Fiche de mathématiques
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E3C - Epreuve 2 - Voie générale, spécialité mathématiques.

Sujet 13 de la banque nationale

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Durée : 2 heures



Ce sujet est extrait de la banque nationale des sujets E3C-épreuve 2- de la voie générale, spécialité mathématique. Ces sujets dans leur totalité sont consultables dans ce document



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E3C-Banque-Epreuve 2-Voie générale-spécialité-Sujet 13

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5 points

exercice 1

{\red{\text{Question 1. }}}{\blue{\mathbf{Affirmation\ c):\ }a<0\ \ \text{et}\ \ \Delta>0.}}
La courbe \mathscr{C}_g possède un maximum.
Nous en déduisons que a < 0.

La courbe \mathscr{C}_g coupe l'axe des abscisses en deux points.
La fonction g admet donc deux racines distinctes.
Nous en déduisons que deltamaj > 0.
La réponse correcte est donc la proposition c.

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{\red{\text{Question 2. }}}{\blue{\mathbf{Affirmation\ c)}.}}
La fonction g  est négative sur l'ensemble ]-infini ; 1] union [5 ; +infini[
                                       positive sur l'intervalle [1 ; 5].
Or la fonction g  est la dérivée de la fonction f.
Nous obtenons ainsi le tableau de signes de la dérivée f'  et les variations de f .

                \begin{array}{|c|ccccccc|}\hline&&&&&&&\\ {\blue{x}}&{\blue{-\infty}}&&{\blue{1}}&&{\blue{5}}&&{\blue{+\infty}}\\&&&&&&& \\\hline &&&&&&&&g(x)=f'(x)&&-&0&+&0&-&\\&&&&&&&\\\hline{\blue{\text{Variations }}}&&&&&&&&{\blue{\text{de }f}}&&{\blue{\searrow}}&&{\blue{\nearrow}}&&{\blue{\searrow}}&\\&&&&&&&\\\hline \end{array}
La réponse correcte est donc la proposition c.

{\red{\text{Question 3. }}}{\blue{\mathbf{Affirmation\ d):\ }y=4x-5.}}
Une équation de la tangente à la courbe représentative de f  au point d'abscisse 3 est de la forme   y=f'(3)(x-3)+f(3).
Or f'(3) = g(3) = 4 (voir le graphique de la question 1)
       f(3) = 7 (voir énoncé)
D'où une équation de la tangente à la courbe représentative de f  au point d'abscisse 3 est y  = 4(x - 3) + 7,
soit y  = 4x - 12 + 7, soit y  = 4x - 5.
La réponse correcte est donc la proposition d.

{\red{\text{Question 4. }}}{\blue{\mathbf{Affirmation\ a):\ }-2x+3y+11=0.}}
Nous voulons déterminer une équation cartésienne de la droite (d ) perpendiculaire à (AB) et passant par C.
Une équation cartésienne de la droite (d ) est de la forme ax  + by  + c  = 0.
Nous savons que le vecteur  \overrightarrow{n}  de coordonnées (a  ; b ) est un vecteur normal à cette droite (d ).
Puisque la droite (d ) est perpendiculaire à (AB), nous pouvons prendre comme vecteur  \overrightarrow{n}  un vecteur directeur de (AB), soit le vecteur  \overrightarrow{AB} .
\text{Or }\ \overrightarrow{AB}:(x_B-x_A\,;\,y_B-y_A)=(3-5\,;\,2-(-1))=(-2,;\,3)
Dès lors, (a  ; b ) = (-2 ; 3).
Dans ce cas, une équation cartésienne de la droite (d ) est de la forme -2x  + 3y  + c  = 0.

Nous savons également que le point C(1 ; -3) appartient à la droite (d ).
Dans l'équation de (d ), remplaçons x  par 1 et y  par -3.
-2 multiplie 1 + 3 multiplie (-3) + c  = 0 equivaut - 2 - 9 + c  = 0 equivaut c  = 11.
Par conséquent, une équation cartésienne de la droite (d ) est -2x  + 3y  + 11 = 0.
La réponse correcte est donc la proposition a.

