Fiche de mathématiques
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CENTRALE
SUPÉLEC

CONCOURS D'ADMISSION 2013
Filière MP

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Composition de mathématiques 2
(Durée : 4 heures)

Calculatrices autorisées.

Notations

Dans tout le problème, n désigne un entier naturel non nul.

On note :
\mathcal{M}_n(\mathbb{R}) l'espace vectoriel des matrices carrées de taille n à coefficients réels ;
\text{GL}_n(\mathbb{R}) le groupe des matrices inversibles de \mathcal{M}_n(\mathbb{R}) ;
\text{O}(n) le groupe orthogonal d'ordre n ;
\mathcal{S}_n^+(\mathbb{R}), respectivmenet \mathcal{S}_n^{++}(\mathbb{R}), l'ensemble des matrices symétriques de \mathcal{M}_n(\mathbb{R}) dont les valeurs propres sont positives ou nulles, respectivement strictement positives ;
I_n la matrice identité de \mathcal{M}_n(\mathbb{R}) ;
0_n la matrice nulle de \mathcal{M}_n(\mathbb{R}).

Pour toute matrice M de \mathcal{M}_n(\mathbb{R}), on note ^t\hspace{-1pt}M sa matrice transposée, \text{Tr}(M) sa trace, et, pour (i,j)\in\lbrace1,\dots,n\rbrace^2,\ m_{i,j} le coefficient qui se trouve à l'intersection de la i-ième ligne et de la j-ième colonne. On munit \mathcal{M}_n(\mathbb{R}) de la norme définie, pour tout M\in\mathcal{M}_n(\mathbb{R}), par |\hspace{-1pt}|M|\hspace{-1pt}| = \sup(|m_{i,j}|,(i,j)\in\lbrace1,\dots,n\rbrace^2).



I. Décomposition polaire d'un endomorphisme de \mathbb{R}^n

I.A - On munit \mathbb{R}^n de sa structure euclidienne canonique.
I.A.1) Soit un endomorphisme u de \mathbb{R}^n. Montrer que u est autoadjoint défini positif si et seulement si sa matrice dans n'importe quelle base orthonormée appartient à \mathcal{S}_n^{++}(\mathbb{R}).
I.A.2) Montrer que si S\in\mathcal{S}_n^{++}(\mathbb{R}), alors S est inversible et S^{-1}\in\mathcal{S}_n^{++}(\mathbb{R}).

I.B - Dans cette question, u désigne un endomorphisme de \mathbb{R}^n autoadjoint défini positif. On se propose de démontrer qu'il existe un unique endomorphisme v de \mathbb{R}^n autoadjoint, défini positif, tel que v^2=u.
I.B.1) Soit v un endomorphisme de \mathbb{R}^n, autoadjoint défini positif et vérifiant v^2=u, et soit \lambda une valeur propre de u. Monterr que v induit un endomorphisme de \text{Ker}(u-\lambda\text{Id}) que l'on déterminera.
I.B.2) En déduire v, puis conclure.
I.B.3) Montrer qu'il existe un polynôme Q à coefficients réels tel que v=Q(u).

I.C - Soit A\in\text{GL}_n(\mathbb{R}).
I.C.1) Montrer que ^t\hspace{-1}AA\in\mathcal{S}_n^{++}(\mathbb{R}).
I.C.2) En déduire qu'il existe un unique couple (O,S)\in\text{O}(n)\times\mathcal{S}_n^{++}(\mathbb{R}) tel que A=OS.
I.C.3) Déterminer les matrices O et S lorsque A = \begin{pmatrix}3&0&-1\\  \sqrt{2}/2 & 3\sqrt{2}&-3\sqrt{2}/2\\ -\sqrt{2}/2 & 3\sqrt{2}&3\sqrt{2}/2\end{pmatrix}.

I.D -
I.D.1) Montrer que \text{O}(n) est une partie compacte de \mathcal{M}_n(\mathbb{R}).
I.D.2) Montrer que \mathcal{S}_n^+(\mathbb{R}) est un fermé de \mathcal{M}_n(\mathbb{R}).
I.D.3) Montrer que \text{GL}_n(\mathbb{R}) est une partie dense de \mathcal{M}_n(\mathbb{R}).
I.D.4) Soit A\in\mathcal{M}_n(\mathbb{R}). Montrer qu'il existe un couple (O,S)\in\text{O}(n)\times\mathcal{S}_n^+(\mathbb{R}) tel que A=OS. Un tel couple est-il unique ?

I.E - Soit \varphi l'application de \text{O}(n)\times\mathcal{S}_n^{++}(\mathbb{R}) dans \text{GL}_n(\mathbb{R}) définie par \varphi(O,S)=OS pour tout couple (O,S) de \text{O}(n)\times\mathcal{S}_n^{++}(\mathbb{R}).
Montrer que \varphi est bijective, continue et que sa réciproque est continue.



II. Deux applications

II.A - Première application

Dans cette partie, A et B désignent deux matrices de \mathcal{M}_n(\mathbb{R}). On suppose qu'il existe une matrice U carrée de taille n, inversible, à coefficients complexes, telle que U\, ^t\hspace{-1pt}\overline{U}=I_n et A=UBU^{-1},\overline{U} désigne la matrice dont les coefficients sont les conjugués de ceux de U.

II.A.1) Justifier que ^t\hspace{-1pt}A=U(\,^t\hspace{-1pt}B)U^{-1}.

