Fiche de mathématiques
> >

Diplôme National du Brevet
Centres Étrangers I - Juin 2005

Partager :
La rédaction et la présentation seront notées sur 4 points.
L'emploi des calculatrices est autorisée.
Coefficient : 2     Durée : 2 heures
12 points

Activités numériques

exercice 1

1. 288 et 224 sont-ils premiers entre eux ? Expliquer pourquoi.

2. Déterminer le PGCD de 288 et 224.

3. Écrire la fraction \dfrac{224}{288} sous forme irréductible.

4. Un photographe doit réaliser une exposition en présentant ses oeuvres sur des panneaux contenant chacun le même nombre de photos de paysage et le même nombre de portraits.
Il dispose de 224 photos de paysage et de 288 portraits.
Combien peut-il réaliser au maximum de panneaux en utilisant toutes les photos ?
Combien chaque panneau contient-il de photos de paysage et de portraits ?




exercice 2

On considère l'expression D, dont une écriture est la suivante : \text{D} = (x - 3)^2 - 25.

1. Développer et réduire l'expression D.

2. Factoriser l'expression D.

3. Calculer D pour x = \sqrt{5}. Donner le résultat sous la forme a + b\sqrt{5}.

4. Résoudre l'équation D = 0.




exercice 3

Montrer, en détaillant les calculs, que les nombres A, B et C ci-dessous sont tous égaux à un même nombre entier.
\text{A} = \dfrac{7}{9} + \dfrac{2 - 2 \times 3}{3 - 3 \times 7} \hspace{25pt} \text{B} = \dfrac{(-2) \times 10^{-3} \times 25 \times \left(10^2\right)^2}{50 \times 10^5 \times (-0,1) \times 10^{-3}} \hspace{25pt} \text{C} =  \dfrac{3\sqrt{96}}{4\sqrt{54}}



12 points

Activités géométriques

exercice 1

Un pavage est constitué de losanges tous identiques au losange ABCD comme sur la figure codée en annexe 1.
On appelle R la rotation de centre D qui transforme B en A.
On appelle t la translation de vecteur 2\overrightarrow{\text{BC}}.
On appelle SB la symétrie de centre B.

1. Quel est l'angle de la rotation R ? Justifier la réponse.

2. Sur l'annexe 1, tracer, en couleur, l'image L1 du losange ABCD par R.

3. Sur l'annexe 1, tracer, en couleur, l'image L2 du losange ABCD par t.

4. Sur l'annexe 1, tracer, en couleur, l'image L3 du losange ABCD par SB.
diplôme national du brevet, centres étrangers, juin 2005 : image 1

Annexe 1





exercice 2

Sur le croquis ci-dessous :
\mathscr{C} est un cercle de centre O et de diamètre BF = 40 mm.
A est un point du cercle \mathcal{C} tel que AB = 14 mm.
La perpendiculaire à la droite (AF) passant par O coupe le segment [AF] en E.
diplôme national du brevet, centres étrangers, juin 2005 : image 2


1. Quelle est la nature du triangle ABF ? Justifier votre réponse.

2. Calculer la valeur arrondie au dixième de degré près de l'angle \widehat{\text{AFB}}.

3. Calculer la valeur arrondie au millimètre près de la longueur EF.




exercice 3

Sur la figure présentée en annexe 2, le repère est orthonormé.
On a placé les points A(-3 ; 4), B(0 ; 6), C(4 ; 0), D(1 ; -2).

1. Calculer les coordonnées des vecteurs \overrightarrow{\text{AB}} et \overrightarrow{\text{DC}}.

2. a) Calculer les valeurs exactes des longueurs AB, BC et AC.
    b) Prouver que le triangle ABC est rectangle.

