Fiche de mathématiques
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E3C - Epreuve 2 - Voie générale, spécialité mathématiques.

Sujet 32 de la banque nationale

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Durée : 2 heures



Ce sujet est extrait de la banque nationale des sujets E3C-épreuve 2- de la voie générale, spécialité mathématique. Ces sujets dans leur totalité sont consultables dans ce document

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E3C-Banque-Epreuve 2-Voie générale-spécialité-Sujet 32

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5 points

exercice 1

{\red{\text{Question 1. }}}{\blue{\mathbf{Affirmation\ b. :\ }\text{L'équation }P(x)=0\text{ a une unique solution sur }\R.}} 
P(x)=0\Longleftrightarrow(x^2+x+1)(x-1)=0\\\phantom{P(x)=0}\Longleftrightarrow {\magenta{x^2+x+1=0}}\ \ \text{ou}\ \ \ {\blue{x-1=0}} \\\bullet \ \  {\magenta{x^2+x+1=0}} \\\phantom{\bullet \ \  }\text{Discriminant : }\Delta=1^2-4\times1\times1=1-4=-3<0 \\\phantom{\bullet \ \  }\text{D'où l'équation }x^2+x+1=0\text{ n'admet pas de racine dans }\R. \\\bullet \ \  {\blue{x-1=0}}\Longleftrightarrow \boxed{x=1} 
Par conséquent, l'équation P (x ) = 0 n'admet qu'une seule solution réelle : x  = 1.
La réponse correcte est donc la proposition b.


{\red{\text{Question 2. }}}{\blue{\mathbf{Affirmation\ c. :\ }\text{L'équation }f(x)=0\text{ admet }x=\dfrac{23}{7}\text{ comme solution}.}} 
f(x)=0\Longleftrightarrow(7x-23)(\text{e}^x+1)=0\\\phantom{f(x)=0}\Longleftrightarrow {\magenta{7x-23=0}}\ \ \text{ou}\ \ \ {\blue{\text{e}^x+1=0}} \\\bullet \ \  {\magenta{7x-23=0}}\Longleftrightarrow7x=23 \\\phantom{\bullet \ \  {\red{7x-23=0}}}\Longleftrightarrow\boxed{x=\dfrac{23}{7}} \\\\\bullet \ \  {\blue{\text{e}^x+1=0}}\Longleftrightarrow \text{e}^x=-1\ \ \ \ \text{\underline{Impossible} car }\text{e}^x>0\text{ pour tout réel }x. 
Par conséquent, l'équation f (x ) = 0 admet  \dfrac{23}{7}  comme unique solution.
La réponse correcte est donc la proposition c.


{\red{\text{Question 3. }}}{\blue{\mathbf{Affirmation\ c. :\ }(x+4)^2+(y-2)^2=2}} 
Une équation du cercle de centre omegamaj(a  ; b ) et de rayon r  est de la forme :  \boxed{(x-a)^2+(y-b)^2=r^2}.}
Or le cercle donné est de centre A(-4 ; 2).
Donc a  = -4 et b  = 2.
Le rayon du cercle est  r=\sqrt{2}. 
Donc  r^2=(\sqrt{2})^2=2.
Par conséquent, une équation du cercle de centre A(-4 ; 2) et de rayon  r=\sqrt{2}  est :  \left(\overset{}{x-(-4)}\right)^2+(y-2)^2=2, soit  \boxed{(x+4)^2+(y-2)^2=2}.
La réponse correcte est donc la proposition c.


{\red{\text{Question 4. }}}{\blue{\mathbf{Affirmation\ b. :\ }m=-2}} 
\text{Les vecteurs }\overrightarrow{u}\text{ et }\overrightarrow{v}\text{ sont orthogonaux}\Longleftrightarrow\overrightarrow{u}.\overrightarrow{v}=0 \\\phantom{WWWWWWWWWWWWWWWw}\Longleftrightarrow x_{\overrightarrow{u}}\times x_{\overrightarrow{v}}+y_{\overrightarrow{u}}\times y_{\overrightarrow{v}}=0 \\\phantom{WWWWWWWWWWWWWWWw}\Longleftrightarrow (m+1)\times m+(-1)\times2=0 \\\phantom{WWWWWWWWWWWWWWWw}\Longleftrightarrow m(m+1)-2=0 \\\phantom{WWWWWWWWWWWWWWWw}\Longleftrightarrow m^2+m-2=0
Résolvons l'équation du deuxième degré : m 2 + m  - 2 = 0.

