Fiche de mathématiques
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CENTRALE
SUPÉLEC

CONCOURS D'ADMISSION 2013
Filière MP

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Composition de mathématiques 1
(Durée : 4 heures)

Calculatrices autorisées.
Dans tout le problème, \mathbb{R}^2 est muni du produit scalaire euclidien canonique noté \langle\ ,\ \rangle et de la norme |\hspace{-1pt}|\ |\hspace{-1pt}| associée.

Si \Omega est un ouvert non vide de \mathbb{R}^2 et si (k,n)\in(\mathbb{N}^*)^2, on note \mathcal{C}^k(\Omega,\mathbb{R}^n) l'espace des fonctions de classe \mathcal{C}^k de \Omega dans \mathbb{R}^n.

Si f\in\mathcal{C}^1(\Omega,\mathbb{R}^n), la différentielle de f au point p de \Omega est notée \text{d}f_p ; sa matrice relativement aux bases canoniques de \mathbb{R}^2 et de \mathbb{R}^n est appelée matrice jacobienne de f en p et est notée \text{Jac}f(p).

Si f est dans \mathcal{C}^2(\Omega,\mathbb{R}), on dit que f vérifie (1) si et seulement si
\forall(x,y)\in\Omega,\quad\cfrac{\partial^2f}{\partial x^2}(x,y)\times\cfrac{\partial^2f}{\partial y^2}(x,y)-\left(\cfrac{\partial^2f}{\partial x\partial y}(x,y)\right)^2=1\qquad(1)

On note \mathcal{P}_2 l'ensemble des fonctions polynomiales de degré \leq 2 dans \mathbb{R} c'est-à-dire les applications de \mathbb{R}^2 dans \mathbb{R} de la forme
(x,y) \mapsto ax^2+bxy+cy^2+dx+ey+f\quad\text{où}\quad(a,b,c,d,e,f)\in\mathbb{R}^6.

Le but principal du problème est de montrer que les solutions de (1) sur \mathbb{R}^2 appartiennent à \mathcal{P}_2.



I. Les équation de Cauchy-Riemann

Soient f et g dans \mathcal{C}^1(\mathbb{R}^2,\mathbb{R}) vérifiant les équations, dites de Cauchy-Riemann,
\cfrac{\partial f}{\partial x}=\cfrac{\partial g}{\partial y}\qquad\text{et}\qquad\cfrac{\partial f}{\partial y}=-\cfrac{\partial g}{\partial x}

On définit deux fonctions sur \mathbb{R}_+^*\times\mathbb{R} par
\forall(r,\theta)\in \mathbb{R}_+^*\times\mathbb{R},\quad \tilde{f}(r,\theta)=f(r\cos\theta,r\sin\theta)\quad\text{et}\quad \tilde{g}(r, \theta) = g(r\cos\theta,r\sin\theta)


Pour n\in\mathbb{Z}, on note \mathcal{E}_n l'espace des fonctions f de \mathcal{C}^2(\mathbb{R}_+^*,\mathbb{C}) telles que
\forall t\in\mathbb{R}_+^*,\qquad t^2f''(t)+tf'(t)-n^2f(t)=0

I.A -

I.A.1) Exprimer \cfrac{\partial\tilde{f}}{\partial r}(r,\theta) et \cfrac{\partial\tilde{f}}{\partial\theta}(r,\theta) en fonction de r,\theta,\cfrac{\partial f}{\partial x}(r\cos\theta,r\sin\theta) et \cfrac{\partial f}{\partial y}(r\cos\theta,r\sin\theta).
I.A.2) Pour tout (r,\theta)\in\mathbb{R}_+^*\times\mathbb{R}, montrer \cfrac{\partial\tilde{f}}{\partial r}(r,\theta)=\cfrac{1}{r}\times\cfrac{\partial\tilde{g}}{\partial\theta}(r,\theta) et \cfrac{\partial\tilde{g}}{\partial r}(r,\theta)=-\cfrac{1}{r}\times\cfrac{\partial\tilde{f}}{\partial\theta}(r,\theta).

I.B - Pour \alpha\in\mathbb{R}, soit \varphi_{\alpha} la fonction de \mathbb{R}_+^* dans \mathbb{R} définie par
\forall t\in\mathbb{R}_+^*,\qquad \varphi_{\alpha}(t)=t^{\alpha}

I.B.1) Pour tout n\in\mathbb{Z}^*, déterminer les réels \alpha tels que \varphi_{\alpha} appartienne à \mathcal{E}_n.
I.B.2) Déterminer \mathcal{E}_n pour n\in\mathbb{Z}. On discuter séparément le cas n=0.

I.C - Pour n\in\mathbb{Z}, soient c_{n,f} et c_{n,g} les fonctions de \mathbb{R}_+^* dans \mathbb{C} définies par
\forall r\in\mathbb{R}_+^*,\qquad \left\lbrace\begin{array}{l}c_{n,f}(r)=\cfrac{1}{2\pi}\displaystyle\int_{-\pi}^{\pi}\tilde{f}(r,\theta)e^{-in\theta}\text{d}\theta\\ c_{n,g}(r)=\cfrac{1}{2\pi}\displaystyle\int_{-\pi}^{\pi}\tilde{g}(r,\theta)e^{-in\theta}\text{d}\theta\end{array}\right.