3. Déduire des questions précédentes la nature du quadrilatère ABCD. Justifier.

4. a) Construire à la règle et au compas, le point E tel que ACDE soit un parallélogramme.
    b) Calculer les coordonnées du point E.
diplôme national du brevet, centres étrangers, juin 2005 : image 3

Annexe 2



12 points

Problème

Un sablier est constitué de deux pyramides superposées comme le montre le croquis ci-dessous.
Le sable s'écoule au niveau du point S. La surface du sable est représentée par le plan A'B'C'D' horizontal et parallèle aux bases des pyramides.
On suppose qu'au départ, le volume du sable occupe la totalité de la pyramide SABCD.
diplôme national du brevet, centres étrangers, juin 2005 : image 8


La pyramide SABCD est régulière, sa base est un carré ABCD, on rappelle que la hauteur (SO) est perpendiculaire au plan ABCD.
On donne : OA = 27 mm, SO = 120 mm.
Dans tout ce problème A' est le milieu de [SA].

1. Représenter la base ABCD en vraie grandeur.

2. a) Justitifer que le triangle AOB est rectangle isocèle.
    b) Montrer que AB = 27\sqrt{2} mm.

3. a) Calculer l'aire du carré ABCD.
    b) En déduire que le volume \mathscr{V} de la pyramide SABCD est 58 320 mm³.

4. Le triangle SOA est rectangle. Montrer que SA = 123 mm.

5. La pyramide SA'B'C'D' est une réduction de la pyramide SABCD.
    a) Que peut-on dire des droites (OA) et(O'A')?
    b) Déterminer le coefficient de réduction \dfrac{\text{SO}'}{\text{SO}}.

6. On note \mathscr{V}' le volume de la pyramide SA'B'C'D'.
Calculer \mathscr{V}'.

7. On admet que le volume du sable descendu est proportionnel au temps écoulé. Tout le sable s'écoule en 4 minutes.
Au bout de combien de temps le niveau de sable est-il dans la position étudiée ?



Activités numériques

exercice 1

1. Comme 288 et 224 sont des multiples de 2, alors 288 et 224 ne sont pas premiers entre eux.

2. Déterminons le PGCD de 288 et 224 :
à l'aide de l'algorithme d'Euclide :
288 = 224 × 1 + 64
224 = 64 × 3 + 32
64 = 32 × 2 + 0
Donc : PGCD(288; 224) = 32

par la méthode des soustractions successives :
PGCD(288; 224) = PGCD(224; 64)
PGCD(224; 64) = PGCD(160; 64)
PGCD(160; 64) = PGCD(96; 64)
PGCD(96; 64) = PGCD(64; 32)
PGCD(64; 32) = PGCD(32; 32)
PGCD(32; 32) = 32
Donc : PGCD(288; 224) = 32

3. Comme PGCD(288; 224) = 32, alors :
\dfrac{224}{288} = \dfrac{32 \times 7}{32 \times 9} = \dfrac79

4. On a vu que : 224 = 32 × 7 et 288 = 32 × 9.
Le photographe peut donc réaliser au maximum 32 panneaux.
Chaque panneau contient 7 photos de paysage et 9 portraits.




exercice 2

1. Développons et réduisons l'expression D :
\text{D} = (x - 3)^2 - 25 \\ \text{D} = x^2 - 2x \times 3 + 3^2 - 25 \\ \text{D} = x^2 - 6x + 9 - 25 \\ \text{D} = x^2 - 6x - 16

2. Factorisons l'expression D :
\text{D} = (x - 3)^2 - 25 \\ \text{D} = (x - 3)^2 - 5^2 \\ \text{D} = (x - 3 - 5)(x - 3 + 5) \\ \text{D} = (x - 8)(x + 2)

3. Calculons D pour x = \sqrt{5} :
\text{D} = x^2 - 6x - 16, donc pour x = \sqrt{5},
\text{D} = \left(\sqrt{5}\right)^2 - 6\sqrt{5} - 16 = 5 - 6\sqrt{5} - 16 = -11 - 6\sqrt{5}

