Fiche de mathématiques
> >

E3C - Epreuve 2 - Voie générale, spécialité mathématiques.

Sujet 64 de la banque nationale

Partager :


Durée : 2 heures



Ce sujet est extrait de la banque nationale des sujets E3C-épreuve 2- de la voie générale, spécialité mathématique. Ces sujets dans leur totalité sont consultables dans ce document



E3C-Banque-Epreuve 2-Voie générale-spécialité-Sujet 64 : image 1

E3C-Banque-Epreuve 2-Voie générale-spécialité-Sujet 64 : image 9

E3C-Banque-Epreuve 2-Voie générale-spécialité-Sujet 64 : image 6

E3C-Banque-Epreuve 2-Voie générale-spécialité-Sujet 64 : image 7


E3C-Banque-Epreuve 2-Voie générale-spécialité-Sujet 64 : image 8

E3C-Banque-Epreuve 2-Voie générale-spécialité-Sujet 64 : image 2


E3C-Banque-Epreuve 2-Voie générale-spécialité-Sujet 64 : image 5


E3C-Banque-Epreuve 2-Voie générale-spécialité-Sujet 64 : image 3

E3C-Banque-Epreuve 2-Voie générale-spécialité-Sujet 64 : image 4

E3C-Banque-Epreuve 2-Voie générale-spécialité-Sujet 64 : image 10





E3C-Banque-Epreuve 2-Voie générale-spécialité-Sujet 64

Partager :



5 points

exercice 1

{\red{\text{Question 1. }}}{\blue{\mathbf{Affirmation\ c):\ }y=5x+18.}} 
L'équation réduite de la tangente T  au point A(-3 ; 3)
est de la forme : y = ax  + b .

  Calcul du coefficient directeur a . 
La tangente T  passe par le point A(-3 ; 3) et, selon le
graphique, par le point B(0 ; 18). 
Donc  a=\dfrac{y_B-y_A}{x_B-x_A}=\dfrac{18-3}{0-(-3)}=\dfrac{15}{3}\Longrightarrow\boxed{a=5}
  Calcul de l'ordonnée à l'origine b . 
La tangente T  passe par le point B(0,18).
Donc l'ordonnée à l'origine de la droite est  \boxed{b = 18}.
Par conséquent, l'équation réduite de la tangente T   
est  \boxed{{\red{y=5x+18}}}
La réponse correcte est donc la proposition c).

E3C-Banque-Epreuve 2-Voie générale-spécialité-Sujet 64 : image 15

{\red{\text{Question 2. }}}{\blue{\mathbf{Affirmation\ b)\ }}} 
Nous pouvons observer sur le graphique de la question 1 que la fonction f  est croissante sur
l'ensemble ]-infini ; -2] union [2 ; +infini[ et est décroissante sur l'intervalle [-2 ; 2].
De plus, elle admet un maximum pour x  = -2 et un minimum pour x  = 2.
La courbe  \mathscr{C}_f  admet deux tangentes parallèle à l'axe des abscisses respectivement aux points
d'abscisses -2 et 2.
D'où f' (-2) = f' (2) = 0.
Dès lors, nous pouvons établir le tableau de signes de la dérivée f'  :

        \begin{array}{|c|ccccccc|}\hline&&&&&&&\\ {\blue{x}}&{\blue{-\infty}}&&{\blue{-2}}&&{\blue{2}}&&{\blue{+\infty}}\\&&&&&&&\\\hline\text{Variations }&&&\approx5,3&&&&&\text{de }f&&\nearrow&&\searrow&&\nearrow&\\&&&&&\approx-5,3&& \\\hline {\blue{\text{Signes de}}}&&&&&&&&{\blue{f'(x)}}&&{\blue{+}}&{\blue{0}}&{\blue{-}}&{\blue{0}}&{\blue{+}}&\\&&&&&&&\\\hline {\blue{\text{Courbe représentative}}}&&{\red{\text{au-dessus}}}&&{\red{\text{en dessous}}}&&{\red{\text{au-dessus}}}&&{\blue\text{de la fonction }{f}\,'}&&{\blue{\text{de l'axe des}}}&&{\blue{\text{de l'axe des}}}&&{\blue{\text{de l'axe des}}}&\\&&{\blue{\text{abscisses}}}&&{\blue{\text{abscisses}}}&&{\blue{\text{abscisses}}}&\\\hline \end{array}

Le seul graphique correspondant à ce tableau est le graphique b).
La réponse correcte est donc la proposition b).

