Fiche de mathématiques
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E3C - Epreuve 2 - Voie générale, spécialité mathématiques.

Sujet 1 de la banque nationale

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Durée : 2 heures



Ce sujet est extrait de la banque nationale des sujets E3C-épreuve 2- de la voie générale, spécialité mathématique. Ces sujets dans leur totalité sont consultables dans ce document



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E3C-Banque-Epreuve 2-Voie générale-Spécialité-Sujet 1

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5 points

exercice 1

{\red{\text{Question 1. }}}{\blue{\mathbf{Affirmation\ a :\ }15\sqrt{2}.}}

\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC}=AB\times AC\times\cos(\widehat{BAC}) \\\phantom{\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC}}=5\times 6\times\cos\dfrac{\pi}{4} \\\phantom{\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC}}=5\times 6\times\dfrac{\sqrt{2}}{2} \\\phantom{\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC}}=15\sqrt{2} \\\\\Longrightarrow\boxed{\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC}=15\sqrt{2}}
La réponse correcte est donc la proposition a.

{\red{\text{Question 2. }}}{\blue{\mathbf{Affirmation\ c :\ }-0,5.}}
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Soit le vecteur \overrightarrow{MA} , projection orthogonale du vecteur \overrightarrow{OD} sur le vecteur \overrightarrow{AB}.

\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{OD}=\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{MA} \\\phantom{\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{OD}}=AB\times MA\times\cos\widehat{(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{MA})} \\\phantom{\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{OD}}=1\times 0,5\times\cos\pi \\\phantom{\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{OD}}=1\times 0,5\times(-1) \\\phantom{\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{OD}}=-0,5 \\\\\Longrightarrow\boxed{\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{OD}=-0,5}
La réponse correcte est donc la proposition c.

{\red{\text{Question 3. }}}{\blue{\mathbf{Affirmation\ d :\ }7.}}

(\overrightarrow{u}+\overrightarrow{v}).(2\overrightarrow{u}-\overrightarrow{v})=2\overrightarrow{u}.\overrightarrow{u}-\overrightarrow{u}.\overrightarrow{v}+2\overrightarrow{v}.\overrightarrow{u}-\overrightarrow{v}.\overrightarrow{v} \\\\\text{Or }\left\lbrace\begin{matrix}\overrightarrow{u}.\overrightarrow{u}=||\overrightarrow{u}||^2=2^2=4 \\\\\overrightarrow{u}\perp\overrightarrow{v}\Longrightarrow\overrightarrow{u}.\overrightarrow{v}=\overrightarrow{v}.\overrightarrow{u}=0\\\\\overrightarrow{v}.\overrightarrow{v}=||\overrightarrow{v}||^2=1^2=1 \end{matrix}\right. \Longleftrightarrow\boxed{\left\lbrace\begin{matrix}\overrightarrow{u}.\overrightarrow{u}=4 \\\\\overrightarrow{u}.\overrightarrow{v}=\overrightarrow{v}.\overrightarrow{u}=0\\\\\overrightarrow{v}.\overrightarrow{v}=1 \end{matrix}\right.}

 \\\\\text{D'où }(\overrightarrow{u}+\overrightarrow{v}).(2\overrightarrow{u}-\overrightarrow{v})=2\times4-0+0-1 \\\phantom{\text{D'où }(\overrightarrow{u}+\overrightarrow{v}).(2\overrightarrow{u}-\overrightarrow{v})}=8-1 \\\phantom{\text{D'où }(\overrightarrow{u}+\overrightarrow{v}).(2\overrightarrow{u}-\overrightarrow{v})}=7 \\\\\Longrightarrow\boxed{(\overrightarrow{u}+\overrightarrow{v}).(2\overrightarrow{u}-\overrightarrow{v})=7}
La réponse correcte est donc la proposition d.

{\red{\text{Question 4. }}}{\blue{\mathbf{Affirmation\ d :\ }-\dfrac{1}{3}.}}
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f' (5) est le coefficient directeur de la tangente à la courbe C au point A(5 ; 0).
Cette tangente passe également par le point B(2 ; 1).