\text{Discriminant : }\Delta=1^2-4\times1\times(-2) \\\phantom{\text{Discriminant : }\Delta}=1+8 \\\phantom{\text{Discriminant : }\Delta}=9>0 \\\text{Racines de l'équation : }m_1=\dfrac{-1-\sqrt{9}}{2}=\dfrac{-1-3}{2}=\dfrac{-4}{2}=-2\Longrightarrow\boxed{m_1=-2} \\\phantom{WWWWWWWWW...}m_2=\dfrac{-1+\sqrt{9}}{2}=\dfrac{-1+3}{2}=\dfrac{2}{2}=1\Longrightarrow\boxed{m_2=1}
Par conséquent, une valeur de m  pour laquelle les vecteurs  \overrightarrow{u}  et  \overrightarrow{v}  sont orthogonaux est m = -2.
La réponse correcte est donc la proposition b.


{\red{\text{Question 5. }}}{\blue{\mathbf{Affirmation\ b. :\ }x-3y+17=0}} 
Nous savons que si une droite admet une équation cartésienne de la forme ax  + by  + c  = 0, alors le vecteur  \overrightarrow{n}  de coordonnées (a  ; b ) est un vecteur normal à cette droite.
Or un vecteur normal de la droite D  est  \overrightarrow{n}(-1\,;\,3) .
Dès lors, une équation cartésienne de la droite D  est de la forme -x  + 3y  +  c  = 0.
De plus, le point A (-2 ; 5) appartient à cette droite D .
Ses coordonnées vérifient donc l'équation de D .
D'où -(-2) + 3multiplie 5 + c  = 0 equivaut 2 + 15 + c  = 0 equivaut c  = -17.
Par conséquent, une équation cartésienne de la droite D  est -x  + 3y  -  17  = 0, soit en multipliant les deux membres par (-1), cette équation est : x  - 3y  +  17  = 0
La réponse correcte est donc la proposition b.


5 points

exercice 2

1.  3 % des téléviseurs présentent un défaut sur la dalle.
Donc P (D ) = 0,03.
Parmi ceux-ci, 2 % ont aussi un défaut sur le condensateur.
Donc P D (C ) = 0,02.

2.  Arbre pondéré de probabilités traduisant la situation à ce stade de l'exercice :
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3.  Nous devons calculer  P(D\cap C).

P(D\cap C)=P(D)\times P_D(C) \\\phantom{P(D\cap C)}=0,03\times0,02 \\\phantom{P(D\cap C)}=0,0006 \\\\\Longrightarrow\boxed{P(D\cap C)=0,0006}
D'où la probabilité qu'un téléviseur ait un défaut sur la dalle et sur le condensateur est égale à 0,0006.

4.  Nous devons calculer P_{C}(D).
Selon l'énoncé, 5 % des téléviseurs ont un défaut sur le condensateur.
Donc P (C ) = 0,05.

P_C(D)=\dfrac{P(D\cap C)}{P(C)} \\\\\phantom{P_C(D)}=\dfrac{0,0006}{0,05} \\\\\phantom{P_C(D)}=0,012 \\\\\Longrightarrow\boxed{P_C(D)=0,012}
Par conséquent, sachant que le téléviseur a un défaut sur le condensateur, la probabilité qu'il ait un défaut sur la dalle est égale à 0,012.

5.  Nous devons calculer P(C\cap\overline{D}).
Première méthode :
En utilisant la formule des probabilités totales, nous obtenons : ;
P(C)= P(D\cap C)+P(\overline{D}\cap C)\Longleftrightarrow0,05=0,0006+P(\overline{D}\cap C) \\\phantom{P(C)= P(D\cap C)+P(\overline{D}\cap C)}\Longleftrightarrow P(\overline{D}\cap C)=0,05-0,0006 \\\phantom{P(C)= P(D\cap C)+P(\overline{D}\cap C)}\Longleftrightarrow P(\overline{D}\cap C)=0,0494 \\\\\Longrightarrow\boxed{P(\overline{D}\cap C)=0,0494}
Par conséquent, la probabilité que le téléviseur choisi ait un défaut sur le condensateur et n'ait pas de défaut sur la dalle est égale à 0,0494.

Seconde méthode :  
P(C\cap\overline{D})=P(C)\times P_C(\overline{D}) \\\phantom{P(C\cap\overline{D})}=P(C)\times \left(\overset{}{1-P_C(D)}\right) \\\phantom{P(C\cap\overline{D})}=0,05\times (1-0,012) \\\phantom{P(C\cap\overline{D})}=0,05\times 0,988 \\\phantom{P(C\cap\overline{D})}=0,0494 \\\\\Longrightarrow\boxed{P(C\cap\overline{D})=0,0494}
Par conséquent, la probabilité que le téléviseur choisi ait un défaut sur le condensateur et n'ait pas de défaut sur la dalle est égale à 0,0494.

