Fiche de mathématiques

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ECOLE NATONALE DES PONTS ET CHASSES.
ECOLE NATIONALES SUPERIEURES
DE L'AERONAUTIQUE ET DE L'ESPACE,
DE TECHNIQUES AVANCEES,
DES TELECOMMUNICATIONS,
DES MINES DE PARIS,
DES MINES DE SAINT-ETIENNE,
DES MINES DE NANCY,
DES TELECOMMUNICATIONS DE BRETAGNE,
ECOLE POLYTECHNIQUE (filière TSI).

CONCOURS D'ADMISSION 2008

Première épreuve
Filière MP
(Durée de l'épreuve : 3 heures)
L'usage d'ordinateur ou de calculette est interdit.
Si, au cours de l'épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être une erreur d'énoncé, il le signale sur sa copie et poursuit sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu'il est amené à prendre.

Inégalité d'Alexandrov

Dans tout ce problème, $n$ est un entier au moins égal à 1. On note $\mathcal{G}_n$ le groupe des permutations de $I_n = \lbrace 1,...,n \rbrace$ .
On note $\mathfrak{M}_{n,p}(\mathbb{R})$ l'espace vectoriel des matrices à $n$ lignes et $p$ colonnes, à coefficients réels. Pour une matrice $M \in \mathfrak{M}_{n,n}(\mathbb{R})$ de coefficients $m_{i,j}$ , on notera $m_j$ le j-ième vecteur colonne de $M$ , celui dont les composantes sont $(m_{i,j},i = 1,...,n)$ . On écrira ainsi : $M = (m_1,...,m_n)$
On remarquera que $m_{i,j}$ est indifféremment le coefficent en ligne $i$ et colonne $j$ de $M$ ainsi que la i-ième composante de $m_j$ . On identifiera une matrice colonne $m$ et le vecteur de $\mathbb{R}^n$ dont les composantes dans la base canonique de $\mathbb{R}^n$ sont les coefficients de $m$ . On note $||\quad||$ la norme euclidienne de $\mathbb{R}^n$ et $x \cdot y$ représente le produit scalaire euclidien de deux vecteurs de $\mathbb{R}^n$ . On note $S$ la sphère unité de $\mathbb{R}^n$ , c'est-à-dire
$S = \lbrace x \quad / \quad ||x|| = 1 \rbrace$
Pour une matrice $M \in \mathfrak{M}_{n,n}(\mathbb{R})$ , pour $i$ et $j$ éléments de $\lbrace 1,...,n \rbrace$ , on note $M(i|j)$ la matrice obtenue en supprimant de $M$ la i-ième ligne et la j-ième colonne. Pour un vecteur colonne $m$ , $m(j)$ représente le vecteur colonne $m$ duquel on a ôté la j-ième composante.
Soit $Q$ une matrice symétrique réelle de $\mathfrak{M}_{n,n}(\mathbb{R})$ . On note $B_Q$ la forme bilinéaire associée : pour tout $x$ et $y$ de $\mathbb{R}^n$ ,
$B_Q(x,y) = Qx.y$
et on note $\Phi_Q$ la forme quadratique associée : $\Phi_Q = B_Q(x,x)$ .

Définition 1

Soit $V$ un sous-espace vectoriel de $\mathbb{R}^n$ , on dira que $\Phi_Q$ est définie positive (respectivement positive, respectivement définie négative) sur $V$ lorsque
$\Phi_Q(x) > 0$ pour tout $x$ appartenant à $V \cap S$
(respectivement $\Phi_Q(x) \ge 0$ , respectivement $\Phi_Q(x) < 0$ ). On notera $\mathcal{V}^+$ (respectivement $\mathcal{V}^+_0$ , respectivement $\mathcal{V}^-$ ) l'ensemble des sous-espaces vectoriels sur lesquels $\Phi_Q$ est définie positive (respectivement positive, respectivement définie négative). On pose
$r(\Phi_Q) = \displaystyle \max_{V\in\mathcal{V}^+} (\dim V)$ et $s(\Phi_Q) = \displaystyle \max_{V\in\mathcal{V}^-}(dim\quad V)$
avec la convention que $\displaystyle \max_{V\in\emptyset} (\dim V)=0$ .

