Fiche de mathématiques
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CONCOURS COMMUNS
POLYTECHNIQUES

Session 2013

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Epreuve spécifique - Filière MP
Mathématiques 2
Durée : 4 heures

N. B. : Le candidat attachera la plus grande importance à la clarté, à la précision et à la concision de la rédaction. Si un candidat est amené à repérer ce qui peut lui sembler être une erreur d'énoncé, il le signalera sur sa copie et devra poursuivre sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu'il a été amené à prendre.
Les calculatrices sont autorisées.
Le sujet est composé de d'un exercice et d'un problème indépendants.


exercice : points à coordonnées entières sur une hyperbole

On munit le plan d'un repère orthonormé. On considère la conique \mathcal{H} d'équation cartésienne :
x^2-13y^2=1.

1. Tracer l'allure de l'hyperbole \mathcal{H}. On précisera les tangentes aux points d'ordonnée nulle ainsi que les branches infinies.

2. Écrire un algorithme en français qui renvoie les éventuels couples d'entiers naturels (x,y) vérifiant :
\text{(I)}\quad\left\lbrace\begin{array}{l}x^2-13y^2=1\\y\le200\end{array}\right.

3. Programmer cet algorithme sur calculatrice et donner les couples d'entiers naturels (x,y) solutions du système (I). On ne demande pas d'écrire le programme sur la copie.





probleme : matrices "toutes-puissantes"

Notations et objectifs

Dans tout le texte, \mathbb{K} désigne le corps \mathbb{R} ou \mathbb{C} et p un entier naturel non nul.

On note \mathcal{M}_p(\mathbb{K}) le \mathbb{K}-espace vectoriel des matrices carrées de taille p à coefficients dans \mathbb{K} et I_p la matrice unité de \mathcal{M}_p(\mathbb{K}).

On pourra confondre \mathcal{M}_1(\mathbb{K}) et \mathbb{K}.

Une matrice N de \mathcal{M}_p(\mathbb{K}) est dite nilpotente s'il existe un entier naturel r tel que N^r=0.

Si M_1,\dots,M_k sont des matrices carrées, la matrice \text{diag}(M_1,\dots,M_k) désigne la matrice diagonale par blocs dont les blocs diagonaux sont M_1,\dots,M_k.

Si E est un \mathbb{K}-espace vectoriel, on note \text{id}_E l'application identité sur E.

Enfin, on note \mathbb{K}[X] la \mathbb{K}-algèbre des polynômes à coefficients dans \mathbb{K}.

On dit qu'une matrice A de \mathcal{M}_p(\mathbb{K}) est "toute-puissante sur \mathbb{K} et on notera en abrégé TP\mathbb{K} si, pour tout n\in\mathbb{N}^*, il existe une matrice B de \mathcal{M}_p(\mathbb{K}) telle que A=B^n.

On note T_p(\mathbb{K}) l'ensemble des matrices de \mathcal{M}_p(\mathbb{K}) toutes-puissantes sur \mathbb{K} :
T_p(\mathbb{K})=\lbrace A\in\mathcal{M}_p(\mathbb{K})\ |\ \forall n\in\mathbb{N}^*\ \exists B\in\mathcal{M}_p(\mathbb{K})\ A=B^n\rbrace.

L'objectif principal du sujet est d'établir le résultat suivant : toute matrice inversible de \mathcal{M}_p(\mathbb{C}) est TP\mathbb{C}.

Dans la partie I, on traite quelques exemples et contre-exemples.

Dans la partie II, on montre que, dans le cas où le polynôme caractéristique de la matrice A est scindé, on peut ramener l'étude au cas des matrices de la forme \lambda I_p+N avec N nilpotente.

Dans la partie III, on traite le cas des matrices unipotentes c'est-à-dire de la forme I_p+N avec N nilpotente et on en déduit le théorème principal.

Les parties I et II sont dans une large mesure indépendantes. La partie III utilise les résultats des parties précédentes.


Partie I : quelques exemples

1. Le cas de taille 1
      (a) Démontrer que T_1(\mathbb{R})=[0,+\infty[.
      (b) Soient n\in\mathbb{N}^* et b=re^{i\theta} avec r>0 et \theta\in\mathbb{R}. Donner les racines n- ièmes du nombre complexe b, c'est-à-dire les solutions de l'équation z^n=b d'inconnue z\in\mathbb{C}.
      (c) En déduire T_1(\mathbb{C}).

2. Une condition nécessaire...
      (a) Démontrer que si A\in T_p(\mathbb{K}), alors \det A\in T_1(\mathbb{K}).
      (b) En déduire un exemple de matrice de \mathcal{M}_2(\mathbb{R}) qui n'est pas TP\mathbb{R}.

3. ... mais pas suffisante
Soit A=\begin{pmatrix}-1&0\\0&-2\end{pmatrix}. Démontrer qu'il n'existe aucune matrice B=\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix} de  \mathcal{M}_2(\mathbb{R}) telle que A=B^2. En déduire que la condition nécessaire de la question précédente n'est pas suffisante.