{\red{\text{Question 3. }}}{\blue{\mathbf{Affirmation\ b):\ }0.}} 
Les angles x et (x + pi) sont antisupplémentaires implique cos(x + pi) = - cos(x). 
Les angles x et (x +  \dfrac{\pi}{2} ) sont anticomplémentaires implique  \sin(x+\dfrac{\pi}{2})=\cos(x).  
Par conséquent,  \cos(x+\pi)+\sin(x+\dfrac{\pi}{2})=-\cos(x)+\cos(x)=0. 
La réponse correcte est donc la proposition b).

{\red{\text{Question 4. }}}{\blue{\mathbf{Affirmation\ b):\ }]-1\,;\,3[.}} 
Etudions le signe de la fonction f  définie sur R par f (x ) = -2x 2 + 4x  + 6.

\\\underline{\text{Discriminant}} : \Delta=4^2-4\times(-2)\times6 \\\phantom{\underline{\text{Discriminant}} : \Delta}=16+48 \\\phantom{\underline{\text{Discriminant}} : \Delta}=64>0 \\\\\underline{\text{Racines}} : x_1=\dfrac{-4-\sqrt{64}}{2\times(-2)}=\dfrac{-4-8}{-4}=\dfrac{-12}{-4}=3 \\\\\phantom{\underline{\text{Racines}} : }x_2=\dfrac{-4+\sqrt{64}}{2\times(-2)}=\dfrac{-4+8}{-4}=\dfrac{4}{-4}=-1
Le polynôme du second degré P (x ) est du signe du coefficient de x 2 (soit négatif) pour les valeurs de x  à l'extérieur des racines -1 et 3 et du signe contraire (soit positif) pour les valeurs de x  comprises entre les racines -1 et 3.
Par conséquent, la fonction f est strictement positive sur l'intervalle ]-1 ; 3[.
La réponse correcte est donc la proposition b).

{\red{\text{Question 5. }}}{\blue{\mathbf{Affirmation\ b):\ }h'(x)=(2x+1)\,\text{e}^x}.} 
h'(x)=\left(\overset{}{(2x-1)\times\text{e}^x}\right)'\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ {\red{\text{Remarque :}\ \left(u\times v\right)'=u'\times v+u\times v'}} \\\phantom{h'(x)}=(2x-1)'\times \text{e}^x+(2x-1)\times(\text{e}^x)' \\\phantom{h'(x)}=2\times \text{e}^x+(2x-1)\times\text{e}^x \\\phantom{h'(x)}=(2+2x-1)\times\text{e}^x \\\phantom{h'(x)}=(2x+1)\times\text{e}^x \\\\\Longrightarrow\boxed{h'(x)=(2x+1)\,\text{e}^x}
La réponse correcte est donc la proposition b).

5 points

exercice 2

1.  Le globe-trotter parcourt 50 km le premier jour.
Chaque jour, il diminue la distance parcourue de 2% à cause de l'accumulation de fatigue. 
2\%\ \text{de }50=\dfrac{2}{100}\times50=1.
Distance parcourue (en km) le deuxième jour : 50 - 1 = 49.
Par conséquent, la distance parcourue le deuxième jour est de 49 km.

Variante du calcul :
Distance parcourue (en km) le deuxième jour : 50 - 0,02 multiplie 50 = (1 - 0,02) multiplie 50 = 0,98 multiplie 50 = 49.
Par conséquent, la distance parcourue le deuxième jour est de 49 km.

