Fiche de mathématiques

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Calcul Littéral

Fiche relue en 2016.

1 - Expressions littérales

Une expression littérale est un calcul mathématique avec des nombres et des lettres.
Les lettres représentent des nombres que l'on ne connaît pas a priori.

Exemples :
Les formules de calcul sont données par des expressions littérales.

Le périmètre d'un cercle de rayon r est 2 x $\Pi$ x r	La lettre r représente le rayon du cercle. Le périmètre s'exprime en fonction du rayon.
L'aire d'un rectangle de longueur $L$ et largeur $\ell$ est $L\times \ell$	La lettre $L$ représente la longueur et la lettre $\ell$ la largeur du rectangle. L'aire s'exprime en fonction de la longueur et la largeur.

2 - Simplifications d'écriture

Le signe x de la multiplication n'est pas obligatoire s'il n'est pas devant un nombre.

Exemples
Le périmètre du cercle de rayon r s'écrit plus simplement 2 $\Pi$ r

L'expression $3 \times (x+5)$ peut s'écrire $3(x+5)$ .

$a\times a = a^2 \text{ et } a\times a\times a =a ^3$
$a^2$ se lit a au carré, et $a ^3$ se lit a au cube.
Le facteur a est utilisé deux fois, et on parle "du carré de a" ; le facteur a est utilisé 3 fois et on parle "du cube de a".

Si dans une multiplication, un facteur est 1, il peut être supprimé : $1 \times a = a$ .

3 - Distributivité de la multiplication

a) Distributivité

La multiplication est distributive par rapport à l'addition et à la soustraction.
Pour n'importe quels nombres k, a et b, on a :
$k \times (a+b) = k \times a + k \times b$ ou $k(a+b)=ka+kb$
$k \times (a-b) = k \times a - k \times b$ ou $k(a-b)=ka-kb$
Passer de $k \times (a+b)$ à $ka+kb$ se dit développer l'expression.
Passer de $ka+kb$ à $k \times (a+b)$ se dit factoriser l'expression.

Exemple :
$7 \times (x-4)=7 \times x + 7 \times (-4) = 7 \times x - 28=7x-28$
$10x^2+40x=(10x)x+(10x) \times 4=10x(x+4)$
$6x-6=6 \times x - 6 \times 1 = 6(x-1)$

b) Réduction d'une expression littérale

Réduire une expression, c'est trouver une expression égale avec le moins de termes possible.

On utilise la distributivité pour simplifier l'expression quand cela est possible :
$15x+3x-8x=15 \times x+3 \times x - 8 \times x = (15+3-8) \times x=10 \times x = 10x$

Si l'expression contient des puissances différentes, on fait le regroupement par puissance sans les mélanger.

Exemples :
$A=3x^3-2x^2+x-7-5x^3+5x^2+4x+11$
On regroupe les cubes, les carrés, les x simples et les nombres :
$A=3x^3-5x^3-2x^2+5x^2+x+4x-7+11$
On applique la distributivité :
$A=(3-5)x^3+(-2+5)x^2+(1+4)x+(-7+11)$
$A=-2x^3+3x^2+5x+4$

c) Supprimer une parenthèse précédée du signe +

Ajouter une somme revient à ajouter chacun de ses termes : on peut supprimer la parenthèse.
$a+(b+c)=a+b+c$

Exemples :
$2x+(3+5x)=2x+3+5x=(2+5)x+3=7x+3$
$7x+(-3-5x)=7x+(-3)-5x=(7-5)x-3=2x-3$

d) Supprimer une parenthèse précédée du signe -

Soustraire une somme revient à soustraire chacun de ses termes : on peut supprimer la parenthèse en changeant le signe de chacun de ses termes.
$a-(b+c)=a-b-c$
$a-(b-c)=a-b+c$

Exemples :
$2x-(2x+3y)=2x-2x-3y=-3y$
$-3x-(7-5x)=-3x-7+5x=(-3+5)x-7=2x-7$

e) Double distributivité

Pour tous nombres relatifs, a, b, c, d, on a :

Exemples :
Développer $F=(2x+5)(y-2)$
$F=2x \times y +2x \times (-2)+5 \times y+5 \times (-2)$
$2xy+(-4x)+5y+(-10)$
$2xy-4x+5y-10$

Publié par Prof digiSchool le 12-10-2019

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