CENTRALE
SUPÉLEC
CONCOURS D'ADMISSION 2013
Filière MP
Composition de mathématiques 2
(Durée : 4 heures)
Calculatrices autorisées.
Notations
Dans tout le problème,
désigne un entier naturel non nul.
On note :
l'espace vectoriel des matrices carrées de taille
à coefficients réels ;
le groupe des matrices inversibles de
;
le groupe orthogonal d'ordre
;
respectivmenet
l'ensemble des matrices symétriques de
dont les valeurs propres sont positives ou nulles, respectivement strictement positives ;
la matrice identité de
;
la matrice nulle de
Pour toute matrice
de
on note
sa matrice transposée,
sa trace,
et, pour
le coefficient qui se trouve à l'intersection de la
-ième ligne et de la
-ième colonne.
On munit
de la norme définie, pour tout
par
I. Décomposition polaire d'un endomorphisme de
I.A - On munit
de sa structure euclidienne canonique.
I.A.1) Soit un endomorphisme
de
Montrer que
est autoadjoint défini positif si et seulement si sa
matrice dans n'importe quelle base orthonormée appartient à
I.A.2) Montrer que si
alors
est inversible et
I.B - Dans cette question,
désigne un endomorphisme de
autoadjoint défini positif. On se propose de démontrer qu'il
existe un unique endomorphisme
de
autoadjoint, défini positif, tel que
I.B.1) Soit
un endomorphisme de
autoadjoint défini positif et vérifiant
et soit
une
valeur propre de
Monterr que
induit un endomorphisme de
que l'on déterminera.
I.B.2) En déduire
puis conclure.
I.B.3) Montrer qu'il existe un polynôme
à coefficients réels tel que
I.C - Soit
I.C.1) Montrer que
I.C.2) En déduire qu'il existe un unique couple
tel que
I.C.3) Déterminer les matrices
et
lorsque
I.D -
I.D.1) Montrer que
est une partie compacte de
I.D.2) Montrer que
est un fermé de
I.D.3) Montrer que
est une partie dense de
I.D.4) Soit
Montrer qu'il existe un couple
tel que
Un tel couple est-il unique ?
I.E - Soit
l'application de
dans
définie
par
pour tout couple
de
Montrer que
est bijective, continue et que sa réciproque est continue.
II. Deux applications
II.A - Première application
Dans cette partie,
et
désignent deux matrices de
On suppose qu'il existe une matrice
carrée
de taille
inversible, à coefficients complexes, telle que
et
où
désigne la matrice dont les coefficients sont les conjugués de ceux de
II.A.1) Justifier que
II.A.2) On se propose de montrer qu'il existe une matrice
telle que
et
Pour cela, on note
et
les matrices de
telles que
a) Montrer qu'il existe
tel que
b) Montrer que
et
c) Conclure.
II.A.3) On écrit
sous la forme
avec
et
a) Montrer que
puis que
b) En déduire qu'il existe
tel que
II.B - Seconde application
Soit
On se propose de donner une condition nécessaire et suffisante d'existence d'une solution
au système
II.B.1) Montrer que si le système
admet une solution dans
alors les valeurs propres de
appartiennent à l'intervalle [0,1[.
II.B.2) On suppose dans cette question que les valeurs propres de
appartiennent à l'intervalle [0,1[.
a) Justifier que l'on peut chercher les solutions
de
sous la forme
avec
et
b) Déterminer
c) Montrer l'existence d'une solution
de
appartenant à
III. Valeurs propres d'une matrice
Pour
on pose
On note
le polynôme tel que, pour tout réel
III.A - Montrer qu'à
fixé, la suite
vérifie une relation linéaire d'ordre 2, que l'on précisera.
III.B - Soit
tel que
Après avoir justifié l'existence d'un unique
tel que
déterminer
en fonction de
et de
III.C - Déterminer les valeurs propres de
III.D - Montrer que
est diagonalisable, et en déterminer une base de vecteurs propres, en précisant pour chacun la valeur propre associée.
IV. Quatrième partie
Soit
une forme linéaire sur
IV.A - Montrer qu'il existe une unique matrice
telle que
Dans la suite, désigne la matrice définie dans cette question IV.A.
IV.B -
IV.B.1) Justifier l'existence de
IV.B.2) Justifier que
admet
valeurs propres positives
comptées avec multiplicités.
IV.B.3) Montrer que
où
est la matrice diagonale, dont les éléments
diagonaux sont
IV.B.4) En déduire que
IV.C - Dans cette question,
désigne la forme linéaire définie par
IV.C.1) Déterminer la matrice
telle que
IV.C.2) Montrer que
IV.C.3) Déterminer les valeurs propres de
IV.C.4) Montrer que
IV.C.5) Donner un équivalent de
lorsque
tend vers