Fiche de mathématiques

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CONCOURS COMMUNS
POLYTECHNIQUES

Session 2013

Epreuve spécifique - Filière MP
Mathématiques 2
Durée : 4 heures

N. B. : Le candidat attachera la plus grande importance à la clarté, à la précision et à la concision de la rédaction. Si un candidat est amené à repérer ce qui peut lui sembler être une erreur d'énoncé, il le signalera sur sa copie et devra poursuivre sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu'il a été amené à prendre.

Les calculatrices sont autorisées.
Le sujet est composé de d'un exercice et d'un problème indépendants.

exercice : points à coordonnées entières sur une hyperbole

On munit le plan d'un repère orthonormé. On considère la conique $\mathcal{H}$ d'équation cartésienne : $x^2-13y^2=1.$
1. Tracer l'allure de l'hyperbole $\mathcal{H}.$ On précisera les tangentes aux points d'ordonnée nulle ainsi que les branches infinies.

2. Écrire un algorithme en français qui renvoie les éventuels couples d'entiers naturels $(x,y)$ vérifiant : $\text{(I)}\quad\left\lbrace\begin{array}{l}x^2-13y^2=1\\y\le200\end{array}\right.$
3. Programmer cet algorithme sur calculatrice et donner les couples d'entiers naturels $(x,y)$ solutions du système (I). On ne demande pas d'écrire le programme sur la copie.

probleme : matrices "toutes-puissantes"

Notations et objectifs

Dans tout le texte, $\mathbb{K}$ désigne le corps $\mathbb{R}$ ou $\mathbb{C}$ et $p$ un entier naturel non nul.

On note $\mathcal{M}_p(\mathbb{K})$ le $\mathbb{K}$ -espace vectoriel des matrices carrées de taille $p$ à coefficients dans $\mathbb{K}$ et $I_p$ la matrice unité de $\mathcal{M}_p(\mathbb{K}).$

On pourra confondre $\mathcal{M}_1(\mathbb{K})$ et $\mathbb{K}.$

Une matrice $N$ de $\mathcal{M}_p(\mathbb{K})$ est dite nilpotente s'il existe un entier naturel $r$ tel que $N^r=0.$

Si $M_1,\dots,M_k$ sont des matrices carrées, la matrice $\text{diag}(M_1,\dots,M_k)$ désigne la matrice diagonale par blocs dont les blocs diagonaux sont $M_1,\dots,M_k.$

Si $E$ est un $\mathbb{K}$ -espace vectoriel, on note $\text{id}_E$ l'application identité sur $E.$

Enfin, on note $\mathbb{K}[X]$ la $\mathbb{K}$ -algèbre des polynômes à coefficients dans $\mathbb{K}.$

On dit qu'une matrice $A$ de $\mathcal{M}_p(\mathbb{K})$ est "toute-puissante sur $\mathbb{K}$ et on notera en abrégé TP $\mathbb{K}$ si, pour tout $n\in\mathbb{N}^*,$ il existe une matrice $B$ de $\mathcal{M}_p(\mathbb{K})$ telle que $A=B^n.$

On note $T_p(\mathbb{K})$ l'ensemble des matrices de $\mathcal{M}_p(\mathbb{K})$ toutes-puissantes sur $\mathbb{K}$ : $T_p(\mathbb{K})=\lbrace A\in\mathcal{M}_p(\mathbb{K})\ |\ \forall n\in\mathbb{N}^*\ \exists B\in\mathcal{M}_p(\mathbb{K})\ A=B^n\rbrace.$
L'objectif principal du sujet est d'établir le résultat suivant : toute matrice inversible de $\mathcal{M}_p(\mathbb{C})$ est TP $\mathbb{C}.$

Dans la partie I, on traite quelques exemples et contre-exemples.

Dans la partie II, on montre que, dans le cas où le polynôme caractéristique de la matrice $A$ est scindé, on peut ramener l'étude au cas des matrices de la forme $\lambda I_p+N$ avec $N$ nilpotente.

Dans la partie III, on traite le cas des matrices unipotentes c'est-à-dire de la forme $I_p+N$ avec $N$ nilpotente et on en déduit le théorème principal.

