Ce sujet est extrait de la banque nationale des sujets E3C-épreuve 2- de la voie générale, spécialité mathématique. Ces sujets dans leur totalité
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L'équation réduite de la tangente T au point A(-3 ; 3) est de la forme : y = ax + b.
Calcul du coefficient directeur a .
La tangente T passe par le point A(-3 ; 3) et, selon le graphique, par le point B(0 ; 18).
Donc Calcul de l'ordonnée à l'origine b .
La tangente T passe par le point B(0,18).
Donc l'ordonnée à l'origine de la droite est .
Par conséquent, l'équation réduite de la tangente T est La réponse correcte est donc la proposition c).
Nous pouvons observer sur le graphique de la question 1 que la fonction f est croissante sur l'ensemble ]- ; -2] [2 ; +[ et est décroissante sur l'intervalle [-2 ; 2].
De plus, elle admet un maximum pour x = -2 et un minimum pour x = 2.
La courbe admet deux tangentes parallèle à l'axe des abscisses respectivement aux points d'abscisses -2 et 2.
D'où f' (-2) = f' (2) = 0.
Dès lors, nous pouvons établir le tableau de signes de la dérivée f' :
Le seul graphique correspondant à ce tableau est le graphique b). La réponse correcte est donc la proposition b).
Les angles x et (x + ) sont antisupplémentaires cos(x + ) = - cos(x).
Les angles x et (x + ) sont anticomplémentaires
Par conséquent, La réponse correcte est donc la proposition b).
Etudions le signe de la fonction f définie sur par f (x ) = -2x2 + 4x + 6.
Le polynôme du second degré P (x ) est du signe du coefficient de x2 (soit négatif) pour les valeurs de x à l'extérieur des racines -1 et 3 et du signe contraire (soit positif) pour les valeurs de x comprises entre les racines -1 et 3.
Par conséquent, la fonction f est strictement positive sur l'intervalle ]-1 ; 3[. La réponse correcte est donc la proposition b).
La réponse correcte est donc la proposition b).
5 points
exercice 2
1. Le globe-trotter parcourt 50 km le premier jour.
Chaque jour, il diminue la distance parcourue de 2% à cause de l'accumulation de fatigue.
Distance parcourue (en km) le deuxième jour : 50 - 1 = 49.
Par conséquent, la distance parcourue le deuxième jour est de 49 km.
Variante du calcul :
Distance parcourue (en km) le deuxième jour : 50 - 0,02 50 = (1 - 0,02) 50 = 0,98 50 = 49.
Par conséquent, la distance parcourue le deuxième jour est de 49 km.
2. Pour tout entier naturel n 1, la distance Dn +1 parcourue durant le (n +1)-ième jour est égale la distance Dn parcourue durant le n -ième jour diminuée de 2 %.
Or une diminution de 2 % correspond à un coefficient multiplicateur de 1 - 0,02 = 0,98.
Par conséquent, pour tout entier naturel n 1,
Nous en déduisons que la suite (Dn ) est une suite géométrique de raison q = 0,98 dont le premier terme est D1=50.
3. Le terme général de la suite (Dn ) est .
Donc, pour tout entier naturel n 1,
4. Soit le programme en Python complété ci-dessous.
5.
A l'aide du tableur, nous lisons à la ligne 81 que le 80-ième jour, le globe-trotter parcourt 10 km et a réalisé un périple total de 2003 km.
Or son objectif est de parcourir 2000 km. Par conséquent, le globe-trotter aura atteint son objectif au bout de 80 jours.
5 points
exercice 3
1. Une équation du cercle de centre (a ; b ) et de rayon r est de la forme :
Or le cercle est un cercle de centre A(2 ; 5). Donc a = 2 et b = 5.
Le rayon du cercle est r = 5. Donc r2 = 25.
Par conséquent, une équation du cercle de centre A(2 ; 5) et de rayon r = 5 est : (x - 2)2 + (y - 5)2 = 25.
D'où une équation du cercle est : x2 + y2 - 4x - 10y = -4.
2. Montrons que les coordonnées du point B vérifient l'équation du cercle .
Dans le membre de gauche de l'équation du cercle, remplaçons x par 5 et y par 9 et montrons que l'expression obtenue est égale à -4.
Puisque les coordonnées du point B vérifient l'équation du cercle, ce point B appartient au cercle
3. Nous savons qu'une droite (d) est tangente au point B du cercle de centre A si cette droite est perpendiculaire au rayon [AB] et passe par B.
Par conséquent, la tangente (t) au cercle au point B est perpendiculaire à la droite (AB). (voir figure ci-dessous)
4. Soit un point quelconque M(x ; y) appartenant à la tangente (t).
La tangente (t) au cercle au point B est perpendiculaire à la droite (AB) si et seulement si les vecteurs et sont orthogonaux ce qui signifie que le produit scalaire est nul.
Par conséquent, une équation de la tangente au cercle au point B est 3x + 4y - 51 = 0.
5. Les coordonnées des points d'intersection du cercle avec l'axe des ordonnées sont les solutions du système :
Par conséquent, les coordonnées des points d'intersection du cercle avec l'axe des ordonnées sont et
5 points
exercice 4
1. Arbre pondéré complété :
2. Nous devons calculer
Par conséquent, la probabilité que l'automobiliste n'ait emprunté ni la route nationale, ni la route départementale est égale à 0,385.
3. Nous devons calculer
En utilisant la formule des probabilités totales, nous obtenons :
D'où, la probabilité que l'automobiliste ne choisisse pas la Route Départementale entre Orléans et Limoges est 0,565.
Tableau récapitulatif :
5. Soit X la variable aléatoire dont les valeurs xi sont les durées en heure des trajets.
Nous obtenons ainsi le tableau suivant :
Calcul de l'espérance E (X ).
Par conséquent, la durée moyenne du trajet Paris-Limoges est d'environ 6,5 heures.
Publié par malou
le
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