CONCOURS COMMUNS
POLYTECHNIQUES
Session 2013
Epreuve spécifique - Filière MP
Mathématiques 2
Durée : 4 heures
N. B. : Le candidat attachera la plus grande importance à la clarté, à la précision et à la concision de la rédaction. Si un candidat est amené à repérer ce qui peut lui
sembler être une erreur d'énoncé, il le signalera sur sa copie et devra poursuivre sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu'il a été amené à prendre.
Les calculatrices sont autorisées.
Le sujet est composé de d'un exercice et d'un problème indépendants.
exercice : points à coordonnées entières sur une hyperbole
On munit le plan d'un repère orthonormé. On considère la conique
d'équation cartésienne :
1. Tracer l'allure de l'hyperbole
On précisera les tangentes aux points d'ordonnée nulle ainsi que les branches infinies.
2. Écrire un algorithme en français qui renvoie les éventuels couples d'entiers
naturels vérifiant :
3. Programmer cet algorithme sur calculatrice et donner les couples d'entiers naturels
solutions du système (I). On ne demande pas d'écrire le programme sur la copie.
probleme : matrices "toutes-puissantes"
Notations et objectifs
Dans tout le texte,
désigne le corps
ou
et
un entier naturel non nul.
On note
le
-espace vectoriel des matrices carrées de taille
à coefficients dans
et
la matrice unité de
On pourra confondre
et
Une matrice
de
est dite nilpotente s'il existe un entier naturel
tel que
Si
sont des matrices carrées, la matrice
désigne la matrice diagonale par blocs dont les blocs diagonaux sont
Si
est un
-espace vectoriel, on note
l'application identité sur
Enfin, on note
la
-algèbre des polynômes à coefficients dans
On dit qu'une matrice
de
est "
toute-puissante sur
et on notera en abrégé TP
si,
pour tout
il existe une matrice
de
telle que
On note
l'ensemble des matrices de
toutes-puissantes sur
:
L'objectif principal du sujet est d'établir le résultat suivant : toute matrice inversible de
est TP
Dans la partie
I, on traite quelques exemples et contre-exemples.
Dans la partie
II, on montre que, dans le cas où le polynôme caractéristique de la matrice
est scindé, on peut ramener l'étude au cas des matrices de la forme
avec
nilpotente.
Dans la partie
III, on traite le cas des matrices unipotentes c'est-à-dire de la forme
avec
nilpotente et on en déduit le théorème
principal.
Les parties
I et
II sont dans une large mesure indépendantes. La partie
III utilise les résultats des parties précédentes.
Partie I : quelques exemples
1. Le cas de taille 1
(a) Démontrer que
(b) Soient
et
avec
et
Donner les racines
-
ièmes du nombre complexe
c'est-à-dire les solutions de l'équation
d'inconnue
(c) En déduire
2. Une condition nécessaire...
(a) Démontrer que si
alors
(b) En déduire un exemple de matrice de
qui n'est pas TP
3. ... mais pas suffisante
Soit
Démontrer qu'il n'existe aucune matrice
de
telle que
En déduire que la condition nécessaire de la question précédente n'est pas suffisante.
4. Un cas où
est diagonalisable
Soit
(a) Démontrer que
est diagonalisable sur
(le détail des calculs n'est pas demandé).
(b) Démontrer que la matrice
est TP
(c) Pour chacun des cas
et
expliciter une matrice
de
vérifiant
(on pourra utiliser la calculatrice).
5. Un exemple de nature géométrique
Soit
(a) Justifier que
est la matrice d'une rotation vectorielle dont on précisera une mesure de l'angle.
(b) En déduire que
est TP
6. Le cas des matrices nilpotentes
Soit
une matrice nilpotente de
(a) Déterminer le polynôme caractéristique de
en déduire que
(b) Démontrer que si
est TP
alors
est la matrice nulle.
Partie II : le cas où le polynôme caractéristique est scindé
Dans toute cette partie,
désigne une matrice de
dont le polynôme caractéristique noté
est scindé
sur
c'est-à-dire de la forme :
avec
des entiers de
et
les valeurs propres de
éléments de
On note
la base canonique de
et
l'endomorphisme de
dont
est la matrice
dans la base
Enfin, pour
on note
que l'on appelle sous-espace caractéristique
de
associé à la valeur propre
7. Démontrer que
8. (a) Soit
un endomorphisme de
qui commute avec
et
un polynôme à coefficients dans
Démontrer que
est stable par
(b) En déduire que pour tout
le sous-espace caractéristique
est stable par
On note ainsi
l'endomorphisme induit par
sur
9. Soit
Justifier que l'application
est un endomorphisme de
nilpotent.
10. En déduire que la matrice
peut s'écrire sous la forme :
avec
une matrice inversible de
et pour tout
et
est une matrice nilpotente de
On rappelle que
désigne la matrice diagonale par blocs de premier bloc
de
deuxième bloc
et de dernier bloc
11. Démontrer que, si pour tout
la matrice
est TP
alors
est elle-même TP
Partie III : le cas des matrices unipotentes
Soit
une matrice nilpotente de
Nous allons montrer que la matrice unipotente
est TP
On pourra confondre polynôme et fonction polynôme.
On rappelle que si
est une fonction, la notation
signifie qu'il existe une fonction
tendant vers 0 en 0 telle que
au voisinage de 0.
12. Une application des développements limités
(a) Soit
un polynôme de
tel que
au voisinage de 0.
Démontrer, à l'aide d'une division euclidienne, qu'il existe un polynôme
de
tel que
(b) Soit
Démontrer l'existence d'un polynôme
de
tel que l'on ait, au voisinage de 0 :
(on pourra utiliser un développement limité de
).
(c) En déduire que, pour tout
il existe un polynôme
de
tel que :
13. Applications
(a) Démontrer que la matrice unipotente
est TP
(b) Soit
non nul. En déduire que si
est TP
alors la matrice
est TP
14. Le résultat annoncé
(a) Conclure que toute matrice inversible de
est TP
(b) Toute matrice de
est-elle TP
?
15. Donner un exemple de matrice de
non diagonalisable et non inversible qui est TP