Les parties I et II sont dans une large mesure indépendantes. La partie III utilise les résultats des parties précédentes.

Partie I : quelques exemples

1. Le cas de taille 1
(a) Démontrer que $T_1(\mathbb{R})=[0,+\infty[.$
(b) Soient $n\in\mathbb{N}^*$ et $b=re^{i\theta}$ avec $r>0$ et $\theta\in\mathbb{R}.$ Donner les racines $n$ - ièmes du nombre complexe $b,$ c'est-à-dire les solutions de l'équation $z^n=b$ d'inconnue $z\in\mathbb{C}.$
(c) En déduire $T_1(\mathbb{C}).$

2. Une condition nécessaire...
(a) Démontrer que si $A\in T_p(\mathbb{K}),$ alors $\det A\in T_1(\mathbb{K}).$
(b) En déduire un exemple de matrice de $\mathcal{M}_2(\mathbb{R})$ qui n'est pas TP $\mathbb{R}.$

3. ... mais pas suffisante
Soit $A=\begin{pmatrix}-1&0\\0&-2\end{pmatrix}.$ Démontrer qu'il n'existe aucune matrice $B=\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}$ de $\mathcal{M}_2(\mathbb{R})$ telle que $A=B^2.$ En déduire que la condition nécessaire de la question précédente n'est pas suffisante.

4. Un cas où $A$ est diagonalisable
Soit $A=\begin{pmatrix}0&3&2\\-2&5&2\\2&-3&0\end{pmatrix}.$
(a) Démontrer que $A$ est diagonalisable sur $\mathbb{R}$ (le détail des calculs n'est pas demandé).
(b) Démontrer que la matrice $A$ est TP $\mathbb{R}.$
(c) Pour chacun des cas $n=2$ et $n=3,$ expliciter une matrice $B$ de $\mathcal{M}_3(\mathbb{R})$ vérifiant $B^n=A$ (on pourra utiliser la calculatrice).

5. Un exemple de nature géométrique
Soit $A=\begin{pmatrix}-1&0\\0&-1\end{pmatrix}.$
(a) Justifier que $A$ est la matrice d'une rotation vectorielle dont on précisera une mesure de l'angle.
(b) En déduire que $A$ est TP $\mathbb{R}.$

6. Le cas des matrices nilpotentes
Soit $N$ une matrice nilpotente de $\mathcal{M}_p(\mathbb{K}).$
(a) Déterminer le polynôme caractéristique de $N,$ en déduire que $N^p=0.$
(b) Démontrer que si $N$ est TP $\mathbb{K},$ alors $N$ est la matrice nulle.

Partie II : le cas où le polynôme caractéristique est scindé

Dans toute cette partie, $A$ désigne une matrice de $\mathcal{M}_p(\mathbb{K})$ dont le polynôme caractéristique noté $\chi_A$ est scindé sur $\mathbb{K},$ c'est-à-dire de la forme : $\chi_A=(-1)^p\displaystyle\prod_{i=1}^k(X-\lambda_i)^{r_i},$ avec $k,r_1,\dots,r_k$ des entiers de $\mathbb{N}^*$ et $\lambda_1,\dots,\lambda_k$ les valeurs propres de $A,$ éléments de $\mathbb{K}.$

On note $\mathcal{B}$ la base canonique de $\mathbb{K}^p$ et $u$ l'endomorphisme de $\mathbb{K}^p$ dont $A$ est la matrice dans la base $\mathcal{B}.$

Enfin, pour $i\in\lbrace1,\dots,k\rbrace,$ on note $C_i=\text{Ker}(u-\lambda_i\text{id}_{\mathbb{K}^p})^{r_i}$ que l'on appelle sous-espace caractéristique de $u$ associé à la valeur propre $\lambda_i.$

7. Démontrer que $\mathbb{K}^p=C_1\oplus\cdots\oplus C_k.$

8. (a) Soit $v$ un endomorphisme de $\mathbb{K}^p$ qui commute avec $u$ et $Q$ un polynôme à coefficients dans $\mathbb{K}.$ Démontrer que $\text{Ker}Q(u)$ est stable par $v.$
(b) En déduire que pour tout $i\in\lbrace1,\dots,k\rbrace,$ le sous-espace caractéristique $C_i$ est stable par $u.$
On note ainsi $u_{C_i},$ l'endomorphisme induit par $u$ sur $C_i.$

9. Soit $i\in\lbrace1,\dots,k\rbrace.$ Justifier que l'application $u_{C_i}-\lambda_i\text{id}_{C_i}$ est un endomorphisme de $C_i$ nilpotent.

