Ce sujet est extrait de la banque nationale des sujets E3C-épreuve 2- de la voie générale, spécialité mathématique. Ces sujets dans leur totalité
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La courbe possède un maximum.
Nous en déduisons que a < 0.
La courbe coupe l'axe des abscisses en deux points.
La fonction g admet donc deux racines distinctes.
Nous en déduisons que > 0. La réponse correcte est donc la proposition c.
La fonction g est négative sur l'ensemble ]- ; 1] [5 ; +[
positive sur l'intervalle [1 ; 5].
Or la fonction g est la dérivée de la fonction f.
Nous obtenons ainsi le tableau de signes de la dérivée f' et les variations de f .
La réponse correcte est donc la proposition c.
Une équation de la tangente à la courbe représentative de f au point d'abscisse 3 est de la forme
Or f'(3) = g(3) = 4 (voir le graphique de la question 1)
f(3) = 7 (voir énoncé)
D'où une équation de la tangente à la courbe représentative de f au point d'abscisse 3 est y = 4(x - 3) + 7, soit y = 4x - 12 + 7, soit y = 4x - 5. La réponse correcte est donc la proposition d.
Nous voulons déterminer une équation cartésienne de la droite (d ) perpendiculaire à (AB) et passant par C.
Une équation cartésienne de la droite (d ) est de la forme ax + by + c = 0.
Nous savons que le vecteur de coordonnées (a ; b ) est un vecteur normal à cette droite (d ).
Puisque la droite (d ) est perpendiculaire à (AB), nous pouvons prendre comme vecteur un vecteur directeur de (AB), soit le vecteur .
Dès lors, (a ; b ) = (-2 ; 3).
Dans ce cas, une équation cartésienne de la droite (d ) est de la forme -2x + 3y + c = 0.
Nous savons également que le point C(1 ; -3) appartient à la droite (d ).
Dans l'équation de (d ), remplaçons x par 1 et y par -3.
-2 1 + 3 (-3) + c = 0 - 2 - 9 + c = 0 c = 11.
Par conséquent, une équation cartésienne de la droite (d ) est -2x + 3y + 11 = 0. La réponse correcte est donc la proposition a.
Calculons le produit scalaire de deux manières différentes. Première manière
Deuxième manière
En identifiant ces deux résultats du produit scalaire, nous déduisons que :
Par conséquent, La réponse correcte est donc la proposition c.
5 points
exercice 2
1. Pour tout entier naturel n , le nombre de millions de tonnes un +1 pour l'année (2000 + (n +1)) est égal au nombre de millions de tonnes un pour l'année (2000+n ) augmenté de 3,7 %.
Or une augmentation de 3,7 % correspond à un coefficient multiplicateur de 1 + 0,037 = 1,037.
Par conséquent, pour tout entier naturel n ,
Nous en déduisons que la suite (un ) est une suite géométrique de raison q = 1,037 dont le premier terme est u0=187.
2. Le terme général de la suite (un ) est .
Donc, pour tout entier naturel n ,
3. Etudions le sens de variation de la suite (un ).
Nous savons que dans le cas d'une suite géométrique (un ), si la raison q est strictement supérieure à 1 et si le premier terme u0 est strictement positif, alors cette suite géométrique (un ) est croissante.
Or q = 1,037 > 1 et u0 = 187 > 0.
Nous en déduisons que la suite (un ) est croissante.
4. Le rang correspondant à l'année 2019 est n = 19.
Par conséquent, selon cette estimation, la production mondiale de plastique en 2019 est évaluée à 373 millions de tonnes.
5. La quantité mondiale de plastique produite de 2000 à 2019 est donnée en millions de tonnes par la somme
D'où la quantité mondiale de plastique produite de 2000 à 2019 est d'environ 5398 millions de tonnes.
20 % de cette quantité totale se retrouvent dans les océans, soit 0,20 5398 millions de tonnes, soit 1079,6 millions de tonnes.
30 % de ces déchets sont des déchets flottants, soit 0,30 1079,6 millions de tonnes, soit 323,88 millions de tonnes.
Par conséquent, la quantité totale de déchets flottants sur l'océan dus à la production de plastique de 2000 à 2019 compris est d'environ 324 millions de tonnes.
5 points
exercice 3
1. L'information donnée par le nombre 0,6 sur la branche de B1 à C peut s'exprimer par : la probabilité que le cookie soit au chocolat sachant qu'il provient de la boulangerie B1 est égale à 0,6.
2. Arbre pondéré complété :
3. L'événement B1C peut se traduire par : "Le cookie provient de la boulangerie B1 et est au chocolat ".
4. Nous devons calculer P (C ).
En utilisant la formule des probabilités totales, nous obtenons :
5. Nous devons calculer
Par conséquent, sachant que le cookie est au chocolat, la probabilité qu'il provienne de la boulangerie B2 est environ égale à 0,265 (valeur arrondie au millième).
5 points
exercice 4
1. Etudions le signe de la fonction polynôme du second degré P définie sur par P (x ) = x2 + 4x + 3.
Le polynôme du second degré P (x ) est du signe du coefficient de x2 (soit positif) pour les valeurs de x à l'extérieur des racines et du signe contraire (soit négatif) pour les valeurs de x comprises entre les racines.
Nous obtenons ainsi le tableau de signes de P (x ).
Par conséquent, P (x ) > 0 si x ]- ; -3[ ]-1 ; +[ P (x ) = 0 si x = -3 ou x = -1 P (x ) < 0 si x ]-3 ; -1[.
2. Soit la fonction f définie sur ]-2 ; +[ par
Déterminons l'expression de f' (x ).
3. Si x ]-2 ; +[ , alors x > -2, soit x + 2 > 0.
D'où (x + 2)2 > 0.
Nous en déduisons que le signe de f' (x ) sera le signe de P (x ).
Dès lors, nous obtenons le tableau de signes de f' (x ) et de variation de f sur l'intervalle ]-2 ; +[.
4. A l'aide du tableau de variation de f , nous déduisons que cette fonction f admet un minimum sur ]-2 ; +[ égal à -1.
Ce minimum est atteint pour x = -1.
5. Le coefficient directeur de la tangente T à la courbe Cf au point d'abscisse 2 est donné par f' (2).
Par conséquent, le coefficient directeur de la tangente T à la courbe Cf au point d'abscisse 2 est égal à
Publié par malou
le
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