5 points

exercice 3

Dans le repère ci-dessous, on note  \mathscr{C}_f  la courbe représentative d'une fonction f  définie sur l'intervalle [-10 ; 2].

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1.  Selon l'énoncé, la tangente à la courbe  \mathscr{C}_f  au point d'abscisse 1 est une droite parallèle à l'axe des abscisses.
Son coefficient directeur est donc nul.
Par conséquent, f' (1) = 0.

2.  Une équation de la droite tangente à la courbe  \mathscr{C}_f  au point A d'abscisse 0 est de la forme  y=f'(0)(x-0)+f(0) , soit  \overset{.}{\boxed{y=f'(0)\,x+f(0)}} .
f' (0) est le coefficient directeur de la tangente à la courbe en A(0 ; 2).
Selon l'énoncé, cette tangente en A à la courbe  \mathscr{C}_f  est la droite (AC).
D'où f' (0) est le coefficient directeur de la droite (AC).

f'(0)=\dfrac{y_C-y_A}{x_C-x_A}=\dfrac{0-2}{-2-0}=\dfrac{-2}{-2}=1\Longrightarrow {\blue{f'(0)=1}}
De plus,  {\blue{f(0)=2}}  car le point A admet comme coordonnées (0 ; 2).
Par conséquent, une équation de la droite tangente à la courbe  \mathscr{C}_f  au point A est  \boxed{y=x+2}

On admet que cette fonction f  est définie sur [-10 ; 2] par  f(x)=(2-x)\,\text{e}^x.

3. Déterminons l'expression de f' (x ).

f'(x)=(2-x)'\times\text{e}^x+(2-x)\times(\text{e}^x)'\\\phantom{f'(x)}=(-1)\times\text{e}^x+(2-x)\times\text{e}^x\\\phantom{f'(x)}=(-1+2-x)\times\text{e}^x\\\phantom{f'(x)}=(1-x)\times\text{e}^x \\\\\text{D'où }\ \ \boxed{f'(x)=(-x+1)\,\text{e}^x}

4.  Etudions le signe de f' (x ) sur [-10 ; 2].
Pour tout réel x , ex  > 0.
Donc le signe de f' (x ) est le signe de (-x  + 1).

          \begin{matrix}{\red{-x+1=0}}\Longleftrightarrow {\red{x=1}} \\\\ {\red{-x+1>0}}\Longleftrightarrow {\red{x<1}} \\\\ {\red{-x+1<0}}\Longleftrightarrow {\red{x>1}} \end{matrix}\ \ \ \ \ \ \ \ \ \begin{matrix}|\\|\\|\\|\\|\\|\\|\\|\\|\end{matrix}\ \ \ \ \ \ \begin{matrix} \dfrac{}{}\ \ \ \ \ \ \begin{array}{|c|cccccc|}\hline&&&&&&\\ x&-10&&1&&2&\\&&&&&& \\\hline &&&&&&&-x+1&&+&0&-&&\\&&&&&&\\\hline&&&&&&&f'(x)&&+&0&-&&\\&&&&&&\\\hline \end{array}\end{matrix}

Nous en déduisons le tableau de variations de la fonction f  sur [-10 ; 2].

\underline{\text{Calculs préliminaires }}\\\\f(-10)=(2-(-10))\,\text{e}^{-10}=12\,\text{e}^{-10}\approx0,00054.\\f(1)=(2-1)\,\text{e}^{1}=\text{e}\approx2,718. \\f(2)=(2-2)\,\text{e}^{2}=0.\\\\\dfrac{}{}\ \ \ \ \ \ \begin{array}{|c|cccccc|}\hline&&&&&&\\ x&-10&&1&&2&\\&&&&&& \\\hline &&&&&&&f'(x)&&+&0&-&&\\&&&&&&\\\hline&&&{\red{\text{e}\approx2,718}}&&&&f(x)&&\nearrow&&\searrow&&\\&12\,\text{e}^{-10}\approx0,00054&&&&0&\\\hline \end{array}

Par conséquent, la fonction f  est strictement croissante sur l'intervalle [-10 ; 1]
                                                                           strictement décroissante sur l'intervalle [1 ; 2]

5.  Une équation de la droite tangente à la courbe  \mathscr{C}_f  au point B d'abscisse 2 est de la forme  y=f'(2)(x-2)+f(2) . 
\text{Or }\ f'(x)=(-x+1)\,\text{e}^x\Longrightarrow f'(2)=(-2+1)\,\text{e}^2 \\\phantom{\text{Or }\ f'(x)=(-x+1)\,\text{e}^x}\Longrightarrow {\blue{f'(2)=-\,\text{e}^2}} \\ {\text{et }{\blue{f(2)=0}}\ \ \ \ (\text{Voir tableau de variations de }f)
Par conséquent, une équation de la droite tangente à la courbe  \mathscr{C}_f  au point B est  y=-\,\text{e}^2(x-2)+0 , soit   \boxed{y=-\,\text{e}^2x+2\,\text{e}^2}

5 points

exercice 4

Soit la suite (an) définie par a0 = 2500 et an+1 = 0,8an  + 400.

