ECOLE DES PONTS PARITECH,
SUPAERO (ISAE), ENSTA PARISTECH,
TELECOM PARISTECH, MINES PARITECH,
MINES DE SAINT-ETIENNE, MINES DE NANCY,
TELECOM BRETAGNE, ENSAE PARISTECH (filière MP),
ECOLE POLYTECHNIQUE (filière TSI).
CONCOURS 2013
Première épreuve
Filière MP
(Durée de l'épreuve : 3 heures)
L'usage d'ordinateur ou de calculette est interdit.
Si, au cours de l'épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être une erreur d'énoncé, il le signale sur sa copie et poursuit sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu'il est amené à prendre.
Applications bilinéaires symétriques plates
Dans tout le problème,
![n](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?n)
est un entier supérieur ou égal à 2 et
![p](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?p)
est un entier supérieur ou égal à 1. Les espaces
![\mathbb{R}^n](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?\mathbb{R}^n)
et
![\mathbb{R}^p](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?\mathbb{R}^p)
sont munis de leurs produits scalaires canoniques, noté
![<\cdot,\cdot>](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?<\cdot,\cdot>)
; en particulier pour
![p=1](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?p=1)
, c'est le produit usuel dans
On rappelle qu'une application
![\varphi](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?\varphi)
de
![\mathbb{R}^n \times \mathbb{R}^n](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?\mathbb{R}^n \times \mathbb{R}^n)
dans
![\mathbb{R}^p](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?\mathbb{R}^p)
est
bilinéaire lorsque pour tous
![x,y](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?x,y)
dans
![\mathbb{R}^n](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?\mathbb{R}^n)
, les deux applications partielles
![z \mapsto \varphi (z,y)](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?z \mapsto \varphi (z,y))
et
![z \mapsto \varphi (x,z)](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?z \mapsto \varphi (x,z))
de
![\mathbb{R}^n](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?\mathbb{R}^n)
dans
![\mathbb{R}^p](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?\mathbb{R}^p)
sont linéaires. L'application bilinéaire
![\varphi](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?\varphi)
est dite
symétrique si
![\varphi(x,y)=\varphi(y,x)](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?\varphi(x,y)=\varphi(y,x))
pour tous
![x,y](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?x,y)
dans
![\mathbb{R}^n](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?\mathbb{R}^n)
.
En particulier, lorsque
![p=1](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?p=1)
, on dit que
![\varphi](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?\varphi)
est une
forme bilinéaire symétrique.
Soit
![\varphi](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?\varphi)
une application bilinéaire
symétrique. On appelle
noyau de
![\varphi](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?\varphi)
et on note
![\text{Ker} \varphi](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?\text{Ker} \varphi)
l'ensemble des
vecteurs
![x \in \mathbb{R}^n](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?x \in \mathbb{R}^n)
tels que pour tout
![y \in \mathbb{R}^n,\, \varphi(x,y)=0.](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?y \in \mathbb{R}^n,\, \varphi(x,y)=0.)
On dit que
![\varphi](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?\varphi)
est
diagonalisable s'il existe
une base
![(e_i)_{1 \le i \le n}](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?(e_i)_{1 \le i \le n})
de
![\mathbb{R}^n](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?\mathbb{R}^n)
telle que pour tous
![i \neq j,\, \varphi(e_i,e_j)=0](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?i \neq j,\, \varphi(e_i,e_j)=0)
. Enfin, on dit que
![\varphi](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?\varphi)
est
plate
(relativement au produit scalaire de
![\mathbb{R}^p](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?\mathbb{R}^p)
) si pour tous vecteurs
![x,y,z,w](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?x,y,z,w)
de
![\mathbb{R}^n](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?\mathbb{R}^n)
, on a :
Le but du problème est d'établir, sous certaines conditions, qu'une application bilinéaire symétrique plate est diagonalisable.
Les parties A, B et C sont indépendantes les unes des autres.