2.  Pour tout entier naturel n supegal 1, la distance Dn +1 parcourue durant le (n +1)-ième jour est égale la distance Dn parcourue durant le n -ième jour diminuée de 2 %.
Or une diminution de 2 % correspond à un coefficient multiplicateur de 1 - 0,02 = 0,98.
Par conséquent, pour tout entier naturel n supegal 1, \overset{.}{\boxed{D_{n+1}=0,98\times D_n}}
Nous en déduisons que la suite (Dn ) est une suite géométrique de raison q  = 0,98 dont le premier terme est D1=50.

3.  Le terme général de la suite (Dn ) est  D_n=D_1\times q^{n-1} .
Donc, pour tout entier naturel n supegal 1,   \overset{.}{\boxed{D_n=50\times0,98^{n-1}}}

4.  Soit le programme en Python complété ci-dessous.

           \begin{array}{|c|}\hline \text{d}\text{e}\text{f}\ \text{nb\_jours}:\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \  \\\text{j}=1\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \  \\\text{u}=50\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \  \\\text{S}=50\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \  \\\text{while }{\red{\text{S}<2000}}:\ \ \ \ \ \ \ \  \\ \text{u = 0,98}*\text{u}\ \  \\ \text{S = S + u}\ \ \ \  \\\ \ {\red{\text{j = j + 1}}}\ \ \ \ \ \ \  \\\text{return j}\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \  \\\hline\end{array}

5. 
A l'aide du tableur, nous lisons à la ligne 81 que le 80-ième jour,
le globe-trotter parcourt 10 km et a réalisé un périple total de 2003 km.
Or son objectif est de parcourir 2000 km.
Par conséquent, le globe-trotter aura atteint son objectif
au bout de 80 jours.


E3C-Banque-Epreuve 2-Voie générale-spécialité-Sujet 64 : image 13


5 points

exercice 3

1.  Une équation du cercle de centre omegamaj(a  ; b ) et de rayon r  est de la forme :  \boxed{(x-a)^2+(y-b)^2=r^2}.}
Or le cercle  \mathscr{C}  est un cercle de centre A(2 ; 5). Donc a  = 2 et b  = 5.
Le rayon du cercle est r  = 5. Donc r 2 = 25.
Par conséquent, une équation du cercle de centre A(2 ; 5) et de rayon r  = 5 est : (x  - 2)2 + (y  - 5)2 = 25. 
\text{Or }\ (x-2)^2+(y-5)^2=25\Longleftrightarrow x^2-4x+4+y^2-10y+25=25 \\\phantom{\text{Or }\ (x-2)^2+(y-5)^2=25}\Longleftrightarrow x^2+y^2-4x-10y=25-25-4 \\\phantom{\text{Or }\ (x-2)^2+(y-5)^2=25}\Longleftrightarrow \boxed{x^2+y^2-4x-10y=-4}
D'où une équation du cercle  \mathscr{C}  est : x 2 + y 2 - 4x  - 10y  = -4.

2.  Montrons que les coordonnées du point B vérifient l'équation du cercle  \mathscr{C} .
Dans le membre de gauche de l'équation du cercle, remplaçons x  par 5 et y  par 9 et montrons que l'expression obtenue est égale à -4. 
5^2+9^2-4\times5-10\times9=25+81-20-90=\boxed{-4}
Puisque les coordonnées du point B vérifient l'équation du cercle, ce point B appartient au cercle  \mathscr{C}. 

3.  Nous savons qu'une droite (d) est tangente au point B du cercle  \mathscr{C}  de centre A si cette droite est perpendiculaire au rayon [AB] et passe par B.
Par conséquent, la tangente (t) au cercle au point B est perpendiculaire à la droite (AB). (voir figure ci-dessous)