Ce coefficient directeur est égal à  
\dfrac{y_B-y_A}{x_B-x_A}=\dfrac{1-0}{2-5}=-\dfrac{1}{3}.
Par conséquent, \boxed{f'(5)=-\dfrac{1}{3}}
La réponse correcte est donc la proposition d.

{\red{\text{Question 5. }}}{\blue{\mathbf{Affirmation\ c :\ }f(x)\ge0.}}
Sur l'intervalle ]-infini ; 0], la fonction f est tantôt décroissante, tantôt croissante.
Donc les propositions a et b ne sont pas correctes.
Sur cet intervalle ]-infini ; 0], la courbe C est située au-dessus de l'axe des abscisses.
Par conséquent, pour tout réel x de l'intervalle ]-infini ; 0], f (x ) supegal 0.
La réponse correcte est donc la proposition c.

5 points

exercice 2

Le résultat, en dizaines de milliers d'euros, réalisé pour la production et la vente de x centaines de litres est donné par la fonction R définie par : R(x)=(5x-30)\,\text{e}^{\overset{.}{-0,25x}}\ \ \ \ \ \ \text{avec }x\in[2\,;\,20]

{\red{1)}}\ \ R(7)=(5\times7-30)\,\text{e}^{-0,25\times7} \\\\\Longrightarrow\boxed{R(7)=5\,\text{e}^{-1,75}\approx0,8689}
Par conséquent, le résultat réalisé par la fabrication et la vente de 7 centaines de litres de produit est de 8 689 euros (arrondi à l'euro).

{\red{2)}}\ \ R(4)=(5\times4-30)\,\text{e}^{-0,25\times4} \\\\\Longrightarrow\boxed{R(4)=-10\,\text{e}^{-1}\approx-3,6788<0}
D'où, pour la fabrication et la vente de 400 litres de produit, l'entreprise réalise un résultat négatif d'environ -36 788 euros (appelé déficit).

3) Résoudre l'inéquation R (x ) supegal 0.  
(5x-30)\,\text{e}^{-0,25x}\ge0 \Longleftrightarrow5x-30\ge0\ \ \ \ \ \ \ (\text{car }\ \text{e}^{-0,25x}>0\ \text{pour tout }x\in\R) \\\phantom{(5x-30)\,\text{e}^{-0,25x}\ge0}\Longleftrightarrow5x\ge30 \\\phantom{(5x-30)\,\text{e}^{-0,25x}\ge0}\Longleftrightarrow x\ge6 \\\\\text{Or }\ x\in[2\,;\,20] \\\\\text{D'où }\boxed{R(x)\ge0\Longleftrightarrow x\in[6\,;\,20]}
Par conséquent, sachant que x représente des centaines de litres, l'entreprise pharmaceutique réalise un bénéfice si elle produit et vend entre 600 litres et 2000 litres de produit par semaine.

4) Un logiciel de calcul formel donne : R'(x)=(-1,25x+12,5)\,\text{e}^{-0,25x}.
Etudions le signe de R' (x ) sur [2 ; 20].
Pour tout réel x , e-0,25x > 0.
Donc le signe de R' (x ) est le signe de (-1,25x + 12,5).

\begin{matrix}{\red{-1,25x+12,5=0}}\Longleftrightarrow 1,25x=12,5 \\\phantom{-8x+24=}\Longleftrightarrow {\red{x=10}} \\\\ {\red{-1,25x+12,5>0}}\Longleftrightarrow 1,25x<12,5 \\\phantom{-8x+24>}\Longleftrightarrow {\red{x<10}} \\\\ {\red{-1,25x+12,5<0}}\Longleftrightarrow 1,25x>12,5 \\\phantom{-8x+24>}\Longleftrightarrow {\red{x>10}} \end{matrix}\ \ \ \ \ \ \ \ \ \begin{matrix}|\\|\\|\\|\\|\\|\\|\\|\\|\end{matrix}\ \ \ \ \ \ \begin{matrix} \\\dfrac{}{}\ \ \ \ \ \ \begin{array}{|c|ccccc|}\hline&&&&&\\ x&2&&10&&20\\&&&&& \\\hline &&&&&&-1,25x+12,5&&+&0&-&\\&&&&&\\\hline&&&&&&R\,'(x)&&+&0&-&\\&&&&&\\\hline \end{array}\end{matrix}

Nous en déduisons le tableau de variations de la fonction R sur l'intervalle [2 ; 20].