I.C.1) Montrer que c_{n,f} est de classe \mathcal{C}^1 sur \mathbb{R}_+^* et vérifie
\forall r\in\mathbb{R}_+^*,\qquad (c_{n,f})'(r)=\cfrac{in}{r}\ c_{n,g}(r)

I.C.2) Montrer que c_{n,f} appartient à \mathcal{E}_n et que c_{n,f} est bornée au voisinage de 0. En déduire l'existence de a_n\in\mathbb{C} tel que
\forall r\in\mathbb{R}_+^*,\qquad c_{n,f}(r)=a_nr^{|n|}

I.C.3) En énonçant précisément le théorème utilisé, établir
\forall(r,\theta)\in\mathbb{R}_+^*\times\mathbb{R},\qquad\tilde{f}(r,\theta)=\displaystyle\lim_{p\to\infty}\sum_{n=-p}^pa_nr^{|n|}e^{in\theta}


I.D - Dans cette question, on suppose que les fonctions \cfrac{\partial f}{\partial x} et \cfrac{\partial f}{\partial y} sont bornées sur \mathbb{R}^2.
I.D.1) Si n\in\mathbb{Z}, montrer que la fonction (c_{n,f})' est bornée sur \mathbb{R}_+^*.
I.D.2) Montrer que les fonctions \cfrac{\partial f}{\partial x} et \cfrac{\partial f}{\partial y} sont constantes.



II. Quelques solutions de (1)

Si I est un intervalle de \mathbb{R}, on dit que u\in\mathcal{C}^1(I,\mathbb{R}) vérifie (II.1) sur I si et seulement si
\forall t\in I,\qquad u(t)(u(t)+2tu'(t))=-1\qquad(\text{II.1})

II. A - Déterminer les fonctions de \mathcal{P}_2 vérifiant (1) sur I.

II. B - En énonçant précisément le théorème utilisé, montrer, si (t_0,u_0) est dans (\mathbb{R}^*)^2, l'existence d'un intervalle ouvert I de \mathbb{R} contenant t_0 et d'une fonction u\in\mathcal{C}^1(I,\mathbb{R}) telle que u soit solution de (II.1) sur I et vérifie u(t_0)=u_0.

II. C - Soit J un intervalle ouvert non vide de \mathbb{R}. Existe-t-il une fonction polynomiale solution de (II.1) sur J ?

II. D - Soient J un intervalle ouvert non vide de \mathbb{R}, \Omega(J)=\lbrace(x,y)\in\mathbb{R}^2,\ xy\in J\rbrace, w dans \mathcal{C}^2(J,\mathbb{R}) et W la fonction définie par
\forall(x,y)\in\Omega(J),\qquad W(x,y)=w(xy)

II.D.1) Montrer que \Omega(J) est un ouvert non vide.
II.D.2) Montrer que W est dans \mathcal{C}^2(\Omega(J),\mathbb{R}) et que l'on a équivalence entre
      (i) W vérifie (1) sur \Omega(J),
      (ii) w' vérifie (II.1) sur J.
II.D.3) Montrer que W est la restriction à \Omega(J) d'une fonction de \mathcal{P}_2 si et seulement si w est affine.

II. E - Soient \Omega un ouvert non vide de \mathbb{R}^2,\ f dans \mathcal{C}^2(\Omega,\mathbb{R}) vérifiant (1) sur \Omega, (a,b)\in\mathbb{R}^2, \Omega_{a,b} l'image de \Omega par la translation de vecteur (a,b) et f_{a,b} la fonction définie sur \Omega_{a,b} par
\forall(x,y)\in\Omega_{a,b},\qquad f_{a,b}(x,y)=f(x-a,y-b)
Montrer que f_{a,b} vérifie (1) sur \Omega_{a,b}.

II. F - Si (x_0,y_0) est dans \mathbb{R}^2, montrer qu'il existe un ouvert U de \mathbb{R}^2 contenant (x_0, y_0) tel que l'ensemble des fonctions de \mathcal{C}^2(U,\mathbb{R}) vérifiant (1) sur U et ne coïncidant sur U avec aucun élément de \mathcal{P}_2 soit infini.



III. Un critère de difféomorphisme

III. A - Rappeler la définition d'un \mathcal{C}^1-difféomorphisme de \mathbb{R}^2 sur \mathbb{R}^2 et le théorème caractérisant un tel difféomorphisme parmi les applications de classe \mathcal{C}^1 de \mathbb{R}^2 dans \mathbb{R}^2.

