Opérations sur les nombres relatifs en écriture fractionnaire

1. Fractions égales

Si on multiplie ou si on divise le numérateur et le dénominateur d'une fraction par le même nombre non nul, on obtient une fraction égale.
Avec k et b sont non nuls, on a :

$\frac{a}{b} = \frac{a \times k}{b \times k}$ et $\frac{a}{b} = \frac{a:k}{b:k}$

Exemples :
$\frac{3}{7} = \frac{3 \times 5}{7 \times 5} = \frac{15}{35}$ $\frac{25}{100} = \frac{25:25}{100:25} = \frac{1}{4}$

2. Addition de deux fractions

Pour additionner deux fractions, il faut si besoin remplacer les fractions par des fractions égales pour que les deux termes aient le même dénominateur.
On dit qu'on réduit au même dénominateur.
Le résultat est une fraction dont le dénominateur est le dénominateur des deux fractions, et le numérateur la somme des numérateurs.

$\frac{a}{c} + \frac{b}{c} = \frac{a+b}{c}$

Exemples :

$A = \frac{1}{7} + \frac{3}{35}$

Comme $7 \times 5 = 35$ , on peut réduire les deux fractions au dénominateur 35. On transforme la fraction $\frac{1}{7}$ en multipliant le numérateur et le dénominateur par 5, soit $\frac{1}{7} = \frac{5}{35}$ et on ne change pas la deuxième fraction.

$A = \frac{1}{7} + \frac{3}{35} = \frac{5}{35} + \frac{3}{35} = \frac{5+3}{35} = \frac{8}{35}$

$B = \frac{3}{4} + \frac{2}{9}$

On cherche un commun multiple à 4 et 9, le plus petit est le produit des dénominateurs $4 \times 9 = 36$

$B = \frac{3 \times 9}{4 \times 9} + \frac{2 \times 4}{9 \times 4} = \frac{27}{36} + \frac{8}{36} = \frac{27+8}{36} = \frac{35}{36}$

$C= 2 + \frac{3}{5}$

Si un terme est un nombre entier, le transformer en fraction, ici $2 = \frac{10}{5}$ , d'où $C = \frac{10+3}{5} = \frac{13}{5}$

3. Soustraction de deux fractions

Comme pour l'addition, il faut le même dénominateur pour effectuer la soustraction. La différence de deux fractions de même dénominateur a pour numérateur la différence des numérateurs :
$\frac{a}{c} - \frac{b}{c} = \frac{a-b}{c}$

Exemples :

$A = \frac{7}{12} - \frac{2}{15}$

On réduit au même dénominateur : $12 = 3 \times 4$ et $15 = 3 \times 5$ , on choisit $3 \times 4 \times 5 = 60$

$\frac{7 \times 5}{12 \times 5} - \frac{2 \times 4}{15 \times 4} = \frac{35}{60} - \frac{8}{60} = \frac{27}{60}$

On remarque que 27 et 60 sont divisibles par 3, on peut simplifier le résultat : $A = \frac{27}{60} = \frac{27:3}{60:3} = \frac{9}{20}$

4. Multiplication de deux fractions

Le produit de deux fractions est une fraction dont le numérateur est le produit des numérateurs, et le dénominateur le produit des dénominateurs.
Avec b et d non nuls, on a :

$\frac{a}{b} \times \frac{c}{d} = \frac{a \times c}{b \times d}$

Avant d'effectuer les multiplications, pensez à vérifier si on peut simplifier !

Exemples :

$A = \frac{4}{7} \times \frac{35}{12} = \frac{4 \times 35}{7 \times 12} = \frac{4 \times 5 \times 7}{7 \times 3 \times 4}$

On peut simplifier par 4 et 7 :

$A = \frac{5}{3}$

S'il y a des nombres négatifs, appliquer la règle des signes :
un nombre pair de signes - dans un produit donne +
un nombre impair de signes - dans un produit donne -

Exemples : $B = -\frac{3}{5} \times \frac{-10}{9} = +\frac{3 \times 10}{5 \times 9} = \frac{2}{3}$

5. Quotient de deux fractions

a) Inverse d'un nombre différent de 0

Deux nombres sont inverses si leur produit est égal à 1.
0 n'a pas d'inverse, aucun nombre n'a 0 pour inverse.
L'inverse de $a$ non nul se note $\frac{1}{a}$
Si a et b sont différents de 0, l'inverse de la fraction $\frac{a}{b}$ est la fraction $\frac{b}{a}$

b) Quotient

Diviser par un nombre revient à multiplier par son inverse.
Avec b, c et d non nuls on a :

$\frac{a}{b} : \frac{c}{d} = \frac{\frac{a}{b}}{\frac{c}{d}} = \frac{a}{b} \times \frac{d}{c} = \frac{a \times d}{b \times c}$

Exemple :

$A = \frac{7}{33}:\frac{14}{11} = \frac{7 \times 11}{14 \times 33} = \frac{7 \times 11}{2 \times 7 \times 3 \times 11}$

On simplifie par 7 et 11 :

$A = \frac{1}{6}$

Publié par Prof digiSchool le 30-03-2021

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