Fiche de mathématiques
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ECOLE DES PONTS PARITECH,
SUPAERO (ISAE), ENSTA PARISTECH,
TELECOM PARISTECH, MINES PARITECH,
MINES DE SAINT-ETIENNE, MINES DE NANCY,
TELECOM BRETAGNE, ENSAE PARISTECH (filière MP),
ECOLE POLYTECHNIQUE (filière TSI).

CONCOURS 2013

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Deuxième épreuve
Filière MP
(Durée de l'épreuve : 4 heures)

L'usage d'ordinateur ou de calculette est interdit.
Si, au cours de l'épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être une erreur d'énoncé, il le signale sur sa copie et poursuit sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu'il est amené à prendre.

Quelques propriétés géométriques du groupe orthogonal

Notations et définitions


Soit E un espace vectoriel euclidien (préhilbertien réel de dimension finie). On note <,> le produit scalaire de E et |\hspace{-1pt}|\,|\hspace{-1pt}| la norme euclidienne associée. Si H est une partie de E, on appelle enveloppe convexe de H, notée \text{conv}(H), la plus petite partie convexe de E contenant H, c'est-à-dire l'intersection de tous les convexes de E contenant H.

Soit n un entier naturel \ge 2. On désigne par \mathcal{M}_n(\mathbb{R}) l'espace vectoriel des matrices carrées d'ordre n à coefficients réels. On note I la matrice identité de \mathcal{M}_n(\mathbb{R}) et si A\in\mathcal{M}_n(\mathbb{R}), on note ^t\hspace{-2pt}A la matrice transposée de A et \text{tr}(A) la trace de A. On rappelle que le groupe orthogonal O_n(\mathbb{R}) de \mathcal{M}_n(\mathbb{R}) est l'ensemble des matrices U de \mathcal{M}_n(\mathbb{R}) telles que U{}^tU=I. On rappelle également qu'une matrice symétrique réelle est dite positive si ses valeurs propres sont positives ou nulles.

On pourra identifier \mathbb{R}^n et l'ensemble des matrices colonnes \mathcal{M}_{n,1}(\mathbb{R}), que l'on suppose muni du produit scalaire canonique, pour lequel la base canonique de \mathbb{R}^n est orthonormée. On note |\hspace{-1pt}|\ |\hspace{-1pt}|_2 la norme sur \mathcal{M}_n(\mathbb{R}) subordonnée à la norme euclidienne de \mathbb{R}^n : pour tout A\in\mathcal{M}_n(\mathbb{R}), |\hspace{-1pt}|A|\hspace{-1pt}|_2=\displaystyle \sup_{X\in\mathbb{R}^n,|\hspace{-1pt}|X|\hspace{-1pt}|=1}|\hspace{-1pt}|AX|\hspace{-1pt}|.

Les parties A, B, C et D sont indépendantes.



A. Produit scalaire de matrices


On rappelle que \text{tr}(A) désigne la trace de la matrice A\in\mathcal{M}_n(\mathbb{R}).

1) Monter que pour toute base orthonormée (e_1,e_2,\dots,e_n) de \mathbb{R}^n, on a la formule \text{tr}(A)=\displaystyle\sum_{i=1}^n <Ae_i,e_i>.

2) Monter que l'application (A,B)\mapsto\text{tr}({}^t\hspace{-2pt}AB) définit un produit scalaire sur \mathcal{M}_n(\mathbb{R}), noté <,>.

On note |\hspace{-1pt}|\ |\hspace{-1pt}|_1 la norme euclidienne associée à ce produit scalaire. L'attention du candidat est attirée sur le fait que  \mathcal{M}_n(\mathbb{R}) est désormais muni de deux normes différentes |\hspace{-1pt}|\ |\hspace{-1pt}|_1 et |\hspace{-1pt}|\ |\hspace{-1pt}|_2.

3)Si A et B sont symétriques réelles positives, montrer que <A,B>\ge0. On pourra utiliser une base orthonormée de vecteurs propres de B.



B. Décomposition polaire


Soit f un endomorphisme de E. On note A la matrice de f dans une base orthonormée de E, et on note f^* l'adjoint de f.

4) Montrer que ^t\hspace{-2pt}AA est une matrice symétrique réelle positive. Exprimer |\hspace{-1pt}|A|\hspace{-1pt}|_2 en fonction des valeurs propres de ^t\hspace{-2pt}AA.

5) Montrer qu'il existe un endomorphisme auto-adjoint positif h de E tel que f^*\circ f=h^2.

6) Montrer que la restriction de h à \text{Im}\ h induit un automorphisme de \text{Im}\ h. On notera cet automorphisme \tilde{h}.

7) Montrer que |\hspace{-1pt}|h(x)|\hspace{-1pt}|=|\hspace{-1pt}|f(x)|\hspace{-1pt}| pour tout x\in E. En déduire que \text{Ker}\  h et (\text{Im}\ f)^{\bot} ont même dimension et qu'il existe un isomorphisme v de \text{Ker}\ h sur (\text{Im}\ f)^{\bot} qui conserve la norme.

8) À l'aide de \tilde{h} et v, construire un automorphisme orthogonal u de E tel que f=u\circ h.

9) En déduire que toute matrice A\in\mathcal{M}_n(\mathbb{R}) s'écrit sous la forme A=US, où U\in O_n(\mathbb{R}) et S est une matrice symétrique positive.
On admet que si A est inversible, cette écriture est unique.



C. Projeté sur un convexe compact


Soit H une partie de E, convexe et compacte, et soit x\in E. On note d(x,H)=\displaystyle\inf_{h\in H}|\hspace{-1pt}|x-h|\hspace{-1pt}|.

