Fiche de mathématiques

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CENTRALE
SUPÉLEC

CONCOURS D'ADMISSION 2013
Filière MP

Composition de mathématiques 1
(Durée : 4 heures)
Calculatrices autorisées.

Dans tout le problème, $\mathbb{R}^2$ est muni du produit scalaire euclidien canonique noté $\langle\ ,\ \rangle$ et de la norme $|\hspace{-1pt}|\ |\hspace{-1pt}|$ associée.

Si $\Omega$ est un ouvert non vide de $\mathbb{R}^2$ et si $(k,n)\in(\mathbb{N}^*)^2$ , on note $\mathcal{C}^k(\Omega,\mathbb{R}^n)$ l'espace des fonctions de classe $\mathcal{C}^k$ de $\Omega$ dans $\mathbb{R}^n.$

Si $f\in\mathcal{C}^1(\Omega,\mathbb{R}^n)$ , la différentielle de $f$ au point $p$ de $\Omega$ est notée $\text{d}f_p$ ; sa matrice relativement aux bases canoniques de $\mathbb{R}^2$ et de $\mathbb{R}^n$ est appelée matrice jacobienne de $f$ en $p$ et est notée $\text{Jac}f(p).$

Si $f$ est dans $\mathcal{C}^2(\Omega,\mathbb{R})$ , on dit que $f$ vérifie (1) si et seulement si $\forall(x,y)\in\Omega,\quad\cfrac{\partial^2f}{\partial x^2}(x,y)\times\cfrac{\partial^2f}{\partial y^2}(x,y)-\left(\cfrac{\partial^2f}{\partial x\partial y}(x,y)\right)^2=1\qquad(1)$
On note $\mathcal{P}_2$ l'ensemble des fonctions polynomiales de degré $\leq 2$ dans $\mathbb{R}$ c'est-à-dire les applications de $\mathbb{R}^2$ dans $\mathbb{R}$ de la forme $(x,y) \mapsto ax^2+bxy+cy^2+dx+ey+f\quad\text{où}\quad(a,b,c,d,e,f)\in\mathbb{R}^6.$
Le but principal du problème est de montrer que les solutions de (1) sur $\mathbb{R}^2$ appartiennent à $\mathcal{P}_2.$

I. Les équation de Cauchy-Riemann

Soient $f$ et $g$ dans $\mathcal{C}^1(\mathbb{R}^2,\mathbb{R})$ vérifiant les équations, dites de Cauchy-Riemann, $\cfrac{\partial f}{\partial x}=\cfrac{\partial g}{\partial y}\qquad\text{et}\qquad\cfrac{\partial f}{\partial y}=-\cfrac{\partial g}{\partial x}$
On définit deux fonctions sur $\mathbb{R}_+^*\times\mathbb{R}$ par $\forall(r,\theta)\in \mathbb{R}_+^*\times\mathbb{R},\quad \tilde{f}(r,\theta)=f(r\cos\theta,r\sin\theta)\quad\text{et}\quad \tilde{g}(r, \theta) = g(r\cos\theta,r\sin\theta)$

Pour $n\in\mathbb{Z},$ on note $\mathcal{E}_n$ l'espace des fonctions $f$ de $\mathcal{C}^2(\mathbb{R}_+^*,\mathbb{C})$ telles que $\forall t\in\mathbb{R}_+^*,\qquad t^2f''(t)+tf'(t)-n^2f(t)=0$
I.A -

I.A.1) Exprimer $\cfrac{\partial\tilde{f}}{\partial r}(r,\theta)$ et $\cfrac{\partial\tilde{f}}{\partial\theta}(r,\theta)$ en fonction de $r,\theta,\cfrac{\partial f}{\partial x}(r\cos\theta,r\sin\theta)$ et $\cfrac{\partial f}{\partial y}(r\cos\theta,r\sin\theta).$
I.A.2) Pour tout $(r,\theta)\in\mathbb{R}_+^*\times\mathbb{R},$ montrer $\cfrac{\partial\tilde{f}}{\partial r}(r,\theta)=\cfrac{1}{r}\times\cfrac{\partial\tilde{g}}{\partial\theta}(r,\theta)$ et $\cfrac{\partial\tilde{g}}{\partial r}(r,\theta)=-\cfrac{1}{r}\times\cfrac{\partial\tilde{f}}{\partial\theta}(r,\theta).$