10. En déduire que la matrice $A$ peut s'écrire sous la forme : $A=P\ \text{diag}(\lambda_1 I_{p_1}+N_1,\dots,\lambda_k I_{p_k}+N_k)\ P^{-1},$ avec $P$ une matrice inversible de $\mathcal{M}_p(\mathbb{K})$ et pour tout $i\in\lbrace1,\dots,k\rbrace,\ p_i=\text{dim}\ C_i$ et $N_i$ est une matrice nilpotente de $\mathcal{M}_{p_i}(\mathbb{K}).$
On rappelle que $\text{diag}(\lambda_1 I_{p_1}+N_1,\dots,\lambda_k I_{p_k}+N_k)$ désigne la matrice diagonale par blocs de premier bloc $\lambda_1 I_{p_1}+N_1,$ de deuxième bloc $\lambda_2 I_{p_2}+N_2$ et de dernier bloc $\lambda_k I_{p_k}+N_k.$

11. Démontrer que, si pour tout $i\in\lbrace1,\dots,k\rbrace$ la matrice $\lambda_i I_{p_i}+N_i$ est TP $\mathbb{K},$ alors $A$ est elle-même TP $\mathbb{K}.$

Partie III : le cas des matrices unipotentes

Soit $N$ une matrice nilpotente de $\mathcal{M}_p(\mathbb{K}).$ Nous allons montrer que la matrice unipotente $I_p+N$ est TP $\mathbb{K}.$

On pourra confondre polynôme et fonction polynôme.

On rappelle que si $f$ est une fonction, la notation $f(x)=o(x^p)$ signifie qu'il existe une fonction $\varepsilon$ tendant vers 0 en 0 telle que $f(x)=x^p\varepsion(x)$ au voisinage de 0.

12. Une application des développements limités
(a) Soit $V$ un polynôme de $\mathbb{R}[X]$ tel que $V(x)=o(x^p)$ au voisinage de 0.
Démontrer, à l'aide d'une division euclidienne, qu'il existe un polynôme $Q$ de $\mathbb{R}[X]$ tel que $V=X^p\times Q.$
(b) Soit $n\in\mathbb{N}^*.$ Démontrer l'existence d'un polynôme $U$ de $\mathbb{R}[X]$ tel que l'on ait, au voisinage de 0 : $1+x=(U(x))^n+o(x^p)$ (on pourra utiliser un développement limité de $(1+x)^{\alpha}$ ).

(c) En déduire que, pour tout $n\in\mathbb{N}^*,$ il existe un polynôme $Q$ de $\mathbb{R}[X]$ tel que : $1+X=U^n+X^p\times Q.$
13. Applications
(a) Démontrer que la matrice unipotente $I_p+N$ est TP $\mathbb{K}.$
(b) Soit $\lambda\in\mathbb{K}$ non nul. En déduire que si $\lambda$ est TP $\mathbb{K},$ alors la matrice $\lambda I_p+N$ est TP $\mathbb{K}.$

14. Le résultat annoncé
(a) Conclure que toute matrice inversible de $\mathcal{M}_p(\mathbb{C})$ est TP $\mathbb{C}.$
(b) Toute matrice de $\mathcal{M}_p(\mathbb{C})$ est-elle TP $\mathbb{C}$ ?

15. Donner un exemple de matrice de $\mathcal{M}_4(\mathbb{R})$ non diagonalisable et non inversible qui est TP $\mathbb{R}.$

Publié par david9333/ le 30-11--0001

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