10) Montrer qu'il existe un unique h_0\in H tel que d(x,H)= \|  x - h_0|\hspace{-1pt}|. On pourra utiliser pour h_0,h_1 dans H la fonction définie pour tout t\in\mathbb{R} par la formule q(t)=|\hspace{-1pt}|x-th_0-(1-t)h_1|\hspace{-1pt}|^2.

11) Montrer que h_0 est caractérisé par la condition <x-h_0,h-h_0>\le0 pour tout h\in H. On pourra utiliser la même fonction q(t) qu'à la question précédente.

Le vecteur h_0 s'appelle projeté de x sur H.



D. Théorème de Carathéodory et compacité


Dans cette partie, on suppose que E est de dimension n. On dit que x\in E est une combinaison convexe des p éléments x_1,x_2,\dots,x_p\in E, s'il existe des réels \lambda_1,\lambda_2,\dots,\lambda_p positifs ou nuls tels que
x=\displaystyle\sum_{i=1}^p\lambda_ix_i\qquad\text{et}\qquad\sum_{i=1}^p\lambda_i=1.

12)Montrer que l'enveloppe convexe \text{conv}(H) d'une partie H de E est constituée des combinaisons convexes d'éléments de H.

On souhaite montrer que l'enveloppe convexe \text{conv}(H) est constituée des combinaisons convexes d'au plus n+1 éléments de H.
Soit x=\displaystyle\sum_{i=1}^p\lambda_ix_i une combinaison convexe de x_1,x_2,\dots,x_p\in H avec p\ge n+2.

13) Montrer qu'il existe p réels non tous nuls \mu_1,\mu_2,\dots,\mu_p tels que
\displaystyle\sum_{i=1}^p\mu_ix_i=0\qquad\text{et}\qquad\sum_{i=1}^p\mu_i=0.
On pourra considérer la famille (x_2-x_1,x_3-x_1,\dots,x_p-x_1).

14) En déduire que x s'écrit comme combinaison convexe d'au plus p-1 éléments de H et conclure que \text{conv}(H) est constituée des combinaisons convexes d'au plus n+1 éléments de H.
On pourra considérer une suite de coefficients de la forme \lambda_i-\theta\mu_i\ge0,\ i\in\lbrace1,2,\dots,p\rbrace pour un réel \theta bien choisi.

15) Si H est une partie compacte de E, montrer que \text{conv}(H) est compacte.
On pourra introduire l'ensemble compact de \mathbb{R}^{n+1} défini par
\Lambda=\left\lbrace(t_1,\dots,t_{n+1}),\ \text{avec}\ t_i\ge0\ \text{pour tout}\ i\in\lbrace1,\dots,n+1\rbrace\ \text{et}\ \displaystyle\sum_{i=1}^{n+1}t_i=1\right\rbrace.



E. Enveloppe convexe de O_n(\mathbb{R})


16) Monter que l'enveloppe convexe \text{conv}(O_n(\mathbb{R})) est compacte.

On note \mathcal{B} la boule unité fermée de (\mathcal{M}_n(\mathbb{R}),|\hspace{-1pt}|\ |\hspace{-1pt}|_2).

17) Montrer que \text{conv}(O_n(\mathbb{R})) est contenue dans \mathcal{B}.

On suppose qu'il existe M\in\mathcal{B} telle que M n'appartient pas à \text{conv}(O_n(\mathbb{R})). On note N le projeté de M sur \text{conv}(O_n(\mathbb{R})) défini à la partie C pour la norme |\hspace{-1pt}|\ |\hspace{-1pt}|_1, et on pose A={}^t\hspace{-2pt} (M-N). On écrit enfin A=US, avec U\in O_n(\mathbb{R}) et S symétrique réelle positive (question 9).

18) Montrer que pour tout V\in\text{conv}(O_n(\mathbb{R})),\ \text{tr}(AV)\le\text{tr}(AN)<\text{tr}(AM). En déduire que \text{tr}(S)< \text{tr}(USM).

19) Montrer que \text{tr}(MUS)\le\text{tr}(S). On pourra appliquer le résultat de la question 1).

20) Conclure : déterminer \text{conv}(O_n(\mathbb{R})).



F. Points extrémaux


Un élément A\in\mathcal{B} est dit extrémal dans \mathcal{B} si l'écriture A=\cfrac{1}{2}(B+C), avec B,C appartenant à \mathcal{B}, entraîne A=B=C. Dans cette partie, on cherche à déterminer l'ensemble des points extrémaux de \mathcal{B}.

21) On suppose que U\in O_n(\mathbb{R}) s'écrit sous la forme U=\cfrac{1}{2}(V+W), avec V,W appartenant à \mathcal{B}. Montrer que pour tout X\in\mathbb{R}^n, les vecteurs VX et WX sont liés. En déduire que U est extrémal dans \mathcal{B}.

Soit A appartenant à \mathcal{B} mais n'appartenant pas à O_n(\mathbb{R}).

22) Montrer que l'on peut écrire A sous la forme A=PDQ, où P et Q sont deux matrices orthogonales et où D est une matrice diagonale dont les éléments diagonaux d_1,d_2,\dots,d_n sont positifs ou nuls.

23) Montrer que d_i\le1 pour tout i\in\lbrace{1,2,\dots,n\rbrace, et qu'il existe j\in\lbrace1,2,\dots,n\rbrace tel que  d_j<1.

24) En déduire qu'il existe deux matrices A_{\alpha} et A_{-\alpha} appartenant à \mathcal{B} telles que A=\cfrac{1}{2} (A_{\alpha}+A_{-\alpha}). Conclure.
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