ECOLE DES PONTS PARITECH,
SUPAERO (ISAE), ENSTA PARISTECH,
TELECOM PARISTECH, MINES PARITECH,
MINES DE SAINT-ETIENNE, MINES DE NANCY,
TELECOM BRETAGNE, ENSAE PARISTECH (filière MP),
ECOLE POLYTECHNIQUE (filière TSI).
CONCOURS 2013
Première épreuve
Filière MP
(Durée de l'épreuve : 3 heures)
L'usage d'ordinateur ou de calculette est interdit.
Si, au cours de l'épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être une erreur d'énoncé, il le signale sur sa copie et poursuit sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu'il est amené à prendre.
Applications bilinéaires symétriques plates
Dans tout le problème,

est un entier supérieur ou égal à 2 et

est un entier supérieur ou égal à 1. Les espaces

et

sont munis de leurs produits scalaires canoniques, noté

; en particulier pour

, c'est le produit usuel dans
On rappelle qu'une application

de

dans

est
bilinéaire lorsque pour tous

dans

, les deux applications partielles
)
et
)
de

dans

sont linéaires. L'application bilinéaire

est dite
symétrique si
=\varphi(y,x))
pour tous

dans

.
En particulier, lorsque

, on dit que

est une
forme bilinéaire symétrique.
Soit

une application bilinéaire
symétrique. On appelle
noyau de

et on note

l'ensemble des
vecteurs

tels que pour tout
=0.)
On dit que

est
diagonalisable s'il existe
une base
_{1 \le i \le n})
de

telle que pour tous
=0)
. Enfin, on dit que

est
plate
(relativement au produit scalaire de

) si pour tous vecteurs

de

, on a :
Le but du problème est d'établir, sous certaines conditions, qu'une application bilinéaire symétrique plate est diagonalisable.
Les parties A, B et C sont indépendantes les unes des autres.
A. Formes bilinéaires symétriques plates
Dans toute cette partie on pose

. Soit

une forme bilinéaire symétrique.
1) Justifier qu'il existe un unique endomorphisme

de

tel que pour tous

dans

,
=<u(x),y>)
. Vérifier que

est symétrique et en déduire que

est diagonalisable.
On note

l'espace dual de

constitué des formes linéaires sur

. Si

et

sont dans

, on définit l'application

de

à valeurs dans

, en
posant
(x,y)=a(x)b(y))
pour tous

dans

.
2) Montrer que pour tous

est une forme bilinéaire sur

. Donner une condition
nécessaire et suffisante pour qu'elle soit symétrique.
On rappelle que le
rang d'une forme bilinéaire symétrique

est égal au rang de la matrice
)_{1\le i,j\le n})
où
_{1\le i\le n})
est une base quelconque de

.
3) On suppose dans cette question que

est de rang 1. Montrer qu'il existe une forme linéaire

telle que

. (On pourra considérer la base duale d'une base qui diagonalise

.)
4) En déduire qu'une forme bilinéaire symétrique de rang 1 est plate.
5) Réciproquement, soit

une forme bilinéaire symétrique plate non nulle. Quel est le rang de

?
B. Diagonalisation simultanée
Soit
_{i\in I})
une famille quelconque d'endomorphismes autoadjoints d'un espace euclidien

de dimension

, qui commutent deux
à deux :

pour tous

dans

. On se propose de démontrer par récurrence sur

qu'il existe une base
orthonormée de

qui diagonalise tous ces endomorphismes. Le résultat est étant évident pour

, on suppose

et que le résultat
est vrai pour toute dimension strictement inférieure à

.
6) Soit

. Montrer que si

n'est pas une homothétie, les sous-espaces propres de

sont de dimension
strictement inférieure à

. Montrer par ailleurs que ces sous-espaces sont stables par tous les endomorphismes

.
7) Conclure.
C. Vecteurs réguliers
Soit

une application bilinéaire symétrique non nulle de

dans

.
Si

, on note
)
l'application linéaire qui à tout

associe
\in\mathbb{R}^p)
.
On a donc
(y)=\varphi(x,y))
pour tous

. Le noyau et l'image de
)
sont notés
respectivement
)
et
)
.
On note

la dimension maximale de
)
lorsque

parcourt

, et on choisit un vecteur

de

tel que la dimension de
)
soit égale à

. Un tel vecteur

est qualifié
de
régulier pour
8) Dans cette question préliminaire, on se donne deux matrices carrées

d'ordre

à coefficients réels. Montrer que si

ou

est inversible, alors

l'est aussi pour tout
sauf éventuellement pour un nombre fini de valeurs de

.
9) Soit

un entier naturel non nul et
,\, (b_1,b_2,\dots,b_r))
deux familles de vecteurs de

.
Montrer que si
)
est libre, alors
)
est également libre pour tout réel

sauf éventuellement
pour un nombre fini de valeurs de
En particulier
)
sera libre pour tout

dans un voisinage de 0.
10) Montrer que pour tout

et tout
)
, on a
 \in \text{Im}\tilde{\varphi}(v))
.
On pourra raisonner par l'absurde en montrant l'existence de vecteurs

de

tels que la famille
,\dots, \varphi(v,e_q),\varphi(x,y)))
soit libre.
11) Dans cette question, on suppose que

est
plate. Montrer que
)
. Si de plus,

, en déduire que

.
On revient au cas général où

est une application bilinéaire symétrique non nulle.
12) Montrer que l'ensemble

des vecteurs réguliers pour

est un ouvert de

.
13) Montrer que

est dense dans

.
D. Le cas
de noyau nul
Dans cette partie,

désigne une application bilinéaire symétrique plate de

dans

,
dont le noyau est réduit à

. On fixe un vecteur régulier

pour

.
14) Montrer que
)
est un automorphisme.
Pour tout

, on définit l'endomorphisme
=\tilde{\varphi}(x)\circ\tilde{\varphi}(v)^{-1})
.
15) En utilisant la définition d'une application bilinéaire plate, montrer que
)
est auto-adjoint.
16) Montrer que pour tous
\circ\psi(y)=\psi(y)\circ\psi(x))
. En déduire qu'il existe une base orthonormée
)
de

diagonalisant simultanément tous les endomorphismes
)
.
17) Construire à l'aide de
)
une base qui diagonalise

. On pourra utiliser la symétrie de

.