4.  Soit un point quelconque M(x ; y) appartenant à la tangente (t).
La tangente (t) au cercle au point B est perpendiculaire à la droite (AB) si et seulement si les vecteurs  \overrightarrow{BA}  et  \overrightarrow{BM}  sont orthogonaux ce qui signifie que le produit scalaire  \overrightarrow{BA}.\overrightarrow{BM}  est nul. 
\text{Or }\left\lbrace\begin{matrix}B(5\,;\,9)\\A(2\,;\,5)\end{matrix}\right.\ \ \ \Longrightarrow\ \ \ \overrightarrow{BA}:(x_A-x_B\,;\,y_A-y_B)=(2-5\,;\,5-9) \\\phantom{WWWWwww.}\Longrightarrow\ \ \ {\blue{\overrightarrow{BA}:(-3\,;\,-4)}} \\\\\phantom{W..}\left\lbrace\begin{matrix}B(5\,;\,9)\\M(x\,;\,y)\end{matrix}\right.\ \ \ \Longrightarrow\ \ \ \overrightarrow{BM}:(x_M-x_B\,;\,y_M-y_B) \\\phantom{WWWW...www}\Longrightarrow\ \ \ {\blue{\overrightarrow{BM}:(x-5\,;\,y-9)}} \\\\\text{D'où }\ \overrightarrow{BA}.\overrightarrow{BM}=0\Longleftrightarrow x_{\overrightarrow{BA}}\times x_{\overrightarrow{BM}}+y_{\overrightarrow{BA}}\times y_{\overrightarrow{BM}}=0 \\\\\phantom{WWWWW...WW}\Longleftrightarrow-3(x-5)-4(y-9)=0 \\\phantom{WWWWW...WW}\Longleftrightarrow-3x+15-4y+36=0 \\\phantom{WWWWW...WW}\Longleftrightarrow-3x-4y+51=0 \\\phantom{WWWWW...WW}\Longleftrightarrow\boxed{3x+4y-51=0}
Par conséquent, une équation de la tangente au cercle au point B est 3x  + 4y  - 51 = 0.

                            
E3C-Banque-Epreuve 2-Voie générale-spécialité-Sujet 64 : image 14


5.  Les coordonnées des points d'intersection du cercle  \mathscr{C}  avec l'axe des ordonnées sont les solutions du système :  \left\lbrace}\begin{matrix}x^2+y^2-4x-10y=-4\\x=0\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \end{matrix}\right.

\left\lbrace\begin{matrix}x^2+y^2-4x-10y=-4\\x=0\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \end{matrix}\right.\ \ \Longleftrightarrow\ \ \left\lbrace\begin{matrix}y^2-10y=-4\\x=0\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \end{matrix}\right.\ \ \Longleftrightarrow\ \ \left\lbrace\begin{matrix}y^2-10y+4=0\\x=0\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \end{matrix}\right. \\\\\text{Résolvons l'équation du second degré : }y^2-10y+4=0. \\\\\text{Discriminant : }\Delta=(-10)^2-4\times1\times4 \\\phantom{wwwwwwwwww}=100-16 \\\phantom{wwwwwwwwww}=84>0 \\\\\text{Racines : }y_1=\dfrac{10-\sqrt{84}}{2}=\dfrac{10-\sqrt{4\times21}}{2}=\dfrac{10-2\sqrt{21}}{2}=\dfrac{2(5-\sqrt{21})}{2}=5-\sqrt{21} \\\\\phantom{\text{Racines : }}y_2=\dfrac{10+\sqrt{84}}{2}=\dfrac{10+\sqrt{4\times21}}{2}=\dfrac{10+2\sqrt{21}}{2}=\dfrac{2(5+\sqrt{21})}{2}=5+\sqrt{21}
Par conséquent, les coordonnées des points d'intersection du cercle  \mathscr{C}  avec l'axe des ordonnées sont  (0\,;\,5-\sqrt{21})  et  (0\,;\,5+\sqrt{21}).

5 points

exercice 4

1.  Arbre pondéré complété :
                      
E3C-Banque-Epreuve 2-Voie générale-spécialité-Sujet 64 : image 11


2.  Nous devons calculer  P(\overline{N}\cap\overline{D}).  
P(\overline{N}\cap\overline{D})=P(\overline{N})\times P_{\overline{N}}(\overline{D}) \\\phantom{P(\overline{N}\cap\overline{D})}=0,7\times0,55 \\\phantom{P(\overline{N}\cap\overline{D})}=0,385 \\\\\Longrightarrow\boxed{P(\overline{N}\cap\overline{D})=0,385}
Par conséquent, la probabilité que l'automobiliste n'ait emprunté ni la route nationale, ni la route départementale est égale à 0,385.