I. Permanents

Définition 2

Pour $M = (m_1, ... ,m_n) \in \mathfrak{M}_{n,n}(\mathbb{R})$ , on définit son permanent, noté per, par
$\begin{array}{lccl} \text{per} : & \left(\mathfrak{M}_{n,1}(\mathbb{R})\right)^n & \to & \mathbb{R}\\ & (m_1,...,m_n) & \mapsto & \displaystyle \sum_{\sigma\in\mathcal{G}_n} m_{1\sigma(1)}m_{2\sigma(2)}...m_{n\sigma(n)}\end{array}$

On tiendra pour acquis que la forme per est multilinéaire et symétrique, c'est-à-dire invariante par permutations des vecteurs.

1. Etablir pour tous $m_1 , m_2 , ... , m_n$ éléments de $\mathfrak{M}_{n,1}(\mathbb{R})$ , l'inégalité $|\text{per}(m_1,...,m_n)| \le n! \displaystyle \prod_{j=1}^n||m_j||$ .

2. Pour $(m_1 , ... , m_n)$ et $(r_1 , r_2 , ... , r_n)$ éléments de $\left( \mathfrak{M}_{n,1}(\mathbb{R}) \right)^n$ , établir l'inégalité suivante : $|\text{per}(m_1 , ... , m_n) - \text{per}(r_1 , ... , r_n)| \le n! \displaystyle \sum_{j=1}^n ||m_1|| ... ||m_{j-1}|| ||m_j - r_j|| ||r_{j+1}|| ... ||r_n||$ ,
où l'on convient que $||m_1|| \cdot ||m_{j-1}|| = 1$ pour $j = 1$ et $||r_{j+1}|| \cdot ||r_n|| = 1$ pour $j = n$ .

3. Montrer la propriété suivante ; pour tout $j \in I_n$ , $\text{per } M = \displaystyle \sum_{i=1}^n m_{ij} \text{per }(M(i|j)) \hspace{10pt} (1)$

II. Formes quadratiques

Dans toute cette partie, $Q$ est une matrice symétrique réelle inversible. On note $\text{sp}(Q) = (\lambda_1 , ... , \lambda_n)$ la suite de ses valeurs propres répétées selon leur multiplicité, $n^+(Q)$ le nombre de termes strictement positifs dans $\text{sp}(Q)$ et $n^-(Q)$ le nombre de termes strictement négatifs dans $\text{sp}(Q)$ .

4. Soit $H \in \mathcal{V}_0^+$ et $G \in \mathcal{V}^-$ , montrer que $H$ et $G$ sont en somme directe et que $r$ \Phi_Q $ + s $ \Phi_Q $ \le n$ .

5. Montrer que $r$ \Phi_Q $ \ge n^+ (Q)$ .
On a alors de même $s$\Phi_Q$ \ge n^-(Q)$ .

6. Montrer que $$ \Phi_Q $ = n^+ (Q)$ et que $s(\Phi_Q) = n^-(Q)$ .
Soit $R$ une autre matrice symétrique réelle inversible de taille $n$ telle qu'il existe une constante $k$ satisfaisant la propriété suivante : pour tout $x$ et $y$ de $\mathbb{R}^n$ ,
$|B_Q(x,y) - B_R(x,y)| \le \kappa ||x|| ||y||$ .

7. Montrer qu'il existe $\delta > 0$ tel que $r$\Phi_Q$ = r$\Phi_R$$ si $\kappa \le \delta$ .

III. Espaces de Lorentz

Définition 3

Soit $Q \in \mathfrak{M}_{n,n}(\mathbb{R})$ , une matrice symétrique et $\Phi_Q$ la forme quadratique associée. On dit que $(\mathbb{R}^n,Q)$ est un espace de Lorentz lorsque les propriétés suivantes sont vérifées :
i) $Q$ est inversible,
ii) $r$\Phi_Q$ = 1$ et $s$\Phi_Q$ = n - 1$ .

On suppose dans cette partie que $Q \in \mathfrak{M}_{n,n}(\mathbb{R})$ est telle que $(\mathbb{R}^n , Q)$ soit un espace de Lorentz. Soit $a$ un vecteur tel que $\Phi_Q(a) > 0$ et $b \in \mathbb{R}^n$ . Soit l'application $\varphi$ définie par
$\begin{array}{cccl} \varphi : & \mathbb{R} & \to & \mathbb{R}\\ & \rho & \mapsto & \Phi_Q(b + \rho a)\\ \end{align}$

8. On suppose, dans cette question, que $a$ et $b$ sont linéairement indépendants. Montrer qu'il existe au moins une valeur de $\lambda$ telle que $\varphi(\lambda) < 0$ .

