Fiche de mathématiques
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ECOLE DES PONTS PARITECH,
SUPAERO (ISAE), ENSTA PARISTECH,
TELECOM PARISTECH, MINES PARITECH,
MINES DE SAINT-ETIENNE, MINES DE NANCY,
TELECOM BRETAGNE, ENSAE PARISTECH (filière MP),
ECOLE POLYTECHNIQUE (filière TSI).

CONCOURS 2013

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Première épreuve
Filière MP
(Durée de l'épreuve : 3 heures)

L'usage d'ordinateur ou de calculette est interdit.
Si, au cours de l'épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être une erreur d'énoncé, il le signale sur sa copie et poursuit sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu'il est amené à prendre.

Applications bilinéaires symétriques plates


Dans tout le problème, n est un entier supérieur ou égal à 2 et p est un entier supérieur ou égal à 1. Les espaces \mathbb{R}^n et \mathbb{R}^p sont munis de leurs produits scalaires canoniques, noté <\cdot,\cdot> ; en particulier pour p=1, c'est le produit usuel dans \mathbb{R}.

On rappelle qu'une application \varphi de \mathbb{R}^n \times \mathbb{R}^n dans \mathbb{R}^p est bilinéaire lorsque pour tous x,y dans \mathbb{R}^n, les deux applications partielles z \mapsto \varphi (z,y) et z \mapsto \varphi (x,z) de \mathbb{R}^n dans \mathbb{R}^p sont linéaires. L'application bilinéaire \varphi est dite symétrique si \varphi(x,y)=\varphi(y,x) pour tous x,y dans \mathbb{R}^n. En particulier, lorsque p=1, on dit que \varphi est une forme bilinéaire symétrique.

Soit \varphi une application bilinéaire symétrique. On appelle noyau de \varphi et on note \text{Ker} \varphi l'ensemble des vecteurs x \in \mathbb{R}^n tels que pour tout y \in \mathbb{R}^n,\, \varphi(x,y)=0. On dit que \varphi est diagonalisable s'il existe une base (e_i)_{1 \le i \le n} de \mathbb{R}^n telle que pour tous i \neq j,\, \varphi(e_i,e_j)=0. Enfin, on dit que \varphi est plate (relativement au produit scalaire de \mathbb{R}^p) si pour tous vecteurs x,y,z,w de \mathbb{R}^n, on a :
<\varphi(x,y),\varphi(z,w)>=<\varphi(x,w),\varphi(z,y)>.

Le but du problème est d'établir, sous certaines conditions, qu'une application bilinéaire symétrique plate est diagonalisable.

Les parties A, B et C sont indépendantes les unes des autres.



A. Formes bilinéaires symétriques plates


Dans toute cette partie on pose p=1. Soit \varphi : \mathbb{R}^n \times \mathbb{R}^n \rightarrow \mathbb{R} une forme bilinéaire symétrique.

1) Justifier qu'il existe un unique endomorphisme u de \mathbb{R}^n tel que pour tous x,y dans \mathbb{R}^n, \varphi(x,y)=<u(x),y>. Vérifier que u est symétrique et en déduire que \varphi est diagonalisable.

On note \mathbb{R}^{n*} l'espace dual de \mathbb{R}^n constitué des formes linéaires sur \mathbb{R}^n. Si a et b sont dans \mathbb{R}^{n*}, on définit l'application a \otimes b de \mathbb{R}^n \times \mathbb{R}^n à valeurs dans \mathbb{R}, en posant (a \otimes b)(x,y)=a(x)b(y) pour tous x,y dans \mathbb{R}^n.

2) Montrer que pour tous a,b\in\mathbb{R}^{n*},\, a \otimes b est une forme bilinéaire sur \mathbb{R}^n. Donner une condition nécessaire et suffisante pour qu'elle soit symétrique.

On rappelle que le rang d'une forme bilinéaire symétrique \varphi : \mathbb{R}^n \times \mathbb{R}^n \rightarrow \mathbb{R} est égal au rang de la matrice (\varphi(e_i,e_j))_{1\le i,j\le n}(e_i)_{1\le i\le n} est une base quelconque de \mathbb{R}^n.

3) On suppose dans cette question que \varphi est de rang 1. Montrer qu'il existe une forme linéaire f \in \mathbb{R}^{n*} telle que \varphi = \pm f \otimes f. (On pourra considérer la base duale d'une base qui diagonalise \varphi.)

4) En déduire qu'une forme bilinéaire symétrique de rang 1 est plate.

5) Réciproquement, soit \varphi une forme bilinéaire symétrique plate non nulle. Quel est le rang de \varphi ?



