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E3C - Epreuve 2 - Voie générale, spécialité mathématiques.

Sujet 65 de la banque nationale

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Durée : 2 heures



Ce sujet est extrait de la banque nationale des sujets E3C-épreuve 2- de la voie générale, spécialité mathématique. Ces sujets dans leur totalité sont consultables dans ce document



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E3C-Banque-Epreuve 2-Voie générale-spécialité-Sujet 65

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5 points

exercice 1

1.  Dans le plan muni d'un repère orthonormé, on donne les points : A(2 ; -2),     B(4 ; 0),     C(0 ; -5),     D(-7 ; 1).

{\blue{\mathbf{\underline{Affirmation\ 1} :\ Les\ droites\ (AB)\ et\ (CD)\ sont\ perpendiculaires.\ }\longrightarrow}}{\ \red{\text{Affirmation fausse.}}} 
Les droites (AB) et (CD) sont perpendiculaires si et seulement si leurs vecteurs directeurs respectifs sont orthogonaux.
Des vecteurs directeurs des droites (AB) et (CD) sont respectivement les vecteurs  \overrightarrow{AB}  et  \overrightarrow{CD}
Analysons l'orthogonalité des vecteurs  \overrightarrow{AB}  et  \overrightarrow{CD} en observant si leur produit scalaire est nul.
Calcul de leurs coordonnées :  
\left\lbrace\begin{matrix}\overrightarrow{AB}\ (x_B-x_A\,;\,y_B-y_A)=(4-2\,;\,0-(-2))=(2\,;\,2)\ \ \ \  \\\overrightarrow{CD}\ (x_D-x_C\,;\,y_D-y_C)=(-7-0\,;\,1-(-5))=(-7\,;\,6) \end{matrix}\right.\ \ \ \Longrightarrow\left\lbrace\begin{matrix}\overrightarrow{AB}\ (2\,;\,2)\ \ \ \\\overrightarrow{CD}\ (-7\,;\,6) \end{matrix}\right.
Calcul de leur produit scalaire :  
\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{CD}=x_{\overrightarrow{AB}}\times x_{\overrightarrow{CD}}+y_{\overrightarrow{AB}}\times y_{\overrightarrow{CD}} \\\\\phantom{ww..ww}=2\times(-7)+2\times6 \\\phantom{ww..ww}=-14+12 \\\phantom{ww..ww}=-2 \\\\\Longrightarrow\boxed{\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{CD}=-2\ {\red{\neq0}}}
Puisque le produit scalaire  \overrightarrow{AB}.\overrightarrow{CD}  n'est pas nul, nous en déduisons que les vecteurs  \overrightarrow{AB}  et  \overrightarrow{CD} ne sont pas orthogonaux.
Par conséquent, les droites (AB) et (CD) ne sont pas perpendiculaires.
L'affirmation 1 est donc fausse.


{\blue{\mathbf{\underline{Affirmation\ 2} :\ Une\ équation\ de\ la\ droite\ perpendiculaires\ à\ (AB)}}}\\\dfrac{}{} \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ {\blue{\mathbf{\ passant\ par\ C\ est\ :\ y\ =\ x -\ 5\ }\longrightarrow}}{\ \red{\text{Affirmation fausse.}}} 
Le coefficient directeur de la droite (AB) est égal à  \dfrac{y_B-y_A}{x_B-x_A}=\dfrac{0-(-2)}{4-2}=\dfrac{2}{2}=1.
Le coefficient directeur de la droite d'équation y  = x  - 5 est égal à 1 (coefficient de x ).
Ces coefficients directeurs sont tous deux égaux à 1.
Par conséquent, la droite équation y  = x  - 5 est parallèle à la droite (AB).
L'affirmation 2 est donc fausse.
Remarque : Une équation de la droite perpendiculaire à (AB) passant par C est y  = -x  - 5.


{\blue{\mathbf{\underline{Affirmation\ 3} :\ Une\ équation\ du\ cercle\ de\ centre\ A\ passant\ par\ B\ est\ :}}}\\\dfrac{}{} \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ {\blue{\mathbf{(x\ -\ 2)^2\ +\ (y\ +\ 2)^2\ =\ 8}\longrightarrow}}{\ \red{\text{Affirmation vraie.}}} 
Une équation du cercle de centre omegamaj(a  ; b ) et de rayon R  est de la forme :  \boxed{(x-a)^2+(y-b)^2=R^2}.}
Or le cercle donné est de centre A(2 ; -2).
Donc a  = 2 et b  = -2.
Le rayon du cercle est R  = AB. 
\text{Or }\ AB=\sqrt{(x_B-x_A)^2+(y_B-y_A)^2} \\\phantom{\text{Or }\ AB}=\sqrt{(4-2)^2+(0-(-2))^2} \\\phantom{\text{Or }\ AB}=\sqrt{2^2+2^2} \\\phantom{\text{Or }\ AB}=\sqrt{4+4} \\\phantom{\text{Or }\ AB}=\sqrt{8} \\\\\Longrightarrow\boxed{\text{R}^2=AB^2=8}
Par conséquent, une équation du cercle de centre A et passant par B est (x  - 2)2 + (y  + 2)2 = 8.
L'affirmation 3 est donc vraie.