A. Formes bilinéaires symétriques plates
Dans toute cette partie on pose
![p=1](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?p=1)
. Soit
![\varphi : \mathbb{R}^n \times \mathbb{R}^n \rightarrow \mathbb{R}](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?\varphi : \mathbb{R}^n \times \mathbb{R}^n \rightarrow \mathbb{R})
une forme bilinéaire symétrique.
1) Justifier qu'il existe un unique endomorphisme
![u](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?u)
de
![\mathbb{R}^n](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?\mathbb{R}^n)
tel que pour tous
![x,y](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?x,y)
dans
![\mathbb{R}^n](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?\mathbb{R}^n)
,
![\varphi(x,y)=<u(x),y>](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?\varphi(x,y)=<u(x),y>)
. Vérifier que
![u](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?u)
est symétrique et en déduire que
![\varphi](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?\varphi)
est diagonalisable.
On note
![\mathbb{R}^{n*}](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?\mathbb{R}^{n*})
l'espace dual de
![\mathbb{R}^n](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?\mathbb{R}^n)
constitué des formes linéaires sur
![\mathbb{R}^n](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?\mathbb{R}^n)
. Si
![a](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?a)
et
![b](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?b)
sont dans
![\mathbb{R}^{n*}](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?\mathbb{R}^{n*})
, on définit l'application
![a \otimes b](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?a \otimes b)
de
![\mathbb{R}^n \times \mathbb{R}^n](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?\mathbb{R}^n \times \mathbb{R}^n)
à valeurs dans
![\mathbb{R}](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?\mathbb{R})
, en
posant
![(a \otimes b)(x,y)=a(x)b(y)](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?(a \otimes b)(x,y)=a(x)b(y))
pour tous
![x,y](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?x,y)
dans
![\mathbb{R}^n](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?\mathbb{R}^n)
.
2) Montrer que pour tous
![a,b\in\mathbb{R}^{n*},\, a \otimes b](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?a,b\in\mathbb{R}^{n*},\, a \otimes b)
est une forme bilinéaire sur
![\mathbb{R}^n](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?\mathbb{R}^n)
. Donner une condition
nécessaire et suffisante pour qu'elle soit symétrique.
On rappelle que le
rang d'une forme bilinéaire symétrique
![\varphi : \mathbb{R}^n \times \mathbb{R}^n \rightarrow \mathbb{R}](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?\varphi : \mathbb{R}^n \times \mathbb{R}^n \rightarrow \mathbb{R})
est égal au rang de la matrice
![(\varphi(e_i,e_j))_{1\le i,j\le n}](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?(\varphi(e_i,e_j))_{1\le i,j\le n})
où
![(e_i)_{1\le i\le n}](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?(e_i)_{1\le i\le n})
est une base quelconque de
![\mathbb{R}^n](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?\mathbb{R}^n)
.
3) On suppose dans cette question que
![\varphi](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?\varphi)
est de rang 1. Montrer qu'il existe une forme linéaire
![f \in \mathbb{R}^{n*}](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?f \in \mathbb{R}^{n*})
telle que
![\varphi = \pm f \otimes f](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?\varphi = \pm f \otimes f)
. (On pourra considérer la base duale d'une base qui diagonalise
![\varphi](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?\varphi)
.)
4) En déduire qu'une forme bilinéaire symétrique de rang 1 est plate.
5) Réciproquement, soit
![\varphi](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?\varphi)
une forme bilinéaire symétrique plate non nulle. Quel est le rang de
![\varphi](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?\varphi)
?
B. Diagonalisation simultanée
Soit
![(u_i)_{i\in I}](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?(u_i)_{i\in I})
une famille quelconque d'endomorphismes autoadjoints d'un espace euclidien
![E](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?E)
de dimension
![n](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?n)
, qui commutent deux
à deux :
![u_i \circ u_j = u_j \circ u_i](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?u_i \circ u_j = u_j \circ u_i)
pour tous
![i,j](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?i,j)
dans
![I](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?I)
. On se propose de démontrer par récurrence sur
![n](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?n)
qu'il existe une base
orthonormée de
![E](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?E)
qui diagonalise tous ces endomorphismes. Le résultat est étant évident pour
![n=1](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?n=1)
, on suppose
![n>1](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?n>1)
et que le résultat
est vrai pour toute dimension strictement inférieure à
![n](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?n)
.
