Fiche de mathématiques

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ECOLE DES PONTS PARITECH,
SUPAERO (ISAE), ENSTA PARISTECH,
TELECOM PARISTECH, MINES PARITECH,
MINES DE SAINT-ETIENNE, MINES DE NANCY,
TELECOM BRETAGNE, ENSAE PARISTECH (filière MP),
ECOLE POLYTECHNIQUE (filière TSI).

CONCOURS 2011

Première épreuve
Filière MP
(Durée de l'épreuve : 3 heures)
L'usage d'ordinateur ou de calculette est interdit.
Si, au cours de l'épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être une erreur d'énoncé, il le signale sur sa copie et poursuit sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu'il est amené à prendre.

Critère de diagonalisation de Klarès

Soit $n$ un entier naturel non nul et $M_n(\mathbb{C})$ l'espace vectoriel des matrices carrées d'ordre $n$ à coefﬁcients complexes. On note $O_n$ la matrice nulle et $I_n$ la matrice identité de $M_n(\mathbb{C}).$ La trace d'une matrice $U$ de $M_n(\mathbb{C})$ est notée $tr(U)$ .
On dit que deux matrices $U$ et $V$ de $M_n(\mathbb{C})$ commutent si $UV = V U$ . Une matrice $N$ de $M_n(\mathbb{C})$ est dite nilpotente s'il existe un entier $k > 0$ pour lequel $N^k = O_n$ .
Dans tout le problème, on considère une matrice $A$ de $M_n(\mathbb{C})$ et on note $f$ l'endomorphisme de $\mathbb{C}^n$ canoniquement associé, c'est-à-dire l'endomorphisme dont la matrice dans la base canonique de $\mathbb{C}^n$ est $A$ . Le polynôme caractéristique de $A$ est noté $P$ et les valeurs propres complexes distinctes de $A$ sont notées $\lambda_1,\lambda_2, \cdots ¸ \lambda_r.$ Pour tout $i \in \lbrace 1, \cdots , r \rbrace$ on note :
$\alpha_i$ l'ordre de multiplicité de la valeur propre $\lambda_i$ , c'est-à-dire l'ordre de multiplicité de la racine $\lambda_i$ du polynôme $P$ ;
$P_i$ le polynôme déﬁni par $P_i(X) = (\lambda_i - X)^{\alpha_i};$
$F_i$ le sous-espace vectoriel de $\mathbb{C}^n$ déﬁni par $F_i = Ker \left( \left( f - \lambda_i Id_{\mathbb{C}^n} \right)^{\alpha_i} \right);$
$f_i$ l'endomorphisme de $F_i$ obtenu par restriction de $f$ à $F_i.$

La partie B, à l'exception de la question 11., est indépendante de la partie A.
La partie C est indépendante des parties précédentes.

A. Décomposition de Dunford

1. Justiﬁer que l'espace vectoriel $\mathbb{C}^n$ est somme directe des espaces $F_i$ : $\mathbb{C}^n = \displaystyle \bigoplus_{i=1}^r F_i.$

2. En considérant une base de $\mathbb{C}^n$ adaptée à la somme directe précédente, montrer que pour tout $i \in \lbrace 1, \cdots , r \rbrace$ , le polynôme caractéristique de $f_i$ est $P_i$ . (On pourra d'abord établir que $P_i$ est un polynôme annulateur de $f_i$ .)

3. Montrer qu'il existe une matrice inversible $P$ de $M_n(\mathbb{C})$ telle que $A' = P^{-1}AP$ soit une matrice déﬁnie par blocs de la forme suivante :

Concours Les Mines filière MP Première épreuve 2011 - supérieur : image 1

où $N_i \in M_{\alpha_1}(\mathbb{C})$ est nilpotente pour tout $i \in \lbrace 1, \cdots , r \rbrace.$

4. En déduire que la matrice $A$ s'écrit sous la forme $A = D + N,$ où $D$ est une matrice diagonalisable et $N$ une matrice nilpotente de $M_n(\mathbb{C})$ qui commutent.

Les matrices $D$ et $N$ vériﬁant ces conditions constituent la décomposition de Dunford de la matrice $A$ . Dans toute la suite du problème, on admettra l'unicité de cette décomposition, c'est-à-dire que $D$ et $N$ sont déterminées de façon unique par $A$ .

Un exemple pour $n = 3$ :

5. Calculer la décomposition de Dunford de $A = \begin{pmatrix} 3 & -1 & 1\\2 & 0 & 1\\ 1& -1& 2 \end{pmatrix}.$

B. Commutation et conjugaison

Pour toute matrice $B$ et toute matrice inversible $P$ de $M_n(\mathbb{C}),$ on note comm_B et conj_P les endomorphismes de $M_n(\mathbb{C})$ déﬁnis par : $\forall X \in M_n(\mathbb{C}), \left \lbrace \begin{array}{l} \text{comm}_B(X) = BX - XB\\ \text{conj}_P(X) = P X P^{-1} \end{array} \right.$ Le but de cette partie est de démontrer que $A$ est diagonalisable si et seulement si comm_A est diagonalisable.