2.  Soit f  la fonction définie pour tout x  appartient ]0 ; +infini[ par  f(x)=\dfrac{\text{e}^x}{x}.
{\blue{\mathbf{\underline{Affirmation\ 4} :\ f'(1)=0\ }\longrightarrow}}{\ \red{\text{Affirmation vraie.}}} 
f'(x)=\left(\dfrac{\text{e}^x}{x}\right)'=\dfrac{(\text{e}^x)'\times x-\text{e}^x\times x'}{x^2} \\\\\phantom{f'(x)=\left(\dfrac{\text{e}^x}{x}\right)'}=\dfrac{\text{e}^x\times x-\text{e}^x\times 1}{x^2} =\dfrac{x\,\text{e}^x-\text{e}^x}{x^2} =\dfrac{(x-1)\,\text{e}^x}{x^2} \\\\\Longrightarrow \boxed{f'(x)=\dfrac{(x-1)\,\text{e}^x}{x^2}} \\\\\Longrightarrow f'(1)=\dfrac{(1-1)\,\text{e}^1}{1^2} \\\\\Longrightarrow \boxed{{\red{f'(1)=0}}}
L'affirmation 4 est donc vraie.


3.  On donne :  \cos\left(\dfrac{2\pi}{5}\right)=\dfrac{-1+\sqrt{5}}{4}
{\blue{\mathbf{\underline{Affirmation\ 5} :\ \sin\left(\dfrac{2\pi}{5}\right)<0\ }\longrightarrow}}{\ \red{\text{Affirmation fausse.}}} 
0<\dfrac{2\pi}{5}<\dfrac{\pi}{2}\Longrightarrow\boxed{\sin\left(\dfrac{2\pi}{5}\right)>0}
L'affirmation 5 est donc fausse.


5 points

exercice 2

Une entreprise produit entre 1 millier et 5 milliers de pièces par jour. Le coût moyen de production d'une pièce, en milliers d'euros, pour x  milliers de pièces produites, est donné par la fonction f  définie pour tout  réel x dans [1 ; 5] par :  f(x)=\dfrac{0,5x^3-3x^2+x+16}{x}

{\red{1.}\ }\ f(2)=\dfrac{0,5\times2^3-3\times2^2+2+16}{2}=\dfrac{4-12+2+16}{2}\Longrightarrow\boxed{f(2)=5}
D'où le coût moyen de production d'une pièce lorsque l'entreprise produit 2 milliers de pièces s'élève à 5 000 euros.

2.  Pour tout réel x  appartient [1 ; 5], 
f'(x)=\left(\dfrac{0,5x^3-3x^2+x+16}{x}\right)' \\\\\phantom{f'(x)}=\dfrac{(0,5x^3-3x^2+x+16)'\times x-(0,5x^3-3x^2+x+16)\times x'}{x^2} \\\\\phantom{f'(x)}=\dfrac{\left(\dfrac{}{}0,5(x^3)'-3(x^2)'+x'+16'\right)\times x-(0,5x^3-3x^2+x+16)\times 1}{x^2} \\\\\phantom{f'(x)}=\dfrac{(0,5\times3x^2-3\times2x+1+0)\times x-(0,5x^3-3x^2+x+16)}{x^2} \\\\\phantom{f'(x)}=\dfrac{(1,5x^2-6x+1)\times x-(0,5x^3-3x^2+x+16)}{x^2} \\\\\phantom{f'(x)}=\dfrac{1,5x^3-6x^2+x-0,5x^3+3x^2-x-16}{x^2} \\\\\phantom{f'(x)}=\dfrac{x^3-3x^2-16}{x^2} \\\\\Longrightarrow\boxed{f'(x)=\dfrac{x^3-3x^2-16}{x^2}}

3.  Pour tout réel x , 
(x-4)(x^2+x+4)=x^3+x^2+4x-4x^2-4x-16 \\\phantom{(x-4)(x^2+x+4)}=x^3-3x^2-16 \\\\\Longrightarrow\boxed{x^3-3x^2-16=(x-4)(x^2+x+4)}