6) Soit
![i_0 \in I](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?i_0 \in I)
. Montrer que si
![u_{i_0}](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?u_{i_0})
n'est pas une homothétie, les sous-espaces propres de
![u_{i_0}](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?u_{i_0})
sont de dimension
strictement inférieure à
![n](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?n)
. Montrer par ailleurs que ces sous-espaces sont stables par tous les endomorphismes
![u_i](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?u_i)
.
7) Conclure.
C. Vecteurs réguliers
Soit
![\varphi](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?\varphi)
une application bilinéaire symétrique non nulle de
![\mathbb{R}^n \times \mathbb{R}^n](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?\mathbb{R}^n \times \mathbb{R}^n)
dans
![\mathbb{R}^p](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?\mathbb{R}^p)
.
Si
![x \in \mathbb{R}^n](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?x \in \mathbb{R}^n)
, on note
![\tilde{\varphi}(x)](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?\tilde{\varphi}(x))
l'application linéaire qui à tout
![y \in \mathbb{R}^n](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?y \in \mathbb{R}^n)
associe
![\varphi(x,y)\in\mathbb{R}^p](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?\varphi(x,y)\in\mathbb{R}^p)
.
On a donc
![\tilde{\varphi}(x)(y)=\varphi(x,y)](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?\tilde{\varphi}(x)(y)=\varphi(x,y))
pour tous
![x,y\in\mathbb{R}^n](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?x,y\in\mathbb{R}^n)
. Le noyau et l'image de
![\tilde{\varphi}(x)](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?\tilde{\varphi}(x))
sont notés
respectivement
![\text{Ker}\tilde{\varphi}(x)](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?\text{Ker}\tilde{\varphi}(x))
et
![\text{Im}\tilde{\varphi}(x)](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?\text{Im}\tilde{\varphi}(x))
.
On note
![q](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?q)
la dimension maximale de
![\text{Im}\tilde{\varphi}(x)](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?\text{Im}\tilde{\varphi}(x))
lorsque
![x](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?x)
parcourt
![\mathbb{R}^n](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?\mathbb{R}^n)
, et on choisit un vecteur
![v](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?v)
de
![\mathbb{R}^n](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?\mathbb{R}^n)
tel que la dimension de
![\text{Im}\tilde{\varphi}(v)](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?\text{Im}\tilde{\varphi}(v))
soit égale à
![q](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?q)
. Un tel vecteur
![v](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?v)
est qualifié
de
régulier pour
8) Dans cette question préliminaire, on se donne deux matrices carrées
![A,B](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?A,B)
d'ordre
![n](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?n)
à coefficients réels. Montrer que si
![A](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?A)
ou
![B](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?B)
est inversible, alors
![A+tB](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?A+tB)
l'est aussi pour tout
sauf éventuellement pour un nombre fini de valeurs de
![t](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?t)
.
9) Soit
![r](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?r)
un entier naturel non nul et
![(a_1,a_2,\dots,a_r),\, (b_1,b_2,\dots,b_r)](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?(a_1,a_2,\dots,a_r),\, (b_1,b_2,\dots,b_r))
deux familles de vecteurs de
![\mathbb{R}^p](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?\mathbb{R}^p)
.
Montrer que si
![(a_1,a_2,\dots,a_r)](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?(a_1,a_2,\dots,a_r))
est libre, alors
![(a_1+tb_1,a_2+tb_2,\dots,a_r+tb_r)](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?(a_1+tb_1,a_2+tb_2,\dots,a_r+tb_r))
est également libre pour tout réel
![t](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?t)
sauf éventuellement
pour un nombre fini de valeurs de
En particulier
![(a_1+tb_1,a_2+tb_2,\dots,a_r+tb_r)](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?(a_1+tb_1,a_2+tb_2,\dots,a_r+tb_r))
sera libre pour tout
![t](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?t)
dans un voisinage de 0.