9. Etablir la propriété : $B_Q(a,b)^2 \ge \Phi_Q(a) \Phi_Q(b)$ ,
avec égalité si et seulement si $a$ et $b$ sont colinéaires.
On pourra s'inspirer de la preuve de l'inégalité de Cauchy-Schwarz.

IV. Inégalité d'Alexandrov

On veut maintenant établir le théorème suivant. On note $(e_1,...,e_n)$ la base canonique de $\mathbb{R}^n$ .

Théorème 1

Soit $n$ un entier supérieur à 2. Soit $m_1, m_2,..., m_n$ des éléments de $\mathbb{R}^n$ à composantes strictement positves. Soit $Q$ la matrice symétrique dont les coefficients sont définis par $q_{ij} = \text{per}(m_1,m_2,...,m_{n-2},e_i,e_j), \, i \in I_n, \, j \in I_n$ .
Soit $B_Q$ et $\Phi_Q$ les formes bilinéaires et quadratiques associées à $Q$ respectivement.
L'espace $(\mathbb{R}^n , Q)$ est un espace de Lorentz.

10. Calculer $r(\Phi_Q)$ et $s(\Phi_Q)$ pour $n = 2$ , c'est-à-dire pour : $Q = \left( \begin{array}{ccc} 0 & & 1\\ 1 & & 0 \\ \end{array} \right)$ On suppose le théorème établi pour tout $k \le n - 1$ .

11. Etablir pour tout $j$ de $I_n$ l'inégalité : $\left( \text{per}(m_1,...,m_{n-3},m_{n-2},c,e_j)\right)^2 \ge \text{per}(m_1,...,m_{n-3},m_{n-2},m_{n-2},e_j) \times \text{per}(m_1,...,m_{n-3},c,c,e_j)$ (3) avec égalité si et seulement si $c(j)$ et $m_{n-2}(j)$ sont coliénaires.

Dans les questions 12. et 13., $c$ est un élément de $\mathbb{R}^n$ tel que $Q_c = 0$ .

12. Etablir l'identité : $0 = Qc.c = \displaystyle \sum_{j=1}^n m_{j,n-2} \text{per}(m_1,...,m_{n-3},c,c,e_j)$

13. Montrer que pour tout $j \in I_n$ , $\text{per}(m_1,...,m_{n-2},c,e_j) = 0 \, \text{ et } \text{per}(m_1,...,m_{n-2},m_{n-2},e_j) > 0$

14. En déduire $Qc = 0$ si et seulement si $c = 0$ .

Soit $e = \displaystyle \sum_{i=1}^n e_i$ , pour tout $\theta$ appartenant à [0 , 1], on pose $B_{\theta}(x,y) = \text{per}(\theta m_1 + (1 - \theta)e, \cdots , \theta m_{n-2} + (1 - \theta) e , x , y).$ On note $Q_\theta$ et $\Phi_{\theta}$ la matrice symétrique et la forme quadratique associées à la forme bilinéaire symétrique $B_\theta$ .

15. Expliciter $Q_0$ . Montrer que ses valeurs propres sont $(n - 1)!$ et $-(n - 2)!$ et que $r(\Phi_Q_0) = 1$ ainsi que $s(\Phi_{Q_0} = n - 1$ .

16. Soit $\theta$ et $\theta '$ deux éléments distincts de [0 , 1]. Montrer que, pour tout $x$ et tout $y$ de $\mathbb{R}^n$ , $|B_\theta(x,y) - B_{\theta'}(x,y)| \le n n! |\theta - \theta'| ||x|| ||y|| \displaystyle \prod_{j=1}^{n-2}(||m_j|| + \sqrt{n}).$

17. Établir que $r(\Phi_{Q_1} = 1$ et $s(\Phi_{Q_1}) = n - 1.$
On pourra raisonner par l'absurde et considérer $\tau = \sup_{\theta\in[0,1]} \lbrace \theta \, / \, r(\Phi_Q_\theta) = 1 \rbrace.$

18. Établir l'inégalité d'Alexandrov qui stipule que pour $m_1,...,m_{n-1}$ vecteurs de $\mathbb{R}^n$ à coordonnées strictement positives et $b$ vecteur quelconque de $\mathbb{R}^n$ , $\left( \text{per} (m_1, ... , m_{n-1} , b) \right)^2 \ge \text{per}(m_1 , ... , m_{n-1} , m_{n-1}) \text{per} (m_1 , ... , b , b).$

Publié par Puisea/ le 30-11--0001

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