\sqrt{5}$

exercice 2

Note	0	1	2	3	4	5
Effectif	1	2	4	3	7	8
Effectif cumulé croissant	1	3	7	10	17	25

2. Moyenne des notes de la classe :
$\dfrac{0 \times 1 + 1 \times 2 + 2 \times 4 + 3 \times 3 + 4 \times 7 + 5 \times 8}{1 + 2 + 4 + 3 + 7 + 8} = \dfrac{87}{25} = 3,48$
Les élèves ont en moyenne 3,48 sur 5.

3. La médiane des notes de la classe est 4.

4. La fréquence des notes inférieures ou égales à 3 points sur 5 est $\dfrac{10}{25} = 0,4$ .

exercice 3

a) Donnons un arrondi au centième du nombre A :
$\text{A} = \dfrac{831 - 532}{84} = \dfrac{299}{84}\\ \text{A} \approx 3,56$

b) Convertissons 3,7 heures en heures et minutes :
3,7 h = 3 h + 0,7 h
Or, 0,7 h = 0,7 × 60 min = 42 min
Donc 3,7 h = 3 h 42 min

c) Donnons un arrondi au millième du nombre B :
B = $\dfrac{\dfrac{53}{51} - \dfrac{32}{85}}{\dfrac{63}{34}} = \dfrac{\dfrac{169}{255}}{\dfrac{63}{34}} = \dfrac{338}{945}$
B $\small \approx$ 0,358

d) Calculons à 0,01 près l'expression C :
C = $\sqrt{\dfrac{83 + 167}{158}} = \sqrt{\dfrac{250}{158}} = \sqrt{\dfrac{125}{79}}$
C $\small \approx$ 1,26 à 0,01 près.

exercice 4

1. Trouvons le PGCD de 6 209 et 4 435 :
Par la méthode des soustractions successives :
PGCD(6 209; 4 435) = PGCD(4 435; 1 774)
PGCD(4 435; 1 774) = PGCD(2 661; 1 774)
PGCD(2 661; 1 774) = PGCD(1 774; 887)
PGCD(1 774; 887) = PGCD(887; 887)
PGCD(887; 887) = 887
D'où : PGCD(6 209; 4 435) = 887

En utilisant l'algorithme d'Euclide :
4 435 = 1 774 × 2 + 887
1 774 = 887 × 2 + 0
D'où : PGCD(6 209; 4 435) = 887

2. Comme PGCD(6 209; 4 435) n'est pas égal à 1, alors les nombres 6 209 et 4 435 ne sont pas premiers entre eux. La fraction $\dfrac{4435}{6209}$ n'est donc pas irréductible.

3. On a vu que PGCD(6 209; 4 435) = 887, donc : $\dfrac{4435}{6209} = \dfrac{887 \times 5}{887 \times 7} = \dfrac57$

Activités géométriques

exercice 1

1. a) Comme ABCDEFGH est un parallélépipède rectangle, alors le quadrilatère AEFB est un rectangle.
Les droites (AE) et (AB) sont donc peprpendiculaires.

1. b) Les droites (EH) et (AB) ne sont pas contenues dans un même plan. Elles ne sont donc pas sécantes.

2. a) Calculons EG :
Comme EFGH est un rectangle, alors le triangle EFG est rectangle en F.
Dans le triangle EFG rectangle en F, on applique le théorème de Pythagore :
EG² = EF² + FG²
EG² = 6² + 4²
EG² = 36 + 16
EG² = 52
Donc : EG = $\sqrt{52} = \sqrt{4 \times 13}$
D'où : EG = 2 $\sqrt{13}$ m

2. b) Valeur exacte de la longueur du segment [EC] :
Dans le triangle EGC rectangle en G, on applique le théorème de Pythagore :
EC² = EG² + GC²
EC² = 52 + 3²
EC² = 52 + 9
EC² = 61
D'où : EC = $\sqrt{61}$ m

3. Calculons le volume du parallélépipède rectangle ABCDEFGH :
V_ABCDEFGH = L × l × h
V_ABCDEFGH = AB × AE × AD
V_ABCDEFGH = 6 × 3 × 4
V_ABCDEFGH = 72
D'où : le volume du parallélépipède rectangle ABCDEFGH est égal à 72 m³.

