Fiche de mathématiques
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Calcul littéral : la lettre pour généraliser et prouver

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I. La lettre pour généraliser (produire une expression littérale)



Remarque : le mot "littéral" a la même racine que le mot "lettre"
Définition
Une expression littérale est une expression qui comporte une ou plusieurs lettres.
Les expressions littérales peuvent servir à produire une formule pour généraliser un calcul.

Exemple : Observer la suite de motifs composés de points bleus ci-dessous. Donner le nombre de points bleus en fonction du numéro de l'étape.
 : image 2


Réponse :
Compter à chaque étape le nombre de points bleus est trop long.
On remarque qu'à chaque étape, on rajoute deux points bleus par rapport à l'étape précédente.

À l'étape 0, le nombre de point bleu est 1

À l'étape 1, le nombre de point bleu est 3 soit le point d'origine, auquel on ajoute 2\times 1 points

À l'étape 2, le nombre de point bleu est 5 soit le point d'origine, auquel on ajoute 2\times 2 points

À l'étape 3, le nombre de point bleu est 7 soit le point d'origine, auquel on ajoute 2\times 3 points

\dots

À l'étape n, le nombre de point bleu est 1+2n soit le point d'origine, auquel on ajoute 2\times n points

Si on appelle n le numéro de l'étape, alors le nombre de points bleus est donné par l'expression littérale $1+2 \times n$ .

Si on veut calculer le nombre de points bleus à l'étape 17 par exemple, il suffit de remplacer la lettre $n$ par 17 dans l'expression littérale (voir paragraphe IV. Substituer) : $1+2 \times 17=35$ . Il y a 35 points bleus dans le motif à l'étape 17.

II. La lettre pour prouver (utiliser la distributivité simple)

Propriété de distributivité
Pour n'importe quels nombres k, a et b, l'égalité ci-dessous est vraie :

$k\times(a+b)=k\times a+k \times b

Cette propriété peut servir à prouver que deux expressions littérales sont égales pour n'importe quelles valeurs données aux lettres.

Exemple : On donne les deux programmes de calcul ci-dessous.
 : image 1


Matt affirme : "Si je choisis le même nombre de départ pour les programmes A et B, alors j'obtiens le même résultat final. Ceci est vrai pour n'importe quel nombre de départ que je choisis."
Matt a-t-il raison ? Justifier.

Réponse :
Pour déterminer si Matt a raison, il est impossible de tester les programmes de calcul avec tous les nombres qui existent ! On va donc utiliser des expressions littérales.

Si on appelle n le nombre choisi au départ, alors le résultat du programme A est $2 \times n + 12$ et le résultat du programme B est $2 \times (n+6)$ .

Ces deux expressions littérales sont égales pour n'importe quel nombre n d'après la propriété de distributivité. En effet :
$2 \times (n+6) = 2 \times n + 2 \times 6 = 2 \times n + 12$


Règle d'écriture du signe multiplié
Devant une lettre ou une parenthèse, il n'est pas obligatoire d'écrire le signe de la multiplication.

Exemples :
$2\times n +12$ peut s'écrire $2n+12$
et $2\times (n+6)$ peut s'écrire $2(n+6)$

III. Développer, factoriser, réduire

Définitions
Développer, c'est transformer un produit en une somme.
Factoriser, c'est le contraire de développer : c'est transformer une somme en un produit.
Réduire une expression, c'est l'écrire avec le moins de termes possible.

Remarque : Pour développer, factoriser ou réduire, on utilise la propriété de distributivité.

Méthode
Pour savoir si l'on peut développer ou factoriser une expression, il faut identifier sa structure, c'est-à-dire repérer s'il s'agit d'une somme ou d'un produit.

Exemples :
L'expression 3(y+5) est un produit (c'est le produit de 3 par y+5). On peut la développer, ce qui donne 3y+15.
L'expression 3y+3z est une somme (c'est la somme de 3y et de 3z). On peut la factoriser, ce qui donne 3(y+z).

IV. Substituer pour vérifier ou réfuter (calculer une expression littérale)

Définition
Pour calculer une expression littérale, on remplace la lettre (ou les lettres) par la valeur demandée (ou les valeurs demandées).
Calculer une expression littérale peut être utile pour vérifier un développement ou une factorisation, ou pour donner un contre-exemple.


Exemple : Les égalités ci-dessous sont-elles vraies pour n'importe quelle valeur de la lettre a ? Justifier.

Egalité n°1 :
2+7a=9a

Egalité n°2 :
2\times(5+6a)=10+12a


Réponse :
L'égalité n°1 n'est pas vraie pour n'importe quelle valeur du nombre a car si on remplace par exemple a par 3, alors l'égalité devient fausse :

2+7 \times \textbf{3} \ne 9 \times \textbf{3}

En revanche, l'égalité n°2 est vraie pour n'importe quelle valeur du nombre a. On peut le vérifier en testant plusieurs valeurs, et on le prouve en utilisant la propriété de distributivité.
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