Fiche de mathématiques
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Brevet Centres Etrangers II 2005

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La rédaction et la présentation seront notées sur 4 points.
L'emploi des calculatrices est autorisée.
Coefficient : 2     Durée : 2 heures


12 points

Activités numériques

exercice 1

Dans cet exercice, les longueurs sont exprimées en centimètre. Répondre aux questions en détaillant les calculs.

La relation entre la longueur c du côté d'un carré et la longueur d de sa diagonale est donnée par la formule : d = c\sqrt{2}.

1. La longueur du côté d'un carré est \sqrt{8} + \sqrt{2}.
     a) Montrer que la longueur de sa diagonale est un nombre entier.
     b) Montrer que l'aire en cm² de ce carré est un nombre entier.

2. La longueur de la diagonale d'un autre carré est \sqrt{40}.
Calculer la longueur de son côté et exprimer cette longueur sous la forme a\sqrt{5}, où a est un nombre entier naturel.




exercice 2

La masse d'un atome de carbone est égale à 1,99 × 10-26 g. Les chimistes considèrent des paquets contenant 6,022 × 1023 atomes.

Calculer la masse en gramme d'un tel paquet d'atomes de carbone.




exercice 3

Pour chaque ligne du tableau ci-dessous, trois réponses sont proposées, mais une seule est exacte.
Aucune justification n'est demandée.

Le barème de cet exercice est le suivant : pour chaque ligne, 1 point pour une réponse correcte, - 0,5 point pour une réponse fausse, 0 point s'il n'y a pas de réponse.
Si le total des points pour l'exercice est négatif, l'exercice est noté 0 point.

1. (3x - 2)² est égale à
Réponse A Réponse B Réponse C
9x² - 4 9x² - 6x + 4 9x² - 12x + 4


2. Une expression factorisée de (5x - 1)² - 9 est
Réponse A Réponse B Réponse C
(5x + 2)(5x - 4) (5x - 10)² (5x - 10)(5x + 8)


3. Les solutions de l'équation -2x(3x + 4) = 0 sont
Réponse A Réponse B Réponse C
2 et -\dfrac43 -\dfrac12 \text{ et } \dfrac43 0 et -\dfrac43


4. La partie en gras non hachurée représente les solutions de l'inéquation 5x - 10 \geq 2x + 5
Réponse A Réponse B Réponse C
sujet du brevet 2005 : image 1
sujet du brevet 2005 : image 2
sujet du brevet 2005 : image 3


5. Le système \left \lbrace \begin{array}{l} 2x - y  =  -8 \\ x + y  =  5 \\ \end{array} \right. a pour solution
Réponse A Réponse B Réponse C
(1; -6) (-1; -6) (-1; 6)



12 points

Activités géométriques

exercice 1

Pour cet exercice, compléter la figure donnée sur la feuille annexe.
On a placé trois points A, B et C.

1. Construire le point E tel que ABEC est un parallélogramme.

2. a) Construire le point F tel que \overrightarrow{\text{BF}} = \overrightarrow{\text{BA}} + \overrightarrow{\text{BC}}.
    b) Quelle est la nature du quadrilatère ABCF ? On ne demande pas de justification.

3. Démontrer que \overrightarrow{\text{FC}} = \overrightarrow{\text{CE}}. Que peut-on en déduire pour le point C ?
sujet du brevet 2005 : image 9

Annexe





exercice 2

La figure n'est pas faite en vraie grandeur. Elle n'est pas à reproduire.

ABC est un triangle tel que : AB = 8 cm, AC = 6,4 cm et BC = 4,9 cm.
Le point E appartient à la demi-droite [AB) et AE = 12 cm.
Le point F appartient à la demi-droite [AC) et AF = 9,6 cm.
sujet du brevet 2005 : image 4


1. Le triangle ABC est-il un triangle rectangle ? Justifier la réponse.

2. Les droites (BC) et (EF) sont-elles parallèles ? Justifier la réponse.




exercice 3

La figure n'est pas faite en vraie grandeur. Elle n'est pas à reproduire.

AHC est un triangle rectangle en H. La droite passant par A et perpendiculaire à la droite (AC) coupe la droite (HC) en B.
On sait que : AH = 4,8 cm et HC = 6,4 cm.
sujet du brevet 2005 : image 5


1. a) Justifier l'égalité : \widehat{\text{ACH}} =  90^o -  \widehat{\text{HAC}}.
    b) Justifier l'égalité : \widehat{\text{BAH}} = 90^o - \widehat{\text{HAC}}.
    c) Que peut-on en déduire pour les angles \widehat{\text{ACH}} \text{ et } \widehat{\text{BAH}} ?