4. Calculons l'aire totale du parallélépipède rectangle ABCDEFGH :
A_ABCDEFGH = 2 × A_ABCD + 2 × A_ABFE + 2 × A_AEHD
A_ABCDEFGH = 2 × AB × AD + 2 × AB × AE + 2 × AE × AD
A_ABCDEFGH = 2 × 6 × 4 + 2 × 6 × 3 + 2 × 3 × 4
A_ABCDEFGH = 48 + 36 + 24
A_ABCDEFGH = 108
D'où : l'aire totale du parallélépipède rectangle ABCDEFGH est égale à 108 m².

exercice 2

1. Calculons OD et AB :
Les droites (OA) et (OB) sont sécantes en O, C est un point de la droite (OA) et D est un point de la droite (OB).
Comme les droites (CD) et (AB) sont parallèles, alors d'après le théorème de Thalès, on a :
$\dfrac{\text{OC}}{\text{OA}} = \dfrac{\text{OD}}{\text{OB}} = \dfrac{\text{CD}}{\text{AB}}\\ \dfrac{3}{3,5} = \dfrac{\text{OD}}{4,9} = \dfrac{1,8}{\text{AB}}$
De l'égalité $\dfrac{3}{3,5} = \dfrac{\text{OD}}{4,9}$ on en déduit que $\text{OD} = \dfrac{3 \times 4,9}{3,5}$
D'où : OD = 4,2 cm

De l'égalité $\dfrac{3}{3,5} = \dfrac{1,8}{\text{AB}}$ on en déduit que $\text{AB} = \dfrac{3,5 \times 1,8}{3}$
D'où : AB = 2,1 cm

2. Prouvons que les droites (EF) et (AB) sont parallèles :
On a d'une part $\dfrac{\text{OF}}{\text{OB}} = \dfrac{2,8}{4,9} = \dfrac{28}{49} = \dfrac47$ et d'autre part $\dfrac{\text{OE}}{\text{OA}} = \dfrac{2}{3,5} = \dfrac{20}{35} = \dfrac47$

Les droites (OF) et (OE) sont sécantes en O, B est un point de la droite (OF) et A est un point de la droite (OE).
Les points F, O, B d'une part et E, O, A d'autre part sont alignés dans le même ordre.
De plus, $\dfrac{\text{OF}}{\text{OB}} = \dfrac{\text{OE}}{\text{OA}}$
Alors, d'après la réciproque du théorème de Thalès, les droites (EF) et (AB) sont parallèles.

exercice 3

2. Prouvons que ABC est rectangle en B :
AC² = 7² = 49
AB² + BC² = 4,2² + 5,6² = 49
Comme AC² = AB² + BC², alors d'après la réciproque du théorème de Pythagore, le triangle ABC est rectangle en B.

3. Calculons le périmètre du triangle ABC :
P_ABC = AB + BC + AC
P_ABC = 4,2 + 5,6 + 7
P_ABC = 16,8
Le périmètre du triangle ABC est égal à 16,8 cm.

Calculons l'aire du triangle ABC :
$A_{\text{ABC}} = \dfrac{\text{AB} \times \text{BC}}{2}\\ A_{\text{ABC}} = \dfrac{4,2 \times 5,6}{2}\\ A_{\text{ABC}} = \dfrac{23,52}{2}\\ A_{\text{ABC}} = 11,76$
D'où : L'aire du triangle ABC est égale à 11,76 cm².

Problème

Partie 1

On considère que x = 3 m.

1. Longueur de la cloison :
Dans le triangle DHC rectangle en C, on applique le théorème de Pythagore :
DH² = HC² + CD²
DH² = 3² + 4²
DH² = 9 + 16
DH² = 25
DH = 5
La cloison mesure 5 m.