I.B - Pour $\alpha\in\mathbb{R},$ soit $\varphi_{\alpha}$ la fonction de $\mathbb{R}_+^*$ dans $\mathbb{R}$ définie par $\forall t\in\mathbb{R}_+^*,\qquad \varphi_{\alpha}(t)=t^{\alpha}$
I.B.1) Pour tout $n\in\mathbb{Z}^*,$ déterminer les réels $\alpha$ tels que $\varphi_{\alpha}$ appartienne à $\mathcal{E}_n.$
I.B.2) Déterminer $\mathcal{E}_n$ pour $n\in\mathbb{Z}.$ On discuter séparément le cas $n=0.$

I.C - Pour $n\in\mathbb{Z},$ soient $c_{n,f}$ et $c_{n,g}$ les fonctions de $\mathbb{R}_+^*$ dans $\mathbb{C}$ définies par $\forall r\in\mathbb{R}_+^*,\qquad \left\lbrace\begin{array}{l}c_{n,f}(r)=\cfrac{1}{2\pi}\displaystyle\int_{-\pi}^{\pi}\tilde{f}(r,\theta)e^{-in\theta}\text{d}\theta\\ c_{n,g}(r)=\cfrac{1}{2\pi}\displaystyle\int_{-\pi}^{\pi}\tilde{g}(r,\theta)e^{-in\theta}\text{d}\theta\end{array}\right.$
I.C.1) Montrer que $c_{n,f}$ est de classe $\mathcal{C}^1$ sur $\mathbb{R}_+^*$ et vérifie $\forall r\in\mathbb{R}_+^*,\qquad (c_{n,f})'(r)=\cfrac{in}{r}\ c_{n,g}(r)$
I.C.2) Montrer que $c_{n,f}$ appartient à $\mathcal{E}_n$ et que $c_{n,f}$ est bornée au voisinage de 0. En déduire l'existence de $a_n\in\mathbb{C}$ tel que $\forall r\in\mathbb{R}_+^*,\qquad c_{n,f}(r)=a_nr^{|n|}$
I.C.3) En énonçant précisément le théorème utilisé, établir $\forall(r,\theta)\in\mathbb{R}_+^*\times\mathbb{R},\qquad\tilde{f}(r,\theta)=\displaystyle\lim_{p\to\infty}\sum_{n=-p}^pa_nr^{|n|}e^{in\theta}$

I.D - Dans cette question, on suppose que les fonctions $\cfrac{\partial f}{\partial x}$ et $\cfrac{\partial f}{\partial y}$ sont bornées sur $\mathbb{R}^2.$
I.D.1) Si $n\in\mathbb{Z},$ montrer que la fonction $(c_{n,f})'$ est bornée sur $\mathbb{R}_+^*.$
I.D.2) Montrer que les fonctions $\cfrac{\partial f}{\partial x}$ et $\cfrac{\partial f}{\partial y}$ sont constantes.

II. Quelques solutions de (1)

Si $I$ est un intervalle de $\mathbb{R},$ on dit que $u\in\mathcal{C}^1(I,\mathbb{R})$ vérifie (II.1) sur $I$ si et seulement si $\forall t\in I,\qquad u(t)(u(t)+2tu'(t))=-1\qquad(\text{II.1})$
II. A - Déterminer les fonctions de $\mathcal{P}_2$ vérifiant (1) sur $I.$

II. B - En énonçant précisément le théorème utilisé, montrer, si $(t_0,u_0)$ est dans $(\mathbb{R}^*)^2,$ l'existence d'un intervalle ouvert $I$ de $\mathbb{R}$ contenant $t_0$ et d'une fonction $u\in\mathcal{C}^1(I,\mathbb{R})$ telle que $u$ soit solution de (II.1) sur $I$ et vérifie $u(t_0)=u_0.$

II. C - Soit $J$ un intervalle ouvert non vide de $\mathbb{R}.$ Existe-t-il une fonction polynomiale solution de (II.1) sur $J$ ?