{\red{\text{Question 5. }}}{\blue{\mathbf{Affirmation\ c):\ }55.}}
Calculons le produit scalaire  \overrightarrow{BA}.\overrightarrow{BC}  de deux manières différentes. 
Première manière  
\overrightarrow{BA}.\overrightarrow{BC}=x_{\overrightarrow{BA}}\times x_{\overrightarrow{BC}}+y_{\overrightarrow{BA}}\times y_{\overrightarrow{BC}} \\\\\text{Or }\left\lbrace\begin{matrix}\overrightarrow{BA}(x_A-x_B\,;\,y_A-y_B)=(5-3\,;\,-1-2)\\\overrightarrow{BC}(x_C-x_B\,;\,y_C-y_B)=(1-3\,;\,-3-2)\end{matrix}\right.\ \ \ \Longleftrightarrow\ \ \left\lbrace\begin{matrix}\overrightarrow{BA}(2\,;\,-3)\\\overrightarrow{BC}(-2\,;\,-5)\end{matrix}\right. \\\\\text{D'où }\ \overrightarrow{BA}.\overrightarrow{BC}=2\times(-2)+(-3)\times(-5) \\\phantom{\text{D'où }\ \overrightarrow{BA}.\overrightarrow{BC}}=-4+15 \\\phantom{\text{D'où }\ \overrightarrow{BA}.\overrightarrow{BC}}=11 \\\\\Longrightarrow\boxed{\overrightarrow{BA}.\overrightarrow{BC}=11}

Deuxième manière  
\overrightarrow{BA}.\overrightarrow{BC}=BA\times BC\times\cos(\widehat{ABC}) \\\\\text{Or }\ \left\lbrace\begin{matrix}BA=\sqrt{(x_{\overrightarrow{BA}})^2+(y_{\overrightarrow{BA}})^2}=\sqrt{2^2+(-3)^2}=\sqrt{4+9}\\BC=\sqrt{(x_{\overrightarrow{BC}})^2+(y_{\overrightarrow{BC}})^2}=\sqrt{(-2)^2+(-5)^2}=\sqrt{4+25}\end{matrix}\right.\ \ \ \Longleftrightarrow\ \ \left\lbrace\begin{matrix}BA=\sqrt{13}\\BC=\sqrt{29}\end{matrix}\right. \\\\\text{D'où }\ \overrightarrow{BA}.\overrightarrow{BC}=\sqrt{13}\times \sqrt{29}\times\cos(\widehat{ABC}) \\\phantom{\text{D'où }\ \overrightarrow{BA}.\overrightarrow{BC}}=\sqrt{377}\times\cos(\widehat{ABC}) \\\\\Longrightarrow\boxed{\overrightarrow{BA}.\overrightarrow{BC}=\sqrt{377}\times\cos(\widehat{ABC})}

En identifiant ces deux résultats du produit scalaire, nous déduisons que :  \sqrt{377}\times\cos(\widehat{ABC})=11.
Par conséquent,  \cos(\widehat{ABC})=\dfrac{11}{\sqrt{377}}\Longrightarrow\overset{.}{\boxed{\widehat{ABC}\approx55^{\circ}\ \ \ \ \ (\text{arrondi au degré)}}}
La réponse correcte est donc la proposition c.

5 points

exercice 2

1.  Pour tout entier naturel n , le nombre de millions de tonnes un +1 pour l'année (2000 + (n +1)) est égal au nombre de millions de tonnes un   pour l'année (2000+n ) augmenté de 3,7 %.
Or une augmentation de 3,7 % correspond à un coefficient multiplicateur de 1 + 0,037 = 1,037.
Par conséquent, pour tout entier naturel n , \overset{.}{\boxed{u_{n+1}=1,037\times u_n}}
Nous en déduisons que la suite (un ) est une suite géométrique de raison q  = 1,037 dont le premier terme est u0=187.

2.  Le terme général de la suite (un ) est  u_n=u_0\times q^{n} .
Donc, pour tout entier naturel n ,   \overset{.}{\boxed{u_n=187\times1,037^{n}}}

3.  Etudions le sens de variation de la suite (un ).
Nous savons que dans le cas d'une suite géométrique (un ), si la raison q  est strictement supérieure à 1 et si le premier terme u0 est strictement positif, alors cette suite géométrique (un ) est croissante.
Or q  = 1,037 > 1 et u0 = 187 > 0.
Nous en déduisons que la suite (un ) est croissante.