Dans la suite de cette partie, on considère \alpha\in\mathbb{R}_+^* et F\in\mathcal{C}^1(\mathbb{R}^2,\mathbb{R}^2). On suppose que pour tout (p,h)\in\mathbb{R}^2\times\mathbb{R}^2
\langle dF_p(h),h\rangle \geq \alpha|\hspace{-1pt}|h|\hspace{-1pt}|^2
Le but de cette partie est de montrer que F est un \mathcal{C}^1-difféomorphisme.

III. B - Soient p et q dans \mathbb{R}^2.
III.B.1) Vérifier
\displaystyle F(q)-F(p)=\int_0^1dF_{p+t(q-p)}(q-p)\text{d}t

III.B.2) Montrer
\langle F(q)-F(p),q-p\rangle\ge\alpha|\hspace{-1pt}|q-p|\hspace{-1pt}|^2


III. C - Soient a\in\mathbb{R}^2 et G^a l'application de \mathbb{R}^2 dans \mathbb{R} définie par
\forall p\in\mathbb{R}^2,\qquad G^a(p)=|\hspace{-1pt}|F(p)-a|\hspace{-1pt}|^2

III.C.1) Si p et h sont dans \mathbb{R}^2, calculer dG^a\hspace{-1pt} _p(h).
III.C.2) Montrer que G^a(p)\rightarrow+\infty quand |\hspace{-1pt}|p|\hspace{-1pt}|\rightarrow+\infty.
III.C.3) En déduire que G^a atteint un minimum global sur \mathbb{R}^2 en un point p_0.
III.C.4) Montrer que F(p_0)=a.

III.D - Montrer que F réalise un \mathcal{C}^1-difféomorphisme de \mathbb{R}^2 sur \mathbb{R}^2.



IV. Le théorème de Jörgens

Soit f dans \mathcal{C}^2(\mathbb{R}^2,\mathbb{R}) vérifiant (1) sur \mathbb{R}^2.

Pour (x,y)\in\mathbb{R}^2, soient u(x,y)=x+\cfrac{\partial f}{\partial x}(x,y),\ v(x,y)=y+\cfrac{\partial f}{\partial y}(x,y) et F(x,y)=(u(x,y),v(x,y)).

On suppose dans les questions IV.A et IV.B que \cfrac{\partial^2f}{\partial x^2}(x,y)>0 pour tout (x,y)\in\mathbb{R}^2.

IV. A - Si (x,y)\in\mathbb{R}^2, montrer que \text{Jac}F(x,y)-I_2 (où I_2 désigne la matrice identité d'ordre 2) est symétrique positive. En déduire que F est un \mathcal{C}^1-difféomorphisme de \mathbb{R}^2 dans \mathbb{R}^2.

Dans la suite, soient, pour (x,y)\in\mathbb{R}^2,\ r(x,y)=\cfrac{\partial^2f}{\partial x^2}(x,y),\ s(x,y)=\cfrac{\partial^2f}{\partial x\partial y}(x,y) et  t(x,y)=\cfrac{\partial^2f}{\partial y^2}(x,y) de sorte que, pour tout (x,y)\in\mathbb{R}^2,\ r(x,y)>0 et r(x,y)t(x,y)-s(x,y)^2=1.

IV. B -
IV.B.1) Montrer qu'il existe deux fonctions \varphi et \psi dans \mathcal{C}^1(\mathbb{R}^2,\mathbb{R}) telles que
\forall(x,y)\in\mathbb{R}^2,\qquad\left\lbrace\begin{array}{l} \varphi(u(x,y),v(x,y))=x-\cfrac{\partial f}{\partial x}(x,y)\\ \\  \psi(u(x,y),v(x,y)) = -y+\cfrac{\partial f}{\partial y}(x,y) \end{array}\right.

IV.B.2) Calculer \cfrac{\partial\varphi}{\partial u}(u(x,y),v(x,y)),\ \cfrac{\partial\varphi}{\partial v}(u(x,y),v(x,y)),\ \cfrac{\partial\psi} {\partial u}(u(x,y),v(x,y)) et \cfrac{\partial\psi}{\partial v}(u(x,y),v(x,y)) (que l'on abrégera en \cfrac{\partial\varphi}{\partial u},\ \cfrac{\partial \varphi}{\partial v},\ \cfrac{\partial\psi}{\partial u} et \cfrac{\partial\psi}{\partial v}) en fonction de r(x,y),\ s(x,y) et t(x,y) (que l'on abrégera en r,\ s et t).
IV.B.3) Montrer que \cfrac{\partial\varphi}{\partial u} et \cfrac{\partial\varphi}{\partial v} sont bornées sur \mathbb{R}^2.
IV.B.4) Montrer, en utilisant la première partie, que \cfrac{\partial\varphi}{\partial u} et \cfrac{\partial\varphi}{\partial v} sont constantes.
IV.B.5) En déduire que r,\ s et t sont constantes.

IV.C - Montrer que les seules fonctions de \mathbb{C}^2(\mathbb{R}^2,\mathbb{R}) vérifiant (1) sur \mathbb{R}^2 appartiennent à \mathcal{P}_2.
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