2. a) Montrer que \tan \widehat{\text{ACH}} = \dfrac{3}{4}.
    b) En utilisant le triangle BAH, exprimer \tan \widehat{\text{BAH}} en fonction de BH.

3. Déduire des questions 1. et 2. que BH = 3,6 cm.

4. Calculer la mesure en degré arrondie au degré de l'angle \widehat{\text{ACH}}.


12 points

Problème

Partie 1

La figure construite ci-dessous n'est pas en vraie grandeur. Elle n'est pas à reproduire.

EAB est un triangle rectangle en A tel que AE = 48 cm et AB = 16 cm.
Le point D appartient au segment [AE] et AD = 12 cm. La parallèle à la droite (AB) passant par D est sécante à la droite (BE) au point C.
sujet du brevet 2005 : image 6


1. a) Calculer la longueur du segment [BE].
     b) Écrire cette longueur sous la forme a\sqrt{10}, où a est un nombre entier naturel.

2. Calculer ED puis monter que DC = 12 cm.

3. Calculer les aires des triangles EDC et EAB.

4. En déduire que l'aire du quadrilatère ABCD est égale à 168 cm².

5. Le quadrilatère ABCD est la base d'un prisme droit de hauteur CH égale â 5 cm. Ce prisme est représenté ci-dessous. Calculer son volume.
sujet du brevet 2005 : image 7


Partie 2

Monsieur Brico veut paver une allée de jardin avec des dalles ayant la forme du prisme défini dans la question 5. de la partie 1.

1. Calculer le nombre minimum de dalles nécessaires pour recouvrir l'allée dont l'aire est 10 m².

2. Monsieur Brico prévoit 15% de dalles de plus que ce nombre minimum pour tenir compte des pertes dues aux découpes. Combien prévoit-il de dalles ?

3. Les dalles sont vendues par lot de 60. Combien de lots monsieur Brico a-t-il acheté ?

Partie 3

Dans cette partie, aucune justification n'est demandée.

La figure ci-dessous montre une vue de dessus du début du pavage. Les dalles sont posées sur la face ABCD.
Compléter les phrases ci-dessous en utilisant une des trois transformations suivantes : symétrie axiale d'axe ..., translation de vecteur ... ou symétrie centrale de centre ..., et en précisant l'axe, le vecteur et le centre.
sujet du brevet 2005 : image 8


1. Le quadrilatère 7 est l'image du quadrilatère 10 par la ...

2. Le quadrilatère 9 est l'image du quadrilatère 1 par la ...

3. Le quadrilatère 4 est l'image du quadrilatère 1 par la ...



Activités numériques

exercice 1

1. a) Montrons que la longueur de la diagonale du carré est un nombre entier :
D'après la formule rappelée dans l'énoncé, on a :
d = \left(\sqrt{8} + \sqrt{2}\right) \times \sqrt{2}\\ d = \sqrt{2 \times 4} \times \sqrt{2} + \sqrt{2} \times \sqrt{2}
d = 2 × 2 + 2
d = 4 + 2
d = 6
La longueur de la diagonale du carré est égale à 6 cm.

1. b) Montrons que l'aire du carré est un nombre entier :
L'aire du carré est donnée par :
\left(\sqrt{8} + \sqrt{2}\right)^2 = \left(\sqrt{8}\right)^2 + 2 \sqrt{8} \times \sqrt{2} + \left(\sqrt{2}\right)^2\\ \hspace{55pt} = 8 + 2\sqrt{8 \times 2} + 2\\ \hspace{55pt} = 10 + 2 \times 4\\ \hspace{55pt} = 18
L'aire du carré est de 18 cm².

2. Calculons la longueur du côté du carré :
D'après la formule rappelée dans l'énoncé, on a :
c = \dfrac{d}{\sqrt{2}} = \dfrac{\sqrt{40}}{\sqrt{2}} = \sqrt{\dfrac{40}{2}} = \sqrt{20} = \sqrt{4 \times 5} = 2\sqrt{5}
La longueur du côté est égale à 2\sqrt{5} cm.




exercice 2

Masse d'un paquet d'atomes de carbone :
6,022 × 1023 × 1,99 × 10-26
= 6,022 × 1,99 × 1023 - 26
= 11,98 378 × 10-3
= 1,198 378 × 10-2
Un tel paquet d'atomes de carbone a une masse de 1,198 378 × 10-2 g.




exercice 3

Question N°1 : Réponse C
(3x - 2)² = (3x)² - 2 × 3x × 2 + 2²
(3x - 2)² = 9x² - 12x + 4

Question N°2 : Réponse A
(5x - 1)² - 9 = (5x - 1)² - 3²
(5x - 1)² - 9 = (5x - 1 - 3)(5x - 1 + 3)
(5x - 1)² - 9 = (5x - 4)(5x + 2)

Question N°3 : Réponse C
-2x(3x + 4) = 0
Un produit de facteurs est nul si l'un au moins de ces facteurs est nul, et réciproquement.
\begin{array}{lcl} -2x = 0 & \hspace{20pt} \text{ ou } \hspace{20pt} & 3x + 4 = 0\\ x = 0 & \hspace{20pt} \text{ ou } \hspace{20pt} & 3x = -4\\ &&x = -\dfrac43 \end{array}
Les solutions de l'équation sont -\dfrac43 et 0.