4.  Le rang correspondant à l'année 2019 est n  = 19. 
 u_{19}=187\times1,037^{19}\Longrightarrow\boxed{u_{19}\approx373}
Par conséquent, selon cette estimation, la production mondiale de plastique en 2019 est évaluée à 373 millions de tonnes.

5.  La quantité mondiale de plastique produite de 2000 à 2019 est donnée en millions de tonnes par la somme   
 S=u_0+u_1+u_2+\cdots+u_{18}+u_{19}\\ \\\phantom{S}=\text{premier terme}\times\dfrac{1-\text{raison}^{\text{nombre de termes}}}{1-\text{raison}}\\\\\phantom{S}=187\times\dfrac{1-1,037^{20}}{1-1,037}\approx5398
D'où la quantité mondiale de plastique produite de 2000 à 2019 est d'environ 5398 millions de tonnes.
20 % de cette quantité totale se retrouvent dans les océans, soit 0,20 multiplie 5398 millions de tonnes, soit 1079,6 millions de tonnes.
30 % de ces déchets sont des déchets flottants, soit 0,30 multiplie 1079,6 millions de tonnes, soit 323,88 millions de tonnes.
Par conséquent, la quantité totale de déchets flottants sur l'océan dus à la production de plastique de 2000 à 2019 compris est d'environ 324 millions de tonnes.

5 points

exercice 3

1.  L'information donnée par le nombre 0,6 sur la branche de B 1 à C  peut s'exprimer par : la probabilité que le cookie soit au chocolat sachant qu'il provient de la boulangerie B 1 est égale à 0,6.

2.  Arbre pondéré complété :

                  
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3.  L'événement B1 inter C  peut se traduire par : "Le cookie provient de la boulangerie B1 et est au chocolat ". 
P(B_1\cap C)=P(B_1)\times P_{B_1}(C) \\\phantom{P(B_1\cap C)}=0,49\times0,6 \\\phantom{P(B_1\cap C)}=0,294 \\\\\Longrightarrow\boxed{P(B_1\cap C)=0,294}

4.  Nous devons calculer P (C ).
En utilisant la formule des probabilités totales, nous obtenons : 
P(C)= P(B_1\cap C)+P(B_2\cap C)+P(B_3\cap C) \\\phantom{P(C)}=0,294+P(B_2)\times P_{B_2}(C)+P(B_3)\times P_{B_3}(C)\\\phantom{P(C)}=0,294+0,36\times0,4+0,15\times0,7\\\phantom{P(C)}=0,294+0,144+0,105\\\phantom{P(C)}=0,543\\\\\Longrightarrow\boxed{P(C)=0,543}

5. Nous devons calculer P_{C}(B_2).

P_{C}(B_2)=\dfrac{P(B_2\cap C)}{P(C)} \\\\\phantom{P_{C}(B_2)}=\dfrac{P(B_2)\times P_{B_2}(C)}{P(C)} \\\\\phantom{P_{C}(B_2)}=\dfrac{0,36\times 0,4}{0,543}=\dfrac{0,144}{0,543} \\\\\Longrightarrow\boxed{P_{C}(B_2)=\dfrac{0,144}{0,543}\approx0,265}
Par conséquent, sachant que le cookie est au chocolat, la probabilité qu'il provienne de la boulangerie B2 est environ égale à 0,265 (valeur arrondie au millième).

5 points

exercice 4

1.  Etudions le signe de la fonction polynôme du second degré P  définie sur R par P (x ) = x 2 + 4x  + 3.

\\\underline{\text{Discriminant}} : \Delta=4^2-4\times1\times3 \\\phantom{\underline{\text{Discriminant}} : \Delta}=16-12 \\\phantom{\underline{\text{Discriminant}} : \Delta}=4>0 \\\\\underline{\text{Racines}} : x_1=\dfrac{-4-\sqrt{4}}{2}=\dfrac{-4-2}{2}=\dfrac{-6}{2}=-3 \\\\\phantom{\underline{\text{Racines}} : }x_2=\dfrac{-4+\sqrt{4}}{2}=\dfrac{-4+2}{2}=\dfrac{-2}{2}=-1
Le polynôme du second degré P (x ) est du signe du coefficient de x 2 (soit positif) pour les valeurs de x  à l'extérieur des racines et du signe contraire (soit négatif) pour les valeurs de x  comprises entre les racines.
Nous obtenons ainsi le tableau de signes de P (x ).