6. Soit $P$ une matrice inversible de $M_n(\mathbb{C}).$ Calculer $\text{conj}_{P^{-1}} \circ \text{comm}_A \circ \text{conj}_P.$

Pour tous $i , j \in \lbrace 1, \cdots ,n \rbrace,$ on note $E_{i,j}$ la matrice de $M_n(\mathbb{C})$ dont tous les coefficients sont nuls, sauf celui situé à l'intersection de la i-ème ligne et de la j-ème colonne qui est égal à 1.

7. Si $A$ est une matrice diagonale, montrer que pour tous $i, j \in \lbrace 1, 2,...,n \rbrace,$ $\text{comm}_A$ admet $E_{i,j}$ comme vecteur propre. Déterminer l'ensemble des valeurs propres de $\text{comm}_A$ .

8. En déduire que si $A$ est diagonalisable, $\text{comm}_A$ l'est aussi.

9. Montrer que si $A$ est nilpotente, $\text{comm}_A}$ l'est également, c'est-à-dire qu'il existe un entier $k > 0$ pour lequel $(\text{comm}_A)^k$ est l'endomorphisme nul de $M_n(\mathbb{C})$ .

10. Montrer que si $A$ est nilpotente, et si $\text{comm}_A$ est l'endomorphisme nul, alors $A$ est la matrice nulle.

D'après la partie A, l'endomorphisme $\text{comm}_A$ admet une décomposition de Dunford de la forme $\text{comm}_A = d + n$ , où les endomorphismes diagonalisable $d$ et nilpotent $n$ commutent : $dn = nd$ .

11. Déterminer la décomposition de Dunford de $\text{comm}_A$ à l'aide de celle de $A$ et conclure.

C. Formes bilinéaires sur un espace vectoriel complexe

Soit $p$ un entier > 0 et $E$ un espace vectoriel de dimension $p$ sur $\mathbb{C}$ . On note $E^*$ le dual de $E$ , c'est-à-dire l'espace vectoriel des formes linéaires sur $E$ .
On considère une forme bilinéaire symétrique $b$ sur $\mathbb{C}$ , c'est-à-dire une application $b : E \times E \longrightarrow \mathbb{C}$ linéaire par rapport à chacune de ses deux composantes (et non sesquilinéaire par rapport à la deuxième) et telle que $b(x, y) = b(y, x)$ pour tous $x, y \in E$ . Si $F$ est un sous-espace vectoriel de $E$ , on appelle orthogonal de $F$ relativement à $b$ le sous-espace vectoriel de $E$ déﬁni par : $F^{\perp_b} = \lbrace x \in E ; \forall y \in F, b(x, y) = 0 \rbrace .$ On suppose que $b$ est non dégénérée, c'est-à-dire que $E^{\perp_b} = \lbrace 0 \rbrace.$

12. Soit $u$ un endomorphisme de $E$ . Démontrer les implications suivantes :
(i) $u$ est diagonalisable $\Longrightarrow$ (ii) $Ker u = Ker (u^2)$ $\Longrightarrow$ (iii) $Ker u \cap Im u = \lbrace 0 \rbrace$ .
Soit $F$ un sous-espace vectoriel de $E$ , de dimension $q$ , et soit $(\epsilon_1, \epsilon_2, ..., \epsilon_q )$ une base de $F$ . Pour tout $i \in \lbrace 1,..., q \rbrace$ , on note $\varphi_i$ la forme linéaire sur $E$ déﬁnie par $\varphi_i(x) = b(\epsilon_i , x).$

13. Montrer que $(\varphi_1, \varphi_2, ..., \varphi_q)$ est une famille libre de $E^*$ .
On complète cette famille libre en une base $(\varphi_1, \varphi_2, ..., \varphi_p)$ de $E^*$ et on note $(e_1,e_2,...,e_p)$ la base de $E$ antéduale (dont $(\varphi_1, \varphi_2, ..., \varphi_p)$ est la base duale).

14. Montrer que $F^{\perp_b}$ est engendré par $(e_{q+1},e_{q+2},...,e_p)$ , et en déduire la valeur de $\dim F + \dim(F^{\perp_b}).$

D. Critère de Klarès

Le but de cette partie est de démontrer que la matrice $A$ est diagonalisable si et seulement si $Ker(\text{comm}_A) = Ker((\text{comm}_A)^2)$ .

15. Montrer que l'application $\varphi$ de $M_n(\mathbb{C}) \times M_n(\mathbb{C})$ dans $\mathbb{C}$ , déﬁnie par la formule $\varphi(X ,Y ) = tr(X Y)$ pour tous $X ,Y \in M_n(\mathbb{C})$ , est une forme bilinéaire symétrique non dégénérée.

16. Établir l'égalité $\left( Ker (\text{comm}_A) \right)^{\perp_{\varphi}} = Im(\text{comm}_A).$

17. En déduire que si $A$ est nilpotente, il existe une matrice $X$ de $M_n(\mathbb{C})$ telle que $A = \text{comm}_A(X)$ . Calculer alors $\text{comm}_{A+\lambda I_n}(X)$ pour tout $\lambda \in \mathbb{C}$ .

Soit $D$ et $N$ les matrices de la décomposition de Dunford de $A$ déﬁnies à la question 4).

18. Démontrer qu'il existe une matrice $X$ de $M_n(\mathbb{C})$ telle que $N = \text{comm}_A(X)$ .

19. Conclure.

Publié par Cel/ le 30-11--0001

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