Fiche de mathématiques
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Calcul Littéral

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Fiche relue en 2016.

1 - Expressions littérales

Une expression littérale est un calcul mathématique avec des nombres et des lettres.
Les lettres représentent des nombres que l'on ne connaît pas a priori.

Exemples :
Les formules de calcul sont données par des expressions littérales.
Le périmètre d'un cercle de rayon r est 2 x \Pi x r La lettre r représente le rayon du cercle.
Le périmètre s'exprime en fonction du rayon.
L'aire d'un rectangle de longueur L et largeur \ell est L\times \ell La lettre L représente la longueur et la lettre \ell la largeur du rectangle.
L'aire s'exprime en fonction de la longueur et la largeur.

2 - Simplifications d'écriture

Le signe x de la multiplication n'est pas obligatoire s'il n'est pas devant un nombre.


Exemples
Le périmètre du cercle de rayon r s'écrit plus simplement 2 \Pi r
L'expression 3 \times (x+5) peut s'écrire 3(x+5).
a\times a = a^2 \text{ et } a\times a\times a =a ^3
a^2 se lit a au carré, et a ^3 se lit a au cube.
Le facteur a est utilisé deux fois, et on parle "du carré de a" ; le facteur a est utilisé 3 fois et on parle "du cube de a".


Si dans une multiplication, un facteur est 1, il peut être supprimé : 1 \times a = a.

3 - Distributivité de la multiplication

a) Distributivité

La multiplication est distributive par rapport à l'addition et à la soustraction.
Pour n'importe quels nombres k, a et b, on a :
k \times (a+b) = k \times a + k \times b ou k(a+b)=ka+kb
k \times (a-b) = k \times a - k \times b ou k(a-b)=ka-kb
Passer de k \times (a+b) à ka+kb se dit développer l'expression.
Passer de ka+kb à k \times (a+b) se dit factoriser l'expression.

Exemple :
7 \times (x-4)=7 \times x + 7 \times (-4) = 7 \times x - 28=7x-28
10x^2+40x=(10x)x+(10x) \times 4=10x(x+4)
6x-6=6 \times x - 6 \times 1 = 6(x-1)

b) Réduction d'une expression littérale

Réduire une expression, c'est trouver une expression égale avec le moins de termes possible.

On utilise la distributivité pour simplifier l'expression quand cela est possible :
15x+3x-8x=15 \times x+3 \times x - 8 \times x = (15+3-8) \times x=10 \times x = 10x
Si l'expression contient des puissances différentes, on fait le regroupement par puissance sans les mélanger.


Exemples :
A=3x^3-2x^2+x-7-5x^3+5x^2+4x+11
On regroupe les cubes, les carrés, les x simples et les nombres :
A=3x^3-5x^3-2x^2+5x^2+x+4x-7+11
On applique la distributivité :
A=(3-5)x^3+(-2+5)x^2+(1+4)x+(-7+11)
A=-2x^3+3x^2+5x+4

c) Supprimer une parenthèse précédée du signe +

Ajouter une somme revient à ajouter chacun de ses termes : on peut supprimer la parenthèse.
a+(b+c)=a+b+c

Exemples :
2x+(3+5x)=2x+3+5x=(2+5)x+3=7x+3
7x+(-3-5x)=7x+(-3)-5x=(7-5)x-3=2x-3

d) Supprimer une parenthèse précédée du signe -

Soustraire une somme revient à soustraire chacun de ses termes : on peut supprimer la parenthèse en changeant le signe de chacun de ses termes.
a-(b+c)=a-b-c
a-(b-c)=a-b+c

Exemples :
2x-(2x+3y)=2x-2x-3y=-3y
-3x-(7-5x)=-3x-7+5x=(-3+5)x-7=2x-7

e) Double distributivité

Pour tous nombres relatifs, a, b, c, d, on a :
Calcul littéral : image 1

Exemples :
Développer F=(2x+5)(y-2)
F=2x \times y +2x \times (-2)+5 \times y+5 \times (-2)
2xy+(-4x)+5y+(-10)
2xy-4x+5y-10
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