                           \begin{array}{|c|ccccccc|}\hline&&&&&&&\\ x&-\infty&&-3&&-1&&+\infty\\&&&&&&& \\\hline &&&&&&&&P(x)=x^2+4x+3&&+&0&-&0&+&\\&&&&&&&\\\hline \end{array}
 
Par conséquent,  P (x ) > 0 si x  appartient ]-infini ; -3[ union ]-1 ; +infini[
                                      P (x ) = 0 si x  = -3 ou x  = -1
                                      P (x ) < 0 si x  appartient ]-3 ; -1[.


2.  Soit la fonction f  définie sur ]-2 ; +infini[ par  f(x)=\dfrac{x^2+x-1}{x+2} 
Déterminons l'expression de f' (x ).

f'(x)=\left(\dfrac{x^2+x-1}{x+2}\right)'\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ {\red{\text{Remarque :}\ \left(\dfrac{u}{v}\right)'=\dfrac{u'\times v-u\times v'}{v^2}}} \\\\\phantom{f'(x)}=\dfrac{(x^2+x-1)'\times (x+2)-(x^2+x-1)\times(x+2)'}{(x+2)^2} \\\\\phantom{f'(x)}=\dfrac{(2x+1)\times (x+2)-(x^2+x-1)\times1}{(x+2)^2} \\\\\phantom{f'(x)}=\dfrac{(2x^2+4x+x+2)-(x^2+x-1)}{(x+2)^2} \\\\\phantom{f'(x)}=\dfrac{2x^2+4x+x+2-x^2-x+1}{(x+2)^2} \\\\\phantom{[tex]f'(x)}=\dfrac{x^2+4x+3}{(x+2)^2}\ \ \ \ \ \ \ \ \ \text{avec }\ P(x)=x^2+4x+3 \\\\\Longrightarrow\boxed{f'(x)=\dfrac{P(x)}{(x+2)^2}}

3.  Si x  appartient ]-2 ; +infini[ , alors x  > -2, soit x  + 2 > 0.
D'où (x  + 2)2 > 0.
Nous en déduisons que le signe de f' (x ) sera le signe de P (x ).
Dès lors, nous obtenons le tableau de signes de f' (x ) et de variation de f  sur l'intervalle ]-2 ; +infini[.

\underline{\text{Calcul préliminaire }}:  f(-1)=\dfrac{(-1)^2+(-1)-1}{-1+2}=\dfrac{1-1-1}{1}=-1 \\\\\phantom{WWWWWWW}\begin{array}{|c|ccccc|}\hline &&&&&\\ x&-2&&-1&&+\infty\\&&&&&\\\hline &|&&&& \\ P(x)&|&-&0&+& \\ &|&&&&\\\hline &|&&&& \\ f'(x)&|&-&0&+& \\ &|&&&& \\\hline &|&&&& \\ f(x)&|&\searrow&&\nearrow& \\ &|&&-1&& \\ \hline \end{array}

4.  A l'aide du tableau de variation de f , nous déduisons que cette fonction f  admet un minimum sur ]-2 ; +infini[ égal à -1.
Ce minimum est atteint pour x  = -1.


5.  Le coefficient directeur de la tangente T  à la courbe Cf  au point d'abscisse 2 est donné par f' (2).

f'(x)=\dfrac{x^2+4x+3}{(x+2)^2}\Longrightarrow f'(2)=\dfrac{2^2+4\times2+3}{(2+2)^2} \\\\\phantom{WWWWWWWWWWWW..}=\dfrac{4+8+3}{4^2} \\\\\phantom{WWWWWWWWWWWW..}=\dfrac{15}{16} \\\\\Longrightarrow\boxed{f'(2)=\dfrac{15}{16}}
Par conséquent, le coefficient directeur de la tangente T  à la courbe Cf  au point d'abscisse 2 est égal à  \dfrac{15}{16}.
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