Question N°4 : Réponse A
5x - 10 \geq 2x + 5\\ 5x - 2x \geq 5 + 10\\ 3x \geq 15\\ x \geq \dfrac{15}{3}\\ x \geq 5
Les solutions de l'inéquation sont les nombres réels supérieurs ou égaux à 5.

Question N°5 : Réponse C
Résolvons ce système :
soit par substitution :
\left \lbrace \begin{array}{c @{ = } c} 2x - y  &  -8 \\ x + y  &  5 \\ \end{array} \right.
A l'aide de la deuxième équation, on peut écrire x = 5 -y.
En remplaçant x par 5 - y dans la première équation, on obtient :
2(5 - y) - y = -8
10 - 2y - y = -8
-3y = -8 - 10
-3y = -18
y = \dfrac{-18}{-3}
y = 6

En remplaçant y par sa valeur dans x = 5 - y, on obtient :
x = 5 - 6
x = -1
La solution du système est le couple (-1; 6).

soit par combinaison :
\left \lbrace \begin{array}{c @{ = } c} 2x - y  &  -8 \\ x + y  &  5 \\ \end{array} \right.
On multiplie la deuxième équation par 2 :
\left \lbrace \begin{array}{c @{ = } c} 2x - y  &  -8 \\ 2x + 2y  &  10 \\ \end{array} \right.
On soustrait membre à membre les deux équations :
-y - 2y = -8 - 10
-3y = -18
y = \dfrac{-18}{-3}
y = 6

On remplace y par sa valeur dans la deuxième équation :
2x + 2 × 6 = 10
2x + 12 = 10
2x = 10 - 12
2x = -2
x = \dfrac{-2}{2}
x = -1
La solution du système est le couple (-1; 6).


Activités géométriques

exercice 1

1. cf figure

2. a) cf figure

2. b) Nature du quadrilatère ABCF :
Comme \overrightarrow{BF} = \overrightarrow{BA} + \overrightarrow{BC}, alors d'après la règle du parallélogramme, ABCF est un parallélogramme.

3. Montrons que \overrightarrow{\text{FC}} = \overrightarrow{\text{CE}} :
Comme ABCF est un parallélogramme, alors \overrightarrow{AB} = \overrightarrow{FC}.
Comme ABEC est un parallélogramme, alors \overrightarrow{AB} = \overrightarrow{CE}.
On en conclut que \overrightarrow{FC} = \overrightarrow{CE}.

Comme \overrightarrow{FC} = \overrightarrow{CE}, alors C est le milieu du segment [FE].
sujet du brevet 2005 : image 10

Figure





exercice 2

1. ABC triangle rectangle ?
Le plus grand côté est [AB] (si le triangle est rectangle, alors ce côté est l'hypoténuse).
On a : AB² = 8² = 64     et     AC² + BC² = 6,4² + 4,9² = 40,96 + 24,01 = 64,97.
Comme AB² \small \neq AC² + BC², alors le triangle ABC n'est pas rectangle.

2. (BC) et (EF) parallèles ?
On a : \dfrac{\text{AB}}{\text{AE}} = \dfrac{8}{12} = \dfrac23
et \dfrac{\text{AC}}{\text{AF}} = \dfrac{6,4}{9,6} = \dfrac{64}{96} = \dfrac{32 \times 2}{32 \times 3} = \dfrac23
Les droites (AF) et (AE) sont sécantes en A.
B est un point de la droite (AE) et C est un point de la droite (AF).
Les points A, B, E d'une part et A, C, F d'autre part sont alignés dans le même ordre.
De plus, \dfrac{\text{AB}}{\text{AE}} = \dfrac{\text{AC}}{\text{AF}}, donc, d'après la réciproque du théorème de thalès, les droites (BC) et (EF) sont parallèles.




exercice 3

1. a) Comme le triangle AHC est rectangle en H, alors ses angles aigus \widehat{ACH} \text{ et } \widehat{HAC} sont complémentaires.
Donc : \widehat{\text{ACH}} =  90^o -  \widehat{\text{HAC}}.

1. b) Comme les droites (AC) et (AB) sont perpendiculaires, alors \widehat{BAC} est un angle droit.
Les angles \widehat{BAH} \text{ et } \widehat{HAC} sont donc complémentaires, et on a : \widehat{\text{BAH}} = 90^o - \widehat{\text{HAC}}.

