Fiche de mathématiques
> >

Comparaison de nombres relatifs, inégalités

Partager :

Fiche relue en 2016

1 - Comparaison de deux nombres relatifs

Soient a et b deux nombres relatifs :

Si a - b > 0, alors a > b
Si a - b = 0, alors a = b
Si a - b < 0, alors a < b

Pour comparer deux nombres, on peut donc étudier le signe de leur différence.

Exemple :


\dfrac{10}{7} est-il plus grand que \dfrac{5}{3} ?

On calcule \dfrac{10}{7} - \dfrac{5}{3}

\dfrac{10}{7} - \dfrac{5}{3} = \dfrac{10 \times 3}{7 \times 3} - \dfrac{5 \times 7}{3 \times 7} = \dfrac{30}{21} - \dfrac{35}{21} = \dfrac{30-35}{21} = \dfrac{-5}{21}

\dfrac{10}{7} - \dfrac{5}{3} < 0 donc \dfrac{10}{7} < \dfrac{5}{3}

Conclusion : \dfrac{10}{7} est plus petit que \dfrac{5}{3}.

2 - Ordre et opérations

a) Ordre avec l'addition et la soustraction

L'addition ou la soustraction de deux nombres avec le même nombre ne changent pas l'ordre.

Soient a, b et c trois nombres relatifs :
Si a > b, alors a + c > b + c et a - c > b - c
Si a < b, alors a + c < b + c et a - c < b - c

Exemples :

1) Si x-7 > -2 alors x-7+7 > -2+7 donc x > 5
2) Si 2-x \leq 4 alors 2-x+x \leq 4+x
soit 2 \leq 4+x alors 2-4 \leq 4+x-4 soit -2 \leq x c'est-à-dire x \geq -2

Conclusion : Si 2-x \leq 4 alors x \geq -2.

b) Ordre avec la multiplication

La multiplication de deux nombres avec le même nombre strictement positif ne change pas l'ordre.
La multiplication de deux nombres avec le même nombre strictement négatif inverse l'ordre.

Soient a, b et c trois nombres relatifs :
Si a > b et c > 0, alors ac > bc
Si a < b et c > 0, alors ac < bc
Si a > b et c < 0, alors ac < bc
Si a < b et c < 0, alors ac > bc

Exemples :

1) Si 3x \geq 12 alors 3x \times \dfrac{1}{3} \geq 12 \times \dfrac{1}{3} soit \dfrac{3x}{3} \geq \dfrac{12}{3} c'est-à-dire x \geq 4

2) Si 7x > -4 alors 7x \times \dfrac{1}{7}>-4 \times \dfrac{1}{7} soit \dfrac{7x}{7}>\dfrac{-4}{7} c'est-à-dire x > -\dfrac{4}{7}

3) Si -4x \geq 8 alors -4x \times (-\dfrac{1}{4}) \leq 8 \times (-\dfrac{1}{4}) ( on inverse le signe \geq en \leq car on multiplie les membres de l'inégalité par -\dfrac{1}{4} qui est un nombre négatif)

On a donc : \dfrac{-4x \times (-1)}{4} \leq \dfrac{8 \times (-1)}{4} soit x \leq -2

Conclusion : Si -4x \geq 8 alors x \leq -2

3 - Encadrement d'un nombre à partir d'une valeur approchée

a) A partir d'une troncature

Une troncature d'un nombre décimal est obtenue en supprimant ses décimales à partir d'un certain rang.

Exemples :
5,4 est la troncature au dixième de 5,456108
0,33 est la troncature au centième de \dfrac{1}{3}
On peut donner un encadrement d'un nombre dont on connaît une troncature.

Exemples :
a est un nombre dont la troncature au dixième est 3,4
Sur l'axe gradué, on colorie en vert les points possibles où peut se trouver a :
Comparaison de nombres relatifs, inégalités : image 1

Ceci ce traduit par l'inégalité 3,4 \leq a < 3,5

De même, si un nombre b a 1,10 comme troncature au centième, on déduit que 1,10 \leq b < 1,11

b) A partir d'un arrondi

Un arrondi d'un nombre décimal est le nombre décimal le plus proche comportant un nombre de décimales choisi.

Exemples :

5,1 est l'arrondi au dixième de 5,14212
5,2 est l'arrondi au dixième de 5,1675
0,67 est l'arrondi au centième de \dfrac{2}{3}
On peut donner un encadrement d'un nombre dont on connaît un arrondi.

Exemples :

c est un nombre dont l'arrondi au dixième est 2,4
Sur l'axe gradué, on colorie en vert les points possibles où peut se trouver c :
Comparaison de nombres relatifs, inégalités : image 2

Ceci ce traduit par l'inégalité 2,35 \leq c < 2,45

De même, si un nombre d a 1,10 comme arrondi au centième, on déduit que 1,095 \leq d < 1,105
Publié le
ceci n'est qu'un extrait
Pour visualiser la totalité des cours vous devez vous inscrire / connecter (GRATUIT)
Inscription Gratuite se connecter


Vous devez être membre accéder à ce service...

Pas encore inscrit ?

1 compte par personne, multi-compte interdit !

Ou identifiez-vous :


Rester sur la page

Inscription gratuite

Fiches en rapport

parmi 1237 fiches de maths

Désolé, votre version d'Internet Explorer est plus que périmée ! Merci de le mettre à jour ou de télécharger Firefox ou Google Chrome pour utiliser le site. Votre ordinateur vous remerciera !