\underline{\text{Calcul préliminaire }}\\\\R(2)=(5\times2-30)\,\text{e}^{-0,25\times2}=-20\,\text{e}^{-0,5}\approx-12,1306.\\R(10)=(5\times10-30)\,\text{e}^{-0,25\times10}=20\,\text{e}^{-2,5}\approx1,6417. \\R(20)=(5\times20-30)\,\text{e}^{-0,25\times20}=70\,\text{e}^{-5}\approx-0,4717.\\\\\dfrac{}{}\ \ \ \ \ \ \begin{array}{|c|cccccc|}\hline&&&&&&\\ x&2&&10&&20&\\&&&&&& \\\hline &&&&&&&R\,'(x)&&+&0&-&&\\&&&&&&\\\hline&&&{\red{20\,\text{e}^{-2,5}\approx1,6417}}&&&&R(x)&&\nearrow&&\searrow&&\\&-20\,\text{e}^{-0,5}\approx-12,1306&&&&70\,\text{e}^{-5}\approx-0,4717&\\\hline \end{array}

Par conséquent, la fonction R est strictement croissante sur l'intervalle [2 ; 10]
                                                                          strictement décroissante sur l'intervalle [10 ; 20]

La fonction R admet donc un maximum pour x = 10.
Nous en déduisons que l'entreprise doit produire et vendre 1000 litres de produit pour réaliser un bénéfice maximal.

5 points

exercice 3

1) Une augmentation de 2% correspond à un coefficient multiplicateur égal à 1 + 0,02 = 1,02.

\text{Dès lors, }\ u_0=1\,200 \\\\\phantom{\text{Dès lors, }\ }u_1=1,02\times u_0 \\\phantom{\text{Dès lors, }\ u_1}=1,02\times 1\,200 \\\phantom{\text{Dès lors, }\ u_1}=1\,224 \\\\\phantom{\text{Dès lors, }\ }u_2=1,02\times u_1 \\\phantom{\text{Dès lors, }\ u_2}=1,02\times 1\,224 \\\phantom{\text{Dès lors, }\ u_2}=1\,248,48 \\\\\Longrightarrow\boxed{u_2=1\,248,48}
Par conséquent, environ 1248 journaux seront vendus la deuxième semaine après le début de l'opération.

2) Pour tout entier naturel n , le nombre de journaux un +1 vendus durant la (n +1)ième semaine est égal au nombre de journaux un vendus durant la n ième semaine augmenté de 2 % de un .
Or une augmentation de 2 % correspond à un coefficient multiplicateur de 1 + 0,02 = 1,02.
Par conséquent, pour tout entier naturel n , \overset{.}{\boxed{u_{n+1}=1,02\times u_n}}

3) Programme rédigé en langage Python (une faute de frappe dans l'énoncé a été corrigée - écrire S au lieu de a)

           \begin{array}{|c|}\hline \text{d}\text{e}\text{f}\ \text{suite}\text{(\ )}:\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \  \\\text{u}=1200\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \  \\\text{S}=1200\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \  \\\text{n}=0\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \  \\\text{while S}<30000:\ \  \\\text{n = n}+1\ \ \\\ \ \text{u = u}*1.02\ \ \\\text{S = S}+\text{u}\ \  \\\text{return (n)}\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \  \\\hline\end{array}
Le programme retourne la valeur 20 (une faute de frappe dans l'énoncé a été corrigée - écrire 20 au lieu de 30).

Dans le contexte de l'exercice, l'exécution de ce programme nous indique qu'il faudra au moins 20 semaines pour que le nombre total de journaux vendus soit supérieur à 30 000.