II.A.2) On se propose de montrer qu'il existe une matrice P\in\text{GL}_n(\mathbb{R}) telle que A=PBP^{-1} et ^t\hspace{-1pt}A =P\,^t\hspace{-1pt}BP^{-1}. Pour cela, on note X et Y les matrices de \mathcal{M}_n(\mathbb{R}) telles que U=X+iY.
a) Montrer qu'il existe \mu\in\mathbb{R} tel que X+\mu Y\in\text{GL}_n(\mathbb{R}).
b) Montrer que AX=XB et AY=YB.
c) Conclure.

II.A.3) On écrit P sous la forme P=OS, avec O\in\text{O}(n) et S\in\mathcal{S}_n^{++}(\mathbb{R}).
a) Montrer que BS^2=S^2B, puis que BS=SB.
b) En déduire qu'il existe O\in\text{O}(n) tel que A=OB\,^t\hspace{-1pt}O.

II.B - Seconde application
Soit A\in\mathcal{M}_n(\mathbb{R}). On se propose de donner une condition nécessaire et suffisante d'existence d'une solution X\in\text{GL}_n(\mathbb{R}) au système
(\ast)\ :\ \left\lbrace\begin{array}{l}^t\hspace{-1pt}AA+\,^t\hspace{-1pt}XX=I_n\\^t\hspace{-1pt}AX-\,^t\hspace{-1pt}XA=0_n\end{array}\right.

II.B.1) Montrer que si le système (\ast) admet une solution dans \text{GL}_n(\mathbb{R}), alors les valeurs propres de ^t\hspace{-1pt}A A appartiennent à l'intervalle [0,1[.

II.B.2) On suppose dans cette question que les valeurs propres de ^t\hspace{-1pt}AA appartiennent à l'intervalle [0,1[.
a) Justifier que l'on peut chercher les solutions X de (\ast) sous la forme X=UH, avec U\in\text{O}(n) et H\in \mathcal{S}_n^{++}(\mathbb{R}).
b) Déterminer H.
c) Montrer l'existence d'une solution X\in\text{GL}_n(\mathbb{R}) de (\ast) appartenant à \text{GL}_n(\mathbb{R}).



III. Valeurs propres d'une matrice

Pour p\in\mathbb{N}^*, on pose
A_p=\begin{pmatrix}2&-1&0&\cdots&0\\-1&2&-1&\ddots&\vdots\\0&-1&2&\ddots&0\\\vdots&\ddots&\ddots&\ddots&-1\\0&\cdots&0&-1&2\end{pmatrix}\in\mathcal{M}_p(\mathbb{R})
On note P_p le polynôme tel que, pour tout réel x,\ P_p(x)=\det(xI_p-A_p).

III.A - Montrer qu'à x\in\mathbb{R} fixé, la suite (P_p(x))_{p\in\mathbb{N}^*} vérifie une relation linéaire d'ordre 2, que l'on précisera.

III.B - Soit x\in\mathbb{R} tel que |2-x|<2. Après avoir justifié l'existence d'un unique \theta\in]0,\pi[ tel que 2-x=2 \cos\theta, déterminer P_p(x) en fonction de \sin((p+1)\theta) et de \sin(\theta).

III.C - Déterminer les valeurs propres de A_p.

III.D - Montrer que A_p est diagonalisable, et en déterminer une base de vecteurs propres, en précisant pour chacun la valeur propre associée.



IV. Quatrième partie

Soit f une forme linéaire sur \mathcal{M}_n(\mathbb{R}).

IV.A - Montrer qu'il existe une unique matrice A\in\mathcal{M}_n(\mathbb{R}) telle que \forall M\in\mathcal{M}_n(\mathbb{R}),\ f(M)= \text{Tr}(AM).
Dans la suite, A désigne la matrice définie dans cette question IV.A.

IV.B -
IV.B.1) Justifier l'existence de M_n=\sup(\lbrace f(O),O\in\text{O}(n)\rbrace).
IV.B.2) Justifier que ^t\hspace{-1pt}AA admet n valeurs propres positives \mu_1,\dots,\mu_n comptées avec multiplicités.
IV.B.3) Montrer que M_n=\sup(\lbrace\text{Tr}(D\Omega),\Omega\in\text{O}(n)\rbrace),D est la matrice diagonale, dont les éléments diagonaux sont \sqrt{\mu_1},\dots,\sqrt{\mu_n}.
IV.B.4) En déduire que M_n=\displaystyle\sum_{k=1}^n\sqrt{\mu_k}.

IV.C - Dans cette question, f désigne la forme linéaire définie par \forall M\in\mathcal{M}_n(\mathbb{R}),\ f(M)=\displaystyle\sum_{j=1}^n \sum_{i=j}^nm_{i,j}.
IV.C.1) Déterminer la matrice A telle que \forall M\in\mathcal{M}_n(\mathbb{R}),\ f(M)=\text{Tr}(AM).
IV.C.2) Montrer que
A^{-1}=\begin{pmatrix}1&-1&0&\cdots&0\\0&1&-1&\ddots&\vdots\\\vdots&\ddots&1&\ddots&0\\\vdots&&\ddots&\ddots&-1\\0&\cdots&\cdots&0&1\end{pmatrix}

IV.C.3) Déterminer les valeurs propres de A^{-1}\,^t\hspace{-1pt}A^{-1}.

IV.C.4) Montrer que M_n=\displaystyle\sum_{k=1}^n\dfrac{1}{2\cos\cfrac{k\pi}{2n+1}}.

IV.C.5) Donner un équivalent de M_n lorsque n tend vers +\infty.
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