II. D - Soient $J$ un intervalle ouvert non vide de $\mathbb{R},$ $\Omega(J)=\lbrace(x,y)\in\mathbb{R}^2,\ xy\in J\rbrace,$ $w$ dans $\mathcal{C}^2(J,\mathbb{R})$ et $W$ la fonction définie par $\forall(x,y)\in\Omega(J),\qquad W(x,y)=w(xy)$
II.D.1) Montrer que $\Omega(J)$ est un ouvert non vide.
II.D.2) Montrer que $W$ est dans $\mathcal{C}^2(\Omega(J),\mathbb{R})$ et que l'on a équivalence entre
(i) $W$ vérifie (1) sur $\Omega(J),$
(ii) $w'$ vérifie (II.1) sur $J.$
II.D.3) Montrer que $W$ est la restriction à $\Omega(J)$ d'une fonction de $\mathcal{P}_2$ si et seulement si $w$ est affine.

II. E - Soient $\Omega$ un ouvert non vide de $\mathbb{R}^2,\ f$ dans $\mathcal{C}^2(\Omega,\mathbb{R})$ vérifiant (1) sur $\Omega$ , $(a,b)\in\mathbb{R}^2,$ $\Omega_{a,b}$ l'image de $\Omega$ par la translation de vecteur $(a,b)$ et $f_{a,b}$ la fonction définie sur $\Omega_{a,b}$ par $\forall(x,y)\in\Omega_{a,b},\qquad f_{a,b}(x,y)=f(x-a,y-b)$ Montrer que $f_{a,b}$ vérifie (1) sur $\Omega_{a,b}.$

II. F - Si $(x_0,y_0)$ est dans $\mathbb{R}^2,$ montrer qu'il existe un ouvert $U$ de $\mathbb{R}^2$ contenant $(x_0, y_0)$ tel que l'ensemble des fonctions de $\mathcal{C}^2(U,\mathbb{R})$ vérifiant (1) sur $U$ et ne coïncidant sur $U$ avec aucun élément de $\mathcal{P}_2$ soit infini.

III. Un critère de difféomorphisme

III. A - Rappeler la définition d'un $\mathcal{C}^1$ -difféomorphisme de $\mathbb{R}^2$ sur $\mathbb{R}^2$ et le théorème caractérisant un tel difféomorphisme parmi les applications de classe $\mathcal{C}^1$ de $\mathbb{R}^2$ dans $\mathbb{R}^2.$

Dans la suite de cette partie, on considère $\alpha\in\mathbb{R}_+^*$ et $F\in\mathcal{C}^1(\mathbb{R}^2,\mathbb{R}^2).$ On suppose que pour tout $(p,h)\in\mathbb{R}^2\times\mathbb{R}^2$ $\langle dF_p(h),h\rangle \geq \alpha|\hspace{-1pt}|h|\hspace{-1pt}|^2$ Le but de cette partie est de montrer que $F$ est un $\mathcal{C}^1$ -difféomorphisme.

III. B - Soient $p$ et $q$ dans $\mathbb{R}^2.$
III.B.1) Vérifier $\displaystyle F(q)-F(p)=\int_0^1dF_{p+t(q-p)}(q-p)\text{d}t$
III.B.2) Montrer $\langle F(q)-F(p),q-p\rangle\ge\alpha|\hspace{-1pt}|q-p|\hspace{-1pt}|^2$

III. C - Soient $a\in\mathbb{R}^2$ et $G^a$ l'application de $\mathbb{R}^2$ dans $\mathbb{R}$ définie par $\forall p\in\mathbb{R}^2,\qquad G^a(p)=|\hspace{-1pt}|F(p)-a|\hspace{-1pt}|^2$
III.C.1) Si $p$ et $h$ sont dans $\mathbb{R}^2,$ calculer $dG^a\hspace{-1pt} _p(h).$
III.C.2) Montrer que $G^a(p)\rightarrow+\infty$ quand $|\hspace{-1pt}|p|\hspace{-1pt}|\rightarrow+\infty.$
III.C.3) En déduire que $G^a$ atteint un minimum global sur $\mathbb{R}^2$ en un point $p_0.$
III.C.4) Montrer que $F(p_0)=a.$