3.  Nous devons calculer  P(\overline{D}).  
En utilisant la formule des probabilités totales, nous obtenons : 
P(\overline{D})=P( N\cap \overline{D})+P( \overline{N}\cap \overline{D}) \\\phantom{P(\overline{D})}=P( N)\times P_{ N}(\overline{D})+0,385 \\\phantom{P(\overline{D})}=0,3\times0,6+0,385 \\\phantom{P(\overline{D})}=0,18+0,385\\\phantom{P(\overline{\overline{D}})}=0,565 \\\\\Longrightarrow\boxed{P(\overline{D})=0,565}
D'où, la probabilité que l'automobiliste ne choisisse pas la Route Départementale entre Orléans et Limoges est 0,565.

{\red{4. }}\ \ \text{Événement : } N\cap D \\\ \ \ \text{ Temps en heure : }2+3,5=5,5 \\\ \ \ \text{ Probabilité : }P(N\cap D)=P(N)\times P_N(D)=0,3\times0,4=0,12 \\\\\text{Événement : } N\cap \overline{D} \\\text{Temps en heure : }2+4=6 \\\text{Probabilité : }P(N\cap \overline{D})=P(N)\times P_{N}(\overline{D})=0,3\times0,6=0,18 \\\\\text{Événement : } \overline{N}\cap D \\\text{Temps en heure : }3+3,5=6,5 \\\text{Probabilité : }P(\overline{N}\cap D)=P(\overline{N})\times P_{\overline{N}}(D)=0,7\times0,45=0,315 \\\\\text{Événement : } \overline{N}\cap \overline{D} \\\text{Temps en heure : }3+4=7 \\\text{Probabilité : }P(\overline{N}\cap \overline{D})=0,385\ \ \ \ (\text{voir question 2.})

Tableau récapitulatif :

                      \begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|}\hline&&&&\\\text{Événement}&N\cap D&N\cap\overline{D}&\overline{N}\cap D&\overline{N}\cap\overline{D}\\&&&&\\\hline \text{Temps en heure}&5,5&6&6,5&7 \\\hline \text{Probabilité}&0,12&0,18&0,315&0,385\\\hline \end{array}

5.  Soit X  la variable aléatoire dont les valeurs xi  sont les durées en heure des trajets.
Nous obtenons ainsi le tableau suivant :

                      \begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|}\hline&&&&\\ x_i&5,5&6&6,5&7\\&&&&\\\hline &&&&\\P(X=x_i)&0,12&0,18&0,315&0,385\\&&&&\\\hline \end{array}

Calcul de l'espérance E (X ).  
E(X)=5,5\times P(X=5,5)+6\times P(X=6)+6,5\times P(X=6,5)+7\times P(X=7) \\\phantom{E(X)}=5,5\times0,12+6\times0,18+6,5\times0,315+7\times0,385 \\\phantom{E(X)}=6,4825\\\\\Longrightarrow\boxed{E(X)=6,4825}
Par conséquent, la durée moyenne du trajet Paris-Limoges est d'environ 6,5 heures.

Publié le
ceci n'est qu'un extrait
Pour visualiser la totalité des cours vous devez vous inscrire / connecter (GRATUIT)
Inscription Gratuite se connecter
Merci à
Hiphigenie
/
malou Webmaster
pour avoir contribué à l'élaboration de cette fiche


Vous devez être membre accéder à ce service...

Pas encore inscrit ?

1 compte par personne, multi-compte interdit !

Ou identifiez-vous :


Rester sur la page

Inscription gratuite

Fiches en rapport

parmi 1418 fiches de maths

Désolé, votre version d'Internet Explorer est plus que périmée ! Merci de le mettre à jour ou de télécharger Firefox ou Google Chrome pour utiliser le site. Votre ordinateur vous remerciera !