4.  Etudions le signe de f'(x) pour tout réel x  appartient [1 ; 5].

En utilisant les résultats des questions 2 et 3, nous déduisons que pour tout réel x  appartient [1 ; 5],   f'(x)=\dfrac{(x-4)(x^2+x+4)}{x^2}.
Or pour tout réel x  appartient [1 ; 5],  x 2 > 0.
De plus le trinôme x 2 + x  + 4 est strictement positif pour tout réel x  car son discriminant  \Delta=1^2-4\times1\times4=1-16=-15<0  et le coefficient de x 2 est strictement positif.
Nous en déduisons que le signe de f' (x ) sera le signe de (x  - 4).

          \begin{matrix}{\red{x-4=0}}\Longleftrightarrow{\red{x=4}} \\\\ {\red{x-4<0}}\Longleftrightarrow{\red{x<4}}\\\\ {\red{x-4>0}}\Longleftrightarrow{\red{x>4}}\end{matrix}\ \ \ \ \ \ \ \ \ \begin{matrix}|\\|\\|\\|\\|\\|\\|\\|\\|\end{matrix}\ \ \ \ \ \ \begin{matrix} \ \ \ \ \ \ \begin{array}{|c|cccccc|}\hline&&&&&&\\ x&1&&4&&5&\\&&&&&& \\\hline &&&&&&&x-4&&-&0&+&&\\&&&&&&\\\hline&&&&&&&f'(x)&&-&0&+&&\\&&&&&&\\\hline \end{array}\end{matrix}

Nous en déduisons le tableau de variations de la fonction f  sur [1 ; 5].

          \underline{\text{Calculs préliminaires }}\\\\f(1)=\dfrac{0,5\times1^3-3\times1^2+1+16}{1}=\dfrac{0,5-3+1+16}{1}=14,5\\f(4)=\dfrac{0,5\times4^3-3\times4^2+4+16}{4}=\dfrac{32-48+4+16}{4}=1\\f(5)=\dfrac{0,5\times5^3-3\times5^2+5+16}{5}=\dfrac{62,5-75+5+16}{5}=1,7 \\\\\dfrac{}{}\ \ \ \ \ \ \begin{array}{|c|cccccc|}\hline&&&&&&\\ x&1&&4&&5&\\&&&&&& \\\hline &&&&&&&f'(x)&&-&0&+&&\\&&&&&&\\\hline&14,5&&&&&1,7&f(x)&&\searrow&&\nearrow&&\\&&&1&&&\\\hline \end{array}

5.  En nous aidant du tableau de variations de la fonction f , nous en déduisons que la fonction f  admet un minimum pour x  = 4, ce minimum étant égal à 1.
Par conséquent, le coût moyen de production d'une pièce sera minimal si l'entreprise produit 4 000 pièces.
Le montant de ce coût s'élèvera alors à 1 000 euros
.

5 points

exercice 3

Soit n  un entier naturel. Notons un  le nombre de spectateurs, en milliers, du complexe cinématographique pour l'année (2018 + n ).

1. a.  Une augmentation de 4 % correspond à un coefficient multiplicateur égal à 1 + 0,04 = 1,04.

\boxed{u_0=180} \\\\u_1=1,04\times u_0 \\\phantom{u_1}=1,04\times 180 \\\phantom{u_1}=187,2 \\\\\Longrightarrow\boxed{u_1=187,2}
Par conséquent, le gestionnaire du complexe cinématographique prévoit 187 200 spectateurs en 2019.

1. b.  Pour tout entier naturel n , le nombre de spectateurs (en milliers) un +1 pour l'année (2018 + (n +1)) est égal au nombre de spectateurs (en milliers) un   pour l'année (2018+n ) augmenté de 4 % de un .
Or une augmentation de 4 % correspond à un coefficient multiplicateur de 1 + 0,04 = 1,04.
Par conséquent, pour tout entier naturel n , \overset{.}{\boxed{u_{n+1}=1,04\times u_n}}
Nous en déduisons que la suite (un ) est une suite géométrique de raison q  = 1,04 dont le premier terme est u0=180.

1. c.  Le terme général de la suite (un ) est  u_n=u_0\times q^{n} .
Donc, pour tout entier naturel n ,   \overset{.}{\boxed{u_n=180\times1,04^{n}}}

2. a.  Pour tout entier naturel n , nous notons vn  le nombre de spectateurs, en milliers, accueillis dans le cinéma centre-ville durant l'année (2018+n ).
Ce cinéma du centre-ville prévoit de perdre 10 000 spectateurs par an.
Dès lors, pour tout entier naturel n, vn +1 = vn  - 10.
Par conséquent, la suite (vn ) est une suite arithmétique de raison -10 dont le premier terme est v0 = 260.