1. c) Comme \widehat{\text{ACH}} =  90^o -  \widehat{\text{HAC}} et \widehat{\text{BAH}} = 90^o - \widehat{\text{HAC}}, alors les angles \widehat{ACH} \text{ et } \widehat{BAH} sont de même mesure.

2. a) Dans le triangle AHC rectangle en H, on a :
\tan \widehat{BAH} = \dfrac{\text{AH}}{\text{HC}} = \dfrac{4,8}{6,4} = \dfrac{48}{64} = \dfrac{3 \times 2 \times 8}{4 \times 2 \times 8} = \dfrac34

2. b) Dans le triangle BAH rectangle en H, on a :
\tan \widehat{\text{BAH}} = \dfrac{\text{BH}}{\text{AH}} = \dfrac{\text{BH}}{4,8}.

3. Comme les angles \widehat{\text{ACH}} \text{ et } \widehat{\text{BAH}} sont de même mesure, alors :
\tan \widehat{\text{ACH}} = \tan{\text{\widehat{BAH}}},
donc : \dfrac34 = \dfrac{\text{BH}}{4,8}
D'où : BH = \dfrac{3 \times 4,8}{4} = 3,6 cm.

4. Comme \tan \widehat{ACH} = \dfrac34, alors, à l'aide de la calculatrice, on a :
\widehat{\text{ACH}} \approx 37^o


Problème

Partie 1

1. a) Longueur du segment [BE] :
Dans le triangle EAB rectangle en A, on applique le théorème de Pythagore :
BE² = EA² + AB²
BE² = 48² + 16²
BE² = 2 304 + 256
BE² = 2 560
D'où : BE = \sqrt{2 560} cm.

1. b) BE = \sqrt{2 560} = \sqrt{256 \times 10} = 16\sqrt{10} cm.

2. Calculons ED :
Comme le point D appartient au segment [AE], alors :
ED = AE - AD = 48 - 12 = 36.
D'où : ED = 36 cm.

    Calculons DC :
Les droites (EA) et (EB) sont sécantes en E.
D est un point de la droite (EA), C est un point de la droite (EB).
De plus, les droites (DC) et (AB) sont parallèles.
Alors, d'après le théorème de Thalès : \dfrac{\text{ED}}{\text{EA}} = \dfrac{\text{EC}}{\text{EB}} = \dfrac{\text{DC}}{\text{AB}}
En particulier \dfrac{\text{ED}}{\text{EA}} = \dfrac{\text{DC}}{\text{AB}}
Donc : \dfrac{36}{48} = \dfrac{\text{DC}}{16}
soit DC = \dfrac{36 \times 16}{48} = 12
D'où : DC = 12 cm.

3. Aire du triangle EDC :
AEDC = \dfrac{b \times h}{2} = \dfrac{\text{DC} \times \text{ED}}{2} = \dfrac{12 \times 36}{2} = 216.
L'aire du truangle EDC est de 216 cm².

    Aire du triangle EAB :
AEAB = \dfrac{b \times h}{2} = \dfrac{\text{AB} \times \text{AE}}{2} = \dfrac{16 \times 48}{2} = 384.
L'aire du triangle EAB est de 384 cm².

4. Aire du quadrilatère ABCD :
AABCD = AEAB - AEDC
AABCD = 384 - 216
AABCD = 168
D'où : l'aire du quadrilatère ABCD est égale à 168 cm².

5. Volume du prisme droit :
V = A × h où A désigne l'aire de la base du prisme droit
V = AABCD × CH
V = 168 × 5
V = 840
Le volume du prisme droit est égal à 840 cm³.

Partie 2

1. L'aire d'une dalle est de 168 cm². On veut recouvrir l'allée dont l'aire est 10 m², soit 100 000 cm².
Calculons le nombre minimum de dalles nécessaires pour recouvrir l'allée :
100 000 : 168 \small \approx 595,2
Au minimum 596 dalles seront nécessaires pour recouvrir l'allée.

2. Nombre de dalles prévu par Monsieur Brico :
596 + 596 \times \dfrac{15}{100} = 596 + 89,4 = 685,4
Monsieur Brico a prévu 686 dalles.

3. Nombre de lots acheté par Monsieur Brico :
686 : 60 \small \approx 11,4
Monsieur Brico a acheté 12 lots.

Partie 3

1. Le quadrilatère 7 est l'image du quadrilatère 10 par la symétrie centrale de centre M.

2. Le quadrilatère 9 est l'image du quadrilatère 1 par la translation de vecteur \overrightarrow{AP}

3. Le quadrilatère 4 est l'image du quadrilatère 1 par la symétrie axiale d'axe (EH).
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