4) Le nombre total d'hebdomadaires vendus au bout d'un an se détermine en ajoutant le nombre d'exemplaires u0 vendus lors du lancement de l'hebdomadaire à la somme des journaux vendus pendant les 52 semaines suivant ce lancement.
Nous devons donc calculer la somme  S=u_0+u_1+u_2+\cdots+u_{52}.
Or, par la question 2, nous savons que la suite (un ) est une suite géométrique de raison q = 1,02 dont le premier terme est u0 = 1200.
La somme S comprend 53 termes. 
S=\text{premier terme}\times\dfrac{1-\text{raison}^{\text{nombre de termes}}}{1-\text{raison}}

\text{Dès lors, }\ S=1\,200\times\dfrac{1-1,02^{53}}{1-1,02}\approx111\,380\\\\\Longrightarrow\boxed{S\approx111\,380}
Par conséquent, au bout d'un an, il aura été vendu environ 111 380 hebdomadaires.

5 points

exercice 4

1) Arbre pondéré de probabilités traduisant la situation à ce stade de l'exercice :
E3C-Banque-Epreuve 2-Voie générale-spécialité-Sujet 1 et son corrigé : image 11

Nous savons également que P(A\cap V)=0,12.

Nous devons calculer P_A(V). 
P_A(V)=\dfrac{P(A\cap V)}{P(A)}=\dfrac{0,12}{0,4}=0,3\Longrightarrow\boxed{P_A(V)=0,3}

Nous obtenons ainsi l'arbre pondéré complété :
E3C-Banque-Epreuve 2-Voie générale-spécialité-Sujet 1 et son corrigé : image 12


2) Nous devons calculer P (V ).
En utilisant la formule des probabilités totales, nous obtenons : 
P(V)= P(A\cap V)+P(\overline{A}\cap  V) \\\phantom{P(V)}=0,12+P(\overline{A})\times P_{\overline{A}}(  V)\\\phantom{P(V)}=0,12+0,6\times0,5\\\phantom{P(V)}=0,12+0,3\\\phantom{P(V)}=0,42\\\\\Longrightarrow\boxed{P(V)=0,42}

3) Nous devons calculer P_{\overline{V}}(A).

P_{\overline{V}}(A)=\dfrac{P(A\cap\overline{V})}{P(\overline{V})} \\\\\phantom{P_{\overline{V}}(A)}=\dfrac{P(A)\times P_A(\overline{V})}{1-P(V)} \\\\\phantom{P_{\overline{V}}(A)}=\dfrac{0,4\times 0,7}{1-0,42}=\dfrac{0,28}{0,58}\approx0,48 \\\\\Longrightarrow\boxed{P_{\overline{V}}(A)\approx0,48}
Par conséquent, sachant que le client n'a pas choisi l'option "visites guidées", la probabilité qu'il ait pris l'avion est environ égale à 0,48 (valeur arrondie au centième).

4) Nous avons montré dans la question 2) que P (V ) = 0,42, et par suite, nous obtenons  P(\overline{V})=1-P(V)=1-0,42=0,58.

Précisons les événements en notant V1 l'événement "le premier client a choisi l'option "visites guidées"" et V2 l'événement "le second client a choisi l'option "visites guidées"" .

Nous pouvons ainsi établir l'arbre pondéré de probabilités correspondant à la situation :

E3C-Banque-Epreuve 2-Voie générale-spécialité-Sujet 1 et son corrigé : image 13


Les événements V1 et V2 étant indépendants, les événements \overline{V_1} et \overline{V_2} le sont également.
Dans ce cas, nous savons que P(\overline{V_1}\cap \overline{V_2})=P(\overline{V_1})\times P(\overline{V_2}) .
Dès lors, P(\overline{V_1}\cap \overline{V_2})=0,58\times0,58=0,3364.
Par conséquent, la probabilité qu'aucun des deux clients ne prennent l'option "visites guidées" est égale à 0,3364.
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