10) Montrer que pour tout
![x \in \mathbb{R}^n](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?x \in \mathbb{R}^n)
et tout
![y \in \text{Ker}\tilde{\varphi}(v)](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?y \in \text{Ker}\tilde{\varphi}(v))
, on a
![\varphi(x,y) \in \text{Im}\tilde{\varphi}(v)](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?\varphi(x,y) \in \text{Im}\tilde{\varphi}(v))
.
On pourra raisonner par l'absurde en montrant l'existence de vecteurs
![e_1,\dots,e_q](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?e_1,\dots,e_q)
de
![\mathbb{R}^n](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?\mathbb{R}^n)
tels que la famille
![(\varphi(v,e_1),\dots, \varphi(v,e_q),\varphi(x,y))](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?(\varphi(v,e_1),\dots, \varphi(v,e_q),\varphi(x,y)))
soit libre.
11) Dans cette question, on suppose que
![\varphi](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?\varphi)
est
plate. Montrer que
![\text{Ker}\varphi = \text{Ker}\tilde{\varphi}(v)](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?\text{Ker}\varphi = \text{Ker}\tilde{\varphi}(v))
. Si de plus,
![\text{Ker}\varphi=\lbrace0\rbrace](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?\text{Ker}\varphi=\lbrace0\rbrace)
, en déduire que
![p \ge n](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?p \ge n)
.
On revient au cas général où
![\varphi](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?\varphi)
est une application bilinéaire symétrique non nulle.
12) Montrer que l'ensemble
![\mathcal{V}](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?\mathcal{V})
des vecteurs réguliers pour
![\varphi](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?\varphi)
est un ouvert de
![\mathbb{R}^n](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?\mathbb{R}^n)
.
13) Montrer que
![\mathcal{V}](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?\mathcal{V})
est dense dans
![\mathbb{R}^n](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?\mathbb{R}^n)
.
D. Le cas
de noyau nul
Dans cette partie,
![\varphi](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?\varphi)
désigne une application bilinéaire symétrique plate de
![\mathbb{R}^n \times \mathbb{R}^n](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?\mathbb{R}^n \times \mathbb{R}^n)
dans
![\mathbb{R}^n](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?\mathbb{R}^n)
,
dont le noyau est réduit à
![\text{Ker}\varphi=\lbrace0\rbrace](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?\text{Ker}\varphi=\lbrace0\rbrace)
. On fixe un vecteur régulier
![v](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?v)
pour
![\varphi](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?\varphi)
.
14) Montrer que
![\tilde{\varphi}(v)](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?\tilde{\varphi}(v))
est un automorphisme.
Pour tout
![x\in\mathbb{R}^n](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?x\in\mathbb{R}^n)
, on définit l'endomorphisme
![\psi(x)=\tilde{\varphi}(x)\circ\tilde{\varphi}(v)^{-1}](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?\psi(x)=\tilde{\varphi}(x)\circ\tilde{\varphi}(v)^{-1})
.
15) En utilisant la définition d'une application bilinéaire plate, montrer que
![\psi(x)](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?\psi(x))
est auto-adjoint.
16) Montrer que pour tous
![x,y\in\mathbb{R}^n,\ \psi(x)\circ\psi(y)=\psi(y)\circ\psi(x)](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?x,y\in\mathbb{R}^n,\ \psi(x)\circ\psi(y)=\psi(y)\circ\psi(x))
. En déduire qu'il existe une base orthonormée
![(e_1,e_2,\dots,e_n)](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?(e_1,e_2,\dots,e_n))
de
![\mathbb{R}^n](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?\mathbb{R}^n)
diagonalisant simultanément tous les endomorphismes
![\psi(x)](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?\psi(x))
.
17) Construire à l'aide de
![(e_1,e_2,\dots,e_n)](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?(e_1,e_2,\dots,e_n))
une base qui diagonalise
![\varphi](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?\varphi)
. On pourra utiliser la symétrie de
![\varphi](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?\varphi)
.