B. Diagonalisation simultanée


Soit (u_i)_{i\in I} une famille quelconque d'endomorphismes autoadjoints d'un espace euclidien E de dimension n, qui commutent deux à deux : u_i \circ u_j = u_j \circ u_i pour tous i,j dans I. On se propose de démontrer par récurrence sur n qu'il existe une base orthonormée de E qui diagonalise tous ces endomorphismes. Le résultat est étant évident pour n=1, on suppose n>1 et que le résultat est vrai pour toute dimension strictement inférieure à n.

6) Soit i_0 \in I. Montrer que si u_{i_0} n'est pas une homothétie, les sous-espaces propres de u_{i_0} sont de dimension strictement inférieure à n. Montrer par ailleurs que ces sous-espaces sont stables par tous les endomorphismes u_i.

7) Conclure.



C. Vecteurs réguliers


Soit \varphi une application bilinéaire symétrique non nulle de \mathbb{R}^n \times \mathbb{R}^n dans \mathbb{R}^p. Si x \in \mathbb{R}^n, on note \tilde{\varphi}(x) l'application linéaire qui à tout y \in \mathbb{R}^n associe \varphi(x,y)\in\mathbb{R}^p. On a donc \tilde{\varphi}(x)(y)=\varphi(x,y) pour tous x,y\in\mathbb{R}^n. Le noyau et l'image de \tilde{\varphi}(x) sont notés respectivement \text{Ker}\tilde{\varphi}(x) et \text{Im}\tilde{\varphi}(x).
On note q la dimension maximale de \text{Im}\tilde{\varphi}(x) lorsque x parcourt \mathbb{R}^n, et on choisit un vecteur v de \mathbb{R}^n tel que la dimension de \text{Im}\tilde{\varphi}(v) soit égale à q. Un tel vecteur v est qualifié de régulier pour \varphi.

8) Dans cette question préliminaire, on se donne deux matrices carrées A,B d'ordre n à coefficients réels. Montrer que si A ou B est inversible, alors A+tB l'est aussi pour tout t\in\mathbb{R} sauf éventuellement pour un nombre fini de valeurs de t.

9) Soit r un entier naturel non nul et (a_1,a_2,\dots,a_r),\, (b_1,b_2,\dots,b_r) deux familles de vecteurs de \mathbb{R}^p. Montrer que si (a_1,a_2,\dots,a_r) est libre, alors (a_1+tb_1,a_2+tb_2,\dots,a_r+tb_r) est également libre pour tout réel t sauf éventuellement pour un nombre fini de valeurs de t.

En particulier (a_1+tb_1,a_2+tb_2,\dots,a_r+tb_r) sera libre pour tout t dans un voisinage de 0.

10) Montrer que pour tout x \in \mathbb{R}^n et tout y \in \text{Ker}\tilde{\varphi}(v), on a \varphi(x,y) \in \text{Im}\tilde{\varphi}(v).
On pourra raisonner par l'absurde en montrant l'existence de vecteurs e_1,\dots,e_q de \mathbb{R}^n tels que la famille (\varphi(v,e_1),\dots, \varphi(v,e_q),\varphi(x,y)) soit libre.

11) Dans cette question, on suppose que \varphi est plate. Montrer que \text{Ker}\varphi = \text{Ker}\tilde{\varphi}(v). Si de plus, \text{Ker}\varphi=\lbrace0\rbrace, en déduire que p \ge n.

On revient au cas général où \varphi est une application bilinéaire symétrique non nulle.

12) Montrer que l'ensemble \mathcal{V} des vecteurs réguliers pour \varphi est un ouvert de \mathbb{R}^n.

13) Montrer que \mathcal{V} est dense dans \mathbb{R}^n.



D. Le cas p=n de noyau nul


Dans cette partie, \varphi désigne une application bilinéaire symétrique plate de \mathbb{R}^n \times \mathbb{R}^n dans \mathbb{R}^n, dont le noyau est réduit à \text{Ker}\varphi=\lbrace0\rbrace. On fixe un vecteur régulier v pour \varphi.

14) Montrer que \tilde{\varphi}(v) est un automorphisme.

Pour tout x\in\mathbb{R}^n, on définit l'endomorphisme \psi(x)=\tilde{\varphi}(x)\circ\tilde{\varphi}(v)^{-1}.

15) En utilisant la définition d'une application bilinéaire plate, montrer que \psi(x) est auto-adjoint.

16) Montrer que pour tous x,y\in\mathbb{R}^n,\ \psi(x)\circ\psi(y)=\psi(y)\circ\psi(x). En déduire qu'il existe une base orthonormée (e_1,e_2,\dots,e_n) de \mathbb{R}^n diagonalisant simultanément tous les endomorphismes \psi(x).

17) Construire à l'aide de (e_1,e_2,\dots,e_n) une base qui diagonalise \varphi. On pourra utiliser la symétrie de \varphi.
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