4. Résolvons l'équation D = 0 :
(x - 8)(x + 2) = 0
Un produit de facteurs est nul si l'un au moins de ces facteurs est nul, et réciproquement.
\begin{array}{lcl} x - 8 = 0 & \hspace{15pt} \text{ou} \hspace{15pt} & x + 2 = 0\\ x = 8 & \hspace{15pt} \text{ou} \hspace{15pt} & x = -2\\ \end{array}
Les solutions de l'équation sont -2 et 8.




exercice 3

Calculons A :
\text{A} = \frac79 + \dfrac{2 - 2 \times 3}{3 - 3 \times 7}\\ \text{A} = \frac79 + \dfrac{2 - 6}{3 - 21}\\ \text{A} = \frac79 + \dfrac{-4}{-18}\\ \text{A} = \dfrac{14}{18} + \dfrac{4}{18}\\ \text{A} = \dfrac{18}{18}\\ \text{A} = 1

Calculons B :
\text{B} = \dfrac{(-2) \times 10^{-3} \times 25 \times (10^2)^2}{50 \times 10^5 \times (-0,1) \times 10^{-3}}\\ \text{B} = \dfrac{(-2) \times 25 \times 10^{-3} \times 10^4}{50 \times (-0,1) \times 10^{5 - 3}}\\ \text{B} = \dfrac{2 \times 25 \times 10^{-3 + 4}}{2 \times 25 \times 10^{-1} \times 10^2}\\ \text{B} = \dfrac{10^1}{10^{2 - 1}}\\ \text{B} = \dfrac{10}{10}\\ \text{B} = 1

Calculons C :
\text{C} = \dfrac{3\sqrt{96}}{4\sqrt{54}}\\ \text{C} = \dfrac{3\sqrt{16 \times 6}}{4\sqrt{9 \times 6}}\\ \text{C} = \dfrac{3 \times 4\sqrt{6}}{4 \times 3 \sqrt{6}}\\ \text{C} = 1
On a donc montré que les nombres A, B, C sont tous égaux à 1.


Activités géométriques

exercice 1

1. Le triangle ABD est un triangle équilatéral, donc \widehat{\text{ADB}} vaut 60°. L'angle de la rotation est donc 60°.

2. L'image du losange ABCD par la rotation R est le losange L1 (en rouge sur le graphique ci-dessous).

3. L'image du losange ABCD par la translation t est le losange L2 (en bleu sur le graphique ci-dessous).

4. L'image du losange ABCD par la symétrie SB est le losange L3 (en vert sur le graphique ci-dessous).
diplôme national du brevet, centres étrangers, juin 2005 : image 5





exercice 2

1. Déterminons la nature du triangle ABF :
Le triangle ABF est inscrit dans le cercle de diamètre [BF]. Il est donc rectangle en A.

2. Calculons la valeur de l'angle \widehat{\text{AFB}} :
Dans le triangle AFB rectangle en A, on a :
\sin \widehat{\text{AFB}} = \dfrac{\text{AB}}{\text{BF}} = \dfrac{14}{40} = 0,35
Donc : \widehat{\text{AFB}} = \sin^{-1} 0,35
D'où : \widehat{\text{AFB}} \approx 20,5^o (valeur arrondie au dixième de degré près)

3. Calculons la valeur de la longueur EF :
Dans le triangle EFO rectangle en E, on a :
\cos \widehat{\text{EFO}} = \dfrac{\text{EF}}{\text{OF}}
Donc : \text{EF} = \text{OF} \times \cos \widehat{\text{EFO}} \approx 20 \times \cos 20,5
D'où : EF \approx 19 mm (valeur arrondie au millimètre près).