{\red{1.\ }}\ \boxed{a_0=2500} \\\\\phantom{{\red{1.\ }}\ }a_1=0,8a_0+400 \\\phantom{{\red{1.\ }\ }a_1}=0,8\times2500+400 \\\\\Longrightarrow \boxed{a_1=2400} \\\\\phantom{{\red{1.\ }}\ }a_2=0,8a_1+400 \\\phantom{{\red{1.\ }\ }a_2}=0,8\times2400+400 \\\\\Longrightarrow \boxed{a_2=2320}

2.  Pour tout entier naturel n , on pose  v_n=a_n-2000.

2. a.  Montrons que la suite (v n ) est une suite géométrique.

v_{n+1}=a_{n+1}-2000 \\\phantom{v_{n+1}}=(0,8a_n+400)-2000 \\\phantom{v_{n+1}}=0,8a_n-1600 \\\phantom{v_{n+1}}=0,8a_n-0,8\times2000 \\\phantom{v_{n+1}}=0,8(a_n-2000) \\\phantom{v_{n+1}}=0,8v_n \\\\\Longrightarrow\boxed{v_{n+1}=0,8v_n} \\\\\text{\underline{Remarque} : }v_0=a_0-2000=2500-2000\Longrightarrow\boxed{v_0=500}
Nous en déduisons que la suite (vn ) est une suite géométrique de raison q  = 0,8 dont le premier terme est
v0 = 500.


2. b.  Le terme général de la suite (vn ) est  v_n=v_0\times q^{n} .
Donc, pour tout entier naturel n ,   \overset{.}{\boxed{v_n=500\times0,8^{n}}}

{\red{2.\ \text{c. }}}\left\lbrace\begin{matrix}v_{n}=a_{n}-2000\ \ \ \ \ \ \\v_n=500\times0,8^{n}\ \ \ \ \end{matrix}\right.\Longleftrightarrow\left\lbrace\begin{matrix}a_n={\blue{v_n}}+2000\ \ \ \ \ \ \\ {\blue{v_n}}=500\times0,8^{n}\ \ \ \ \end{matrix}\right. \\\\\Longrightarrow\boxed{ a_n=500\times0,8^{n}+2000}\ \ \ \ (n\in\N)

2. d.  Nous avons montré dans la question 1 que a0 = 2500, a1 = 2400, a2 = 2320.
Nous pouvons conjecturer que la suite (an ) est décroissante.
Démontrons cette conjecture.
Pour tout entier naturel n ,

a_{n+1}-a_n=(500\times 0,8^{n+1}+2000)-(500\times 0,8^{n}+2000) \\\phantom{a_{n+1}-a_n}=500\times 0,8^{n+1}+2000-500\times 0,8^{n}-2000 \\\phantom{a_{n+1}-a_n}=500\times 0,8^{n+1}-500\times 0,8^{n} \\\phantom{a_{n+1}-a_n}=500\times 0,8^{n}\times0,8-500\times 0,8^{n} \\\phantom{a_{n+1}-a_n}=500\times 0,8^{n}\times(0,8-1) \\\phantom{a_{n+1}-a_n}=500\times 0,8^{n}\times(-0,2) \\\phantom{a_{n+1}-a_n}=-100\times 0,8^{n} \\\\\Longrightarrow\boxed{a_{n+1}-a_n<0}
D'où, la suite (an ) est décroissante.
Ci-dessous, un tableau reprenant quelques valeurs de an  en fonction de n .

                       \begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|c|}\hline n&0&1&2&3&4&\cdots&17&18 \\\hline a_n&2500&2400&2320&2256&2204,8&\cdots&\approx2011,3\ {\red{>2010}}&\approx2009\ {\red{<2010}}\\\hline \end{array}
En tenant compte de la décroissance de la suite (an ), nous en déduisons que le plus petit entier naturel n  tel que an  infegal 2010 est n  = 18.
Par conséquent, le nombre d'inscrits à la médiathèque sera inférieur à 2010 inscriptions 18 ans après l'année 2013, soit à partir de l'année 2031.
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