Notations

Dans tout le problème, désigne un entier naturel non nul.

On note :
l'espace vectoriel des matrices carrées de taille à coefficients réels ;
le groupe des matrices inversibles de ;
le groupe orthogonal d'ordre ;
respectivmenet l'ensemble des matrices symétriques de dont les valeurs propres sont positives ou nulles, respectivement strictement positives ;
la matrice identité de ;
la matrice nulle de

Pour toute matrice de on note sa matrice transposée, sa trace, et, pour le coefficient qui se trouve à l'intersection de la -ième ligne et de la -ième colonne. On munit de la norme définie, pour tout par

I. Décomposition polaire d'un endomorphisme de

I.A - On munit de sa structure euclidienne canonique.
I.A.1) Soit un endomorphisme de Montrer que est autoadjoint défini positif si et seulement si sa matrice dans n'importe quelle base orthonormée appartient à
I.A.2) Montrer que si alors est inversible et

I.B - Dans cette question, désigne un endomorphisme de autoadjoint défini positif. On se propose de démontrer qu'il existe un unique endomorphisme de autoadjoint, défini positif, tel que
I.B.1) Soit un endomorphisme de autoadjoint défini positif et vérifiant et soit une valeur propre de Monterr que induit un endomorphisme de que l'on déterminera.
I.B.2) En déduire puis conclure.
I.B.3) Montrer qu'il existe un polynôme à coefficients réels tel que

I.C - Soit
I.C.1) Montrer que
I.C.2) En déduire qu'il existe un unique couple tel que
I.C.3) Déterminer les matrices et lorsque

I.D -
I.D.1) Montrer que est une partie compacte de
I.D.2) Montrer que est un fermé de
I.D.3) Montrer que est une partie dense de
I.D.4) Soit Montrer qu'il existe un couple tel que Un tel couple est-il unique ?

I.E - Soit l'application de dans définie par pour tout couple de
Montrer que est bijective, continue et que sa réciproque est continue.

II. Deux applications

II.A - Première application

Dans cette partie, et désignent deux matrices de On suppose qu'il existe une matrice carrée de taille inversible, à coefficients complexes, telle que et où désigne la matrice dont les coefficients sont les conjugués de ceux de

II.A.1) Justifier que

II.A.2) On se propose de montrer qu'il existe une matrice telle que et Pour cela, on note et les matrices de telles que
a) Montrer qu'il existe tel que
b) Montrer que et
c) Conclure.

II.A.3) On écrit sous la forme avec et
a) Montrer que puis que
b) En déduire qu'il existe tel que

II.B - Seconde application
Soit On se propose de donner une condition nécessaire et suffisante d'existence d'une solution au système
II.B.1) Montrer que si le système admet une solution dans alors les valeurs propres de appartiennent à l'intervalle [0,1[.

II.B.2) On suppose dans cette question que les valeurs propres de appartiennent à l'intervalle [0,1[.
a) Justifier que l'on peut chercher les solutions de sous la forme avec et
b) Déterminer
c) Montrer l'existence d'une solution de appartenant à

III. Valeurs propres d'une matrice

Pour on pose On note le polynôme tel que, pour tout réel

III.A - Montrer qu'à fixé, la suite vérifie une relation linéaire d'ordre 2, que l'on précisera.

III.B - Soit tel que Après avoir justifié l'existence d'un unique tel que déterminer en fonction de et de

III.C - Déterminer les valeurs propres de

III.D - Montrer que est diagonalisable, et en déterminer une base de vecteurs propres, en précisant pour chacun la valeur propre associée.

IV. Quatrième partie

Soit une forme linéaire sur

IV.A - Montrer qu'il existe une unique matrice telle que
Dans la suite, désigne la matrice définie dans cette question IV.A.

IV.B -
IV.B.1) Justifier l'existence de
IV.B.2) Justifier que admet valeurs propres positives comptées avec multiplicités.
IV.B.3) Montrer que où est la matrice diagonale, dont les éléments diagonaux sont
IV.B.4) En déduire que

IV.C - Dans cette question, désigne la forme linéaire définie par
IV.C.1) Déterminer la matrice telle que
IV.C.2) Montrer que
IV.C.3) Déterminer les valeurs propres de

IV.C.4) Montrer que

IV.C.5) Donner un équivalent de lorsque tend vers