2. b.  Soit le programme ci-dessous rédigé en Python

           \begin{array}{|c|}\hline \text{d}\text{e}\text{f}\ \text{cinema}\text{(\ )}:\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \  \\\text{n}=0\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \  \\\text{u}=180\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \  \\\text{v}=260\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \  \\\text{while u}<\text{v}:\ \ \ \ \ \ \ \ \ \  \\\text{n = n}+1\ \ \ \\\ \ \text{u = }1.04*\text{u}\ \ \\\text{v = v}-10\ \  \\\text{return n}\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \  \\\hline\end{array}
Le programme retourne la valeur n  = 5.

Ci-dessous un tableau reprenant les premières valeurs de n , u  et v .

\begin{array}{|c|ccc|ccc|ccc|ccc|ccc|ccc|}\hline\text{Valeurs de }n&&0&&&1&&&2&&&3&&&4&&\cellcolor{green}&\cellcolor{green}5&\cellcolor{green} \\\hline \text{Valeurs de }u&&180&&&187,2&&&194,688&&&202,476&&&210,575&&\cellcolor{red}&\cellcolor{red}{218,998}&\cellcolor{red} \\\hline \text{Valeurs de }v&&260&&&250&&&240&&&230&&&220&&\cellcolor{red}&\cellcolor{red}{210}&\cellcolor{red}\\\hline u>v&&\text{Faux}&&&\text{Faux}&&&\text{Faux}&&&\text{Faux}&&&\text{Faux}&&\cellcolor{red}&\cellcolor{red}{\text{Vrai}}&\cellcolor{red} \\\hline \end{array}

Dans le contexte de l'exercice, l'exécution de ce programme nous indique qu'il faudra au moins 5 semaines pour que le nombre de spectateurs dans le complexe soit supérieur au nombre de spectateurs dans le cinéma du centre-ville.

5 points

exercice 4

1.  Arbre pondéré de probabilités traduisant la situation :
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2.  Nous devons calculer P (F ).
En utilisant la formule des probabilités totales, nous obtenons : ;
P(F)= P(A\cap F)+P(D\cap F)+P(C\cap F) \\\phantom{P(F)}=P(A)\times P_A(F)+P(D)\times P_D(F)+P(C)\times P_C(F)\\\phantom{P(F)}=0,4\times0,5+0,35\times0,8+0,25\times0,7\\\phantom{P(F)}=0,2+0,28+0,175\\\phantom{P(V)}=0,655\\\\\Longrightarrow\boxed{P(F)=0,655}

3.  Nous devons calculer P_{F}(D).

P_F(D)=\dfrac{P(D\cap F)}{P(F)} \\\\\phantom{P_F(D)}=\dfrac{P(D)\times P_D(F)}{P(F)} \\\\\phantom{P_F(D)}=\dfrac{0,35\times 0,8}{0,655}=\dfrac{0,28}{0,655}\approx0,427 \\\\\Longrightarrow\boxed{P_F(D)=\dfrac{0,28}{0,655}\approx0,427}
Par conséquent, sachant que le spectateur a acheté des friandises, la probabilité qu'il ait vu un dessin animé est environ égale à 0,427 (valeur arrondie au millième).

4.  Soit X  la variable aléatoire donnant le coût d'une sortie au cinéma pour un spectateur.
Une place de cinéma sans friandise coûte 10 euros et une place de cinéma avec achat de friandises coûte 18 euros.
Donc la variable aléatoire X  peut prendre les valeurs 10 ou 18.

4. a.  Déterminons la loi de probabilité de X . 
P(X=18)=P(F)\Longrightarrow \boxed{P(X=18)=0,655}\ \ \ \ (\text{voir exercice 2}) \\P(X=10)=1-P(X=18)=1-0,655\Longrightarrow\boxed{P(X=10)=0,345}

Tableau résumant la loi de probabilité de X .

          \begin{array}{|c|ccc|ccc|}\hline &&&&&&\\ {\red{x_i}}&&10&&&18&\\&&&&& &\\\hline&&&&&&\\ {\red{P(X=x_i)}}&&0,345&&&0,655&\\&&&&&&\\\hline \end{array}

4. b.  Calculons l'espérance mathématique de la variable aléatoire X . 
E(X)=10\times P(X=10)+18\times P(X=18) \\\phantom{E(X)}=10\times0,345+18\times0,655 \\\phantom{E(X)}=15,24 \\\\\Longrightarrow\boxed{E(X)=15,24}
Par conséquent, le coût moyen par spectateur d'une sortie dans ce cinéma s'élève à 15,24 euros.
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