Fiche de mathématiques
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opérations sur les nombres relatifs en écriture décimale

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1. Rappel de définitions sur les nombres relatifs


Un nombre relatif est un nombre composé d'un signe + ou - suivi d'un nombre appelé distance à zéro ou valeur absolue.
Les nombres de signe + sont les nombres positifs, on peut omettre le signe + pour les écrire.
Les nombres de signe - sont les nombres négatifs.
Le nombre zéro noté 0 est à la fois positif et négatif.
Deux nombres relatifs de même distance à 0 et de signes différents sont des nombres opposés.



Exemples :
-9,2 est un nombre négatif dont la distance à 0 est 9,2.
4,7 est un nombre positif dont la distance à 0 est 4,7.
-5 et 5 sont deux nombres relatifs opposés.

2. Addition de deux nombres relatifs


La somme de deux nombres relatifs de même signe a le même signe que les deux nombres, et une distance à zéro égale à la somme des distances à zéro des deux nombres.



Exemples :
-4,5 + (-7,2) = -(4,5 + 7,2) = -11,7

La somme de deux nombres relatifs de signes opposés a le signe du nombre qui a la plus grande distance à zéro, et une distance à zéro égale à la différence des distances à zéro des deux nombres.



Exemples :
18 + (-15) : la somme aura le signe + car 18 > 15
18 + (-15) = +(18 - 15) = +3 = 3
(-34) + 29 : la somme aura le signe - car 34 > 29
(-34) + 29 = -(34 - 29) = -5

3. Soustraction de nombres relatifs


Soustraire un nombre relatif revient à ajouter son opposé.



Exemples :
4 - 7 = 4 + (-7) : le résultat a le signe - car 7 > 4
4 - 7 = -(7 - 4) = -3
-5 - (-7) = -5 + (+7) = -5 + 7 : le résultat a le signe + car 7 > 5
-5 - (-7) = +(7 - 5) = +2 = 2

4. Multiplication de nombres relatifs


Le produit de deux nombres relatifs de même signe est un nombre positif dont la distance à 0 est le produit des distances à 0 des deux nombres.
Le produit de deux nombres relatifs de signes opposés est un nombre négatif dont la distance à 0 est le produit des distances à 0 des deux nombres.


C'est la règle des signes :
       + par + donne +
       + par - donne -
       - par + donne -
       - par - donne +

Exemples :
(-7) × 4 = -7 × 4 = -28
(-5) × (-3) = +5 × 3 = 15

Produit de plusieurs nombres :
Le produit de plusieurs nombres relatifs est un nombre dont la distance à 0 est le produit des distances à 0 de tous les nombres.
S'il y a un nombre pair de nombres négatifs dans le produit, le résultat est positif.
S'il y a un nombre impair de nombres négatifs dans le produit, le résultat est négatif.


Exemples :
(-4) × 5 × (-6) × (-5) sera négatif, car il y a 3 nombres négatifs sur les 4 facteurs, et 3 est impair.
(-4) × 5 × (-6) × (-5) = -(4 × 5 × 6 × 5) = -600
(-4) × 5 × (-3) × (-5) × (-1,2) sera positif, car il y a 4 nombres négatifs sur les 5 facteurs, et 4 est pair.
(-4) × 5 × (-3) × (-5) × (-1,2) = + (4 × 5 × 3 × 5 × 1,2) = +360 = 360

5. Quotient de nombres relatifs


Le quotient de deux nombres relatifs de même signe est un nombre positif dont la distance à 0 est le quotient des distances à 0 des deux nombres.
Le quotient de deux nombres relatifs de signes opposés est un nombre négatif dont la distance à 0 est le quotient des distances à 0 des deux nombres.


Exemples :

\dfrac{12}{-4} = -\dfrac{12}{4} = -3

\dfrac{-35}{-7} = +\dfrac{35}{7} = +5

6. Enchaînement d'opérations et règles de priorité


Dans un calcul mathématique combinant plusieurs opérations, il faut effectuer les opérations en respectant les règles de priorité.
1. S'il y a des parenthèses ou des crochets, on effectue d'abord le calcul dans les parenthèses et crochets. S'il y a des parenthèses ou crochets à l'intérieur de parenthèses ou crochets, on commence par les parenthèses et crochets les plus intérieurs.
2. On effectue ensuite les multiplications et les divisions de gauche à droite.
3. On termine par les additions et les soustractions de gauche à droite.


On dit que multiplication et division sont prioritaires sur l'addition et la soustraction.

Exemples :
A = 12 - [-4 + (-12) : 6] × [15-7 × (-5)] : 30
On effectue d'abord le calcul des crochets. Dans le premier, d'abord la division prioritaire sur l'addition, et dans le second, d'abord la multiplication prioritaire sur la soustraction.

A = 12 - [-4 + (-2)] × [15 - (-35)] : 30 = 12 - [-6] × [50] : 30
Dans l'expression restante, on effectue d'abord la multiplication du second terme, puis la division ( de gauche à droite )

A = 12 - (-300) : 30 = 12 - (-10)
Il reste la dernière soustraction :

A = 12 - (-10) = 12 + 10 = 22
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