exercice 3

1. Calculons les coordonnées des vecteurs \overrightarrow{\text{AB}} et \overrightarrow{\text{DC}} :
\overrightarrow{\text{AB}} \, \left(x_{\text{B}} - x_{\text{A}} \, ; \, y_{\text{B}} - y_{\text{A}}\right) \\ \overrightarrow{\text{AB}} \, \left(0 - (-3) \, ; \, 6 - 4\right) \\ \boxed{\overrightarrow{\text{AB}} \, \left(3 \, ; \, 2\right)}

\overrightarrow{\text{DC}} \, \left(x_{\text{C}} - x_{\text{D}} \, ; \, y_{\text{C}} - y_{\text{D}}\right) \\ \overrightarrow{\text{DC}} \, \left(4 - 1 \, ; \, 0 + 2\right) \\ \boxed{\overrightarrow{\text{DC}} \, \left(3 \, ; \, 2\right)}

Les vecteurs \overrightarrow{\text{AB}} et \overrightarrow{\text{DC}} ont les mêmes coordonnées. Ces deux vecteurs sont donc égaux.

2. a) Calculons les valeurs exactes des longueurs AB, BC et AC :
\text{AB}^2 = \left(x_{\text{B}} - x_{\text{A}}\right)^2 + \left(y_{\text{B}} - y_{\text{A}}\right)^2 \\ \text{AB}^2 = 3^2 + 2^2 = 13
Donc : \text{AB} = \sqrt{13}

\text{BC}^2 = \left(x_{\text{C}} - x_{\text{B}}\right)^2 + \left(y_{\text{C}} - y_{\text{B}}\right)^2 \\ \text{BC}^2 = (4 - 0)^2 + (0 - 6)^2 \\ \text{BC}^2 = 16 + 36 = 52
Donc : \text{BC} = \sqrt{52}

\text{AC}^2 = \left(x_{\text{C}} - x_{\text{A}}\right)^2 + \left(y_{\text{C}} - y_{\text{A}}\right)^2 \\ \text{AC}^2 = (4 - (-3))^2 + (0 - 4)^2 \\ \text{AC}^2 = 49 + 16 = 65
Donc : \text{AC} = \sqrt{65}

2. b) Prouvons que le triangle ABC est rectangle :
On a : \text{AB}^2 + \text{BC}^2 = 13 + 52 = 65 et \text{AC}^2 = 65 donc \text{AB}^2 + \text{BC}^2 = \text{AC}^2.
Donc, d'après la réciproque du théorème de Pythagore, le triangle ABC est rectangle en B.

3. Déterminons la nature du quadrilatère ABCD :
On a vu à la question 1. que : \overrightarrow{\text{AB}} = \overrightarrow{\text{DC}}, donc le quadrilatère ABCD est un parallélogramme.
De plus, le triangle ABC est rectangle en B, donc l'angle \widehat{\text{B}} est droit.
D'où : le quadrilatère ABCD est un rectangle.

4. a) Construisons à la règle et au compas, le point E tel que ACDE soit un parallélogramme :
diplôme national du brevet, centres étrangers, juin 2005 : image 6


4. b) Calculons les coordonnées du point E :
ACDE est un parallélogramme, donc \overrightarrow{\text{EA}} = \overrightarrow{\text{DC}}. Ces deux vecteurs ont donc les mêmes coordonnées.
On sait que : \overrightarrow{\text{EA}}\left(x_{\text{A}} - x_{\text{E}} \, ; \, y_{\text{A}} - y_{\text{E}}\right) soit \overrightarrow{\text{EA}}\left(-3 - x_{\text{E}} \, ; \, 4 - y_{\text{E}}\right) et que \overrightarrow{\text{DC}}\, \left(3 \, ; \, 2\right)
Donc : -3 - x_{\text{E}} = 3, donc - x_{\text{E}} = 3 + 3, soit x_{\text{E}} = -6
Et, 4 - y_{\text{E}} = 2, donc - y_{\text{E}} = 2 - 4, soit y_{\text{E}} = 2.
D'où : \boxed{\text{E}\left(-6 \, ; \, 2\right)}