III.D - Montrer que $F$ réalise un $\mathcal{C}^1$ -difféomorphisme de $\mathbb{R}^2$ sur $\mathbb{R}^2.$

IV. Le théorème de Jörgens

Soit $f$ dans $\mathcal{C}^2(\mathbb{R}^2,\mathbb{R})$ vérifiant (1) sur $\mathbb{R}^2.$

Pour $(x,y)\in\mathbb{R}^2,$ soient $u(x,y)=x+\cfrac{\partial f}{\partial x}(x,y),\ v(x,y)=y+\cfrac{\partial f}{\partial y}(x,y)$ et $F(x,y)=(u(x,y),v(x,y)).$

On suppose dans les questions IV.A et IV.B que $\cfrac{\partial^2f}{\partial x^2}(x,y)>0$ pour tout $(x,y)\in\mathbb{R}^2.$

IV. A - Si $(x,y)\in\mathbb{R}^2,$ montrer que $\text{Jac}F(x,y)-I_2$ (où $I_2$ désigne la matrice identité d'ordre 2) est symétrique positive. En déduire que $F$ est un $\mathcal{C}^1$ -difféomorphisme de $\mathbb{R}^2$ dans $\mathbb{R}^2.$

Dans la suite, soient, pour $(x,y)\in\mathbb{R}^2,\ r(x,y)=\cfrac{\partial^2f}{\partial x^2}(x,y),\ s(x,y)=\cfrac{\partial^2f}{\partial x\partial y}(x,y)$ et $t(x,y)=\cfrac{\partial^2f}{\partial y^2}(x,y)$ de sorte que, pour tout $(x,y)\in\mathbb{R}^2,\ r(x,y)>0$ et $r(x,y)t(x,y)-s(x,y)^2=1.$

IV. B -
IV.B.1) Montrer qu'il existe deux fonctions $\varphi$ et $\psi$ dans $\mathcal{C}^1(\mathbb{R}^2,\mathbb{R})$ telles que $\forall(x,y)\in\mathbb{R}^2,\qquad\left\lbrace\begin{array}{l} \varphi(u(x,y),v(x,y))=x-\cfrac{\partial f}{\partial x}(x,y)\\ \\ \psi(u(x,y),v(x,y)) = -y+\cfrac{\partial f}{\partial y}(x,y) \end{array}\right.$
IV.B.2) Calculer $\cfrac{\partial\varphi}{\partial u}(u(x,y),v(x,y)),\ \cfrac{\partial\varphi}{\partial v}(u(x,y),v(x,y)),\ \cfrac{\partial\psi} {\partial u}(u(x,y),v(x,y))$ et $\cfrac{\partial\psi}{\partial v}(u(x,y),v(x,y))$ (que l'on abrégera en $\cfrac{\partial\varphi}{\partial u},\ \cfrac{\partial \varphi}{\partial v},\ \cfrac{\partial\psi}{\partial u}$ et $\cfrac{\partial\psi}{\partial v}$ ) en fonction de $r(x,y),\ s(x,y)$ et $t(x,y)$ (que l'on abrégera en $r,\ s$ et $t$ ).
IV.B.3) Montrer que $\cfrac{\partial\varphi}{\partial u}$ et $\cfrac{\partial\varphi}{\partial v}$ sont bornées sur $\mathbb{R}^2.$
IV.B.4) Montrer, en utilisant la première partie, que $\cfrac{\partial\varphi}{\partial u}$ et $\cfrac{\partial\varphi}{\partial v}$ sont constantes.
IV.B.5) En déduire que $r,\ s$ et $t$ sont constantes.

IV.C - Montrer que les seules fonctions de $\mathbb{C}^2(\mathbb{R}^2,\mathbb{R})$ vérifiant (1) sur $\mathbb{R}^2$ appartiennent à $\mathcal{P}_2.$

Publié par david9333/ le 30-11--0001

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