2. Calculons la mesure de l'angle $\widehat{\text{HDC}}$ :
Dans le triangle HCD rectangle en C, on a :
$\cos \widehat{\text{HDC}} = \dfrac{\text{DC}}{\text{DH}} = \dfrac45$
Donc : $\widehat{\text{HDC}} \approx 37^0$ à 1° près.

3. Calculons la mesure de l'angle $\widehat{\text{DHB}}$ :
Comme le triangle HDC est rectangle en C, alors les angles $\widehat{\text{DHC}} \text{ et } \widehat{\text{HDC}}$ sont complémentaires. Donc :
$\widehat{\text{DHC}} = 90 - \widehat{\text{HDC}}\\ \widehat{\text{DHC}} \approx 90 - 37\\ \widehat{\text{DHC}} \approx 53^o$
D'où : l'angle $\widehat{\text{DHC}}$ mesure 53° (à 1° près).

Les angles $\widehat{\text{DHB}} \text{ et } \widehat{\text{DHC}}$ sont supplémentaires, donc :
$\widehat{\text{DHB}} = 180 - \widehat{\text{DHC}}\\ \widehat{\text{DHB}} \approx 180 - 53\\ \widehat{\text{DHB}} \approx 127$
D'où : l'angle $\widehat{\text{DHB}}$ mesure 127° (à 1° près).

Partie 2

1. a) Exprimons la surface au sol du cagibi :
$f(x) = \dfrac{\text{DC} \times \text{HC}}{2} = \dfrac{4x}{2}$
Donc : f(x) = 2x

1. b) Exprimons la surface au sol du séjour :
ABHD est un trapèze. L'aire d'un trapèze est donnée par $\dfrac{(B + b) \times h}{2}$ . Donc :
$g(x) = \dfrac{(\text{AD} + \text{BH}) \times \text{AB}}{2}\\ g(x) = \dfrac{(12 + (12 - x)) \times 4}{2}\\ g(x) = 2(24 - x)$
D'où : g(x) = 48 - 2x

2. a) La fonction f est une fonction linéaire.
La fonction g est une fonction affine.

2. b) La représentation graphique de la fonction f est une droite (d₁) qui passe par l'origine du repère.
De plus, f(10) = 2 × 10 = 20
La droite (d₁) passe par le point de coordonnées (10; 20).

La représentation graphique de la fonction g est une droite (d₂) qui ne passe pas par l'origine du repère.
De plus, g(0) = 48 - 2 × 0 = 48 et g(10) = 48 - 2 × 10 = 48 - 20 = 28
La droite (d₂) passe par les points de coordonnées (0; 48) et (10; 28).

Représentations graphiques des fonctions f et g

3. a) Graphiquement, la valeur maximale de x pour laquelle le séjour a une surface minimale de 35 m² est 6,5 m.

3. b) La surface du séjour doit être supérieure ou égale à 35 m² se traduit par :
g(x) $\small \geq$ 35, soit 48 - 2x $\small \geq$ 35

3. c) Résolvons cette inéquation :
$48 - 2x \geq 35\\ -2x \geq 35 - 48\\ -2x \geq -13\\ x \leq \dfrac{-13}{-2}\\ x \leq 6,5$
Les solutions de l'inéquation sont les nombres réels inférieurs ou égaux à 6,5.

Partie 3

1. « échelle 1/200 » signifie que 1 cm sur la maquette représente 200 cm en réel.

2.

longueur sur la maquette (en cm)	1	y
longueur réelle (en cm)	200	1 200

$y = \dfrac{1 \times 1200}{200} = 6$
Sur la maquette, la longueur du mur sera égale à 6 cm.

3. Sur la maquette, la largeur du mur sera égale à $\dfrac{1 \times 400}{200}$ = 2 cm.
La surface du sol du séjour dans la maquette est 2 × 6 = 12 cm².

4. Volume réel du séjour :
V_maquette = $\left(\dfrac{1}{200}\right)^3$ × V_réel
V_maquette = $\dfrac{1}{200^3}$ × V_réel
V_réel = 200³ × 13,125
V_réel = 105 000 000 cm³
V_réel = 105 m³
Le volume réel du séjour est égal à 105 m³.

Publié par Océane le 05-10-2015

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