Problème

1. Représentons la base ABCD en vraie grandeur :
La base ABCD est un carré de centre O. On sait que le segment [OA] a pour longueur 27 mm et que les diagonales d'un carré sont de même longuer et se coupent perpendiculairement en leur milieu. D'où le schéma ci-dessous :
diplôme national du brevet, centres étrangers, juin 2005 : image 7


2. a) Les diagonales du rectangle ABCD de centre O sont perpendiculaires, donc AOB est un triangle rectangle en O. De plus, ces diagonales se coupent en leur milieu O, donc OA = OB. Le triangle OAB est donc aussi isocèle en O.

2. b) Montrons que AB = 27\sqrt{2} mm :
Dans le triangle AOB rectangle en O, on applique le théorème de pythagore :
AB² = OA² + OB ²
Donc : AB² = 2 × OA² = 2 × 27²
Donc : \text{AB} = \sqrt{2 \times 27^2}
D'où : \boxed{\text{AB} = 27\sqrt{2} \text{ mm }}

3. a) Calculons l'aire du carré ABCD :
L'aire du carré ABCD est égale à : \text{AB}^2 = \left(27\sqrt{2}\right)^2 = 1\,458 \text{ mm}^2

3. b) Déterminons le volume \mathscr{V} de la pyramide SABCD :
\mathscr{V} = \dfrac{1}{3} \mathscr{B} \times h avec \mathscr{B} l'aire de la base de la pyramide
\mathscr{V} = \dfrac{1}{3} \times \text{AB}^2 \times \text{SO} = \dfrac{1}{3} \times 1\,458 \times 120
D'où : \fbox{\mathscr{V} = 58\,320 \text{ mm}^3}

4. Montrons que SA = 123 mm :
Dans le triangle SOA rectangle en O, on applique le théorème de Pythagore :
SA² = OA² + OS² = 27² + 120² = 15 129
Donc : \text{SA} = \sqrt{15\,129}
D'où : SA = 123 mm

5. a) La pyramide SABCD est coupée par un plan parallèle à la base ABCD. Donc les droites (OA) et (OA') sont parallèles.

5. b) On en déduit alors que \dfrac{\text{SO}'}{\text{SO}} = \dfrac{\text{SA}'}{\text{SA}} = k = \dfrac{1}{2} car A' est le milieu du segment [SA].

6. Calculons le volume \mathscr{V}' :
\mathscr{V}' = k^3 \times \mathscr{V} = \left(\dfrac{1}{2}\right)^3 \times 58\,320 = \dfrac{1}{8} \times 58\,320 = 7\,290
D'où : \fbox{\mathscr{V}' = 7\,290 \text{ mm}^3}

7. Déterminons au bout de combien de temps le niveau de sable est dans la position étudiée :
Dans la position étudiée, il reste \dfrac{1}{8} du volume initial du sable dans la partie supérieure du sablier. Les \dfrac{7}{8} du volume initial se sont donc écoulés (ils sont dans la partie inférieure du sablier).
Il s'est donc écoulé : \dfrac{7}{8} \times 4 minutes, soit 3,5 minutes (ce qui correspond à 3 min 30 s).
Publié le
ceci n'est qu'un extrait
Pour visualiser la totalité des cours vous devez vous inscrire / connecter (GRATUIT)
Inscription Gratuite se connecter
Merci à
cva
/ Zouz pour avoir contribué à l'élaboration de cette fiche


Vous devez être membre accéder à ce service...

Pas encore inscrit ?

1 compte par personne, multi-compte interdit !

Ou identifiez-vous :


Rester sur la page

Inscription gratuite

Fiches en rapport

parmi 1345 fiches de maths

Désolé, votre version d'Internet Explorer est plus que périmée ! Merci de le mettre à jour ou de télécharger Firefox ou Google Chrome pour utiliser le site. Votre ordinateur vous remerciera !