4. Un cas où A est diagonalisable
Soit A=\begin{pmatrix}0&3&2\\-2&5&2\\2&-3&0\end{pmatrix}.
      (a) Démontrer que A est diagonalisable sur \mathbb{R} (le détail des calculs n'est pas demandé).
      (b) Démontrer que la matrice A est TP\mathbb{R}.
      (c) Pour chacun des cas n=2 et n=3, expliciter une matrice B de \mathcal{M}_3(\mathbb{R}) vérifiant B^n=A (on pourra utiliser la calculatrice).

5. Un exemple de nature géométrique
Soit A=\begin{pmatrix}-1&0\\0&-1\end{pmatrix}.
      (a) Justifier que A est la matrice d'une rotation vectorielle dont on précisera une mesure de l'angle.
      (b) En déduire que A est TP\mathbb{R}.

6. Le cas des matrices nilpotentes
Soit N une matrice nilpotente de \mathcal{M}_p(\mathbb{K}).
      (a) Déterminer le polynôme caractéristique de N, en déduire que N^p=0.
      (b) Démontrer que si N est TP\mathbb{K}, alors N est la matrice nulle.


Partie II : le cas où le polynôme caractéristique est scindé

Dans toute cette partie, A désigne une matrice de \mathcal{M}_p(\mathbb{K}) dont le polynôme caractéristique noté \chi_A est scindé sur \mathbb{K}, c'est-à-dire de la forme :
\chi_A=(-1)^p\displaystyle\prod_{i=1}^k(X-\lambda_i)^{r_i},
avec k,r_1,\dots,r_k des entiers de \mathbb{N}^* et \lambda_1,\dots,\lambda_k les valeurs propres de A, éléments de \mathbb{K}.

On note \mathcal{B} la base canonique de \mathbb{K}^p et u l'endomorphisme de \mathbb{K}^p dont A est la matrice dans la base \mathcal{B}.

Enfin, pour i\in\lbrace1,\dots,k\rbrace, on note C_i=\text{Ker}(u-\lambda_i\text{id}_{\mathbb{K}^p})^{r_i} que l'on appelle sous-espace caractéristique de u associé à la valeur propre \lambda_i.

7. Démontrer que \mathbb{K}^p=C_1\oplus\cdots\oplus C_k.

8. (a) Soit v un endomorphisme de \mathbb{K}^p qui commute avec u et Q un polynôme à coefficients dans \mathbb{K}. Démontrer que \text{Ker}Q(u) est stable par v.
    (b) En déduire que pour tout i\in\lbrace1,\dots,k\rbrace, le sous-espace caractéristique C_i est stable par u.
On note ainsi u_{C_i}, l'endomorphisme induit par u sur C_i.

9. Soit i\in\lbrace1,\dots,k\rbrace. Justifier que l'application u_{C_i}-\lambda_i\text{id}_{C_i} est un endomorphisme de C_i nilpotent.

10. En déduire que la matrice A peut s'écrire sous la forme :
A=P\ \text{diag}(\lambda_1 I_{p_1}+N_1,\dots,\lambda_k I_{p_k}+N_k)\ P^{-1},
avec P une matrice inversible de \mathcal{M}_p(\mathbb{K}) et pour tout i\in\lbrace1,\dots,k\rbrace,\ p_i=\text{dim}\ C_i et N_i est une matrice nilpotente de \mathcal{M}_{p_i}(\mathbb{K}).
On rappelle que \text{diag}(\lambda_1 I_{p_1}+N_1,\dots,\lambda_k I_{p_k}+N_k) désigne la matrice diagonale par blocs de premier bloc \lambda_1 I_{p_1}+N_1, de deuxième bloc \lambda_2 I_{p_2}+N_2 et de dernier bloc \lambda_k I_{p_k}+N_k.

11. Démontrer que, si pour tout i\in\lbrace1,\dots,k\rbrace la matrice \lambda_i I_{p_i}+N_i est TP\mathbb{K}, alors A est elle-même TP\mathbb{K}.


Partie III : le cas des matrices unipotentes

Soit N une matrice nilpotente de \mathcal{M}_p(\mathbb{K}). Nous allons montrer que la matrice unipotente I_p+N est TP\mathbb{K}.

On pourra confondre polynôme et fonction polynôme.

On rappelle que si f est une fonction, la notation f(x)=o(x^p) signifie qu'il existe une fonction \varepsilon tendant vers 0 en 0 telle que f(x)=x^p\varepsion(x) au voisinage de 0.

12. Une application des développements limités
      (a) Soit V un polynôme de \mathbb{R}[X] tel que V(x)=o(x^p) au voisinage de 0.
Démontrer, à l'aide d'une division euclidienne, qu'il existe un polynôme Q de \mathbb{R}[X] tel que V=X^p\times Q.
      (b) Soit n\in\mathbb{N}^*. Démontrer l'existence d'un polynôme U de \mathbb{R}[X] tel que l'on ait, au voisinage de 0 :
1+x=(U(x))^n+o(x^p)
(on pourra utiliser un développement limité de (1+x)^{\alpha}).

      (c) En déduire que, pour tout n\in\mathbb{N}^*, il existe un polynôme Q de \mathbb{R}[X] tel que :
1+X=U^n+X^p\times Q.

13. Applications
      (a) Démontrer que la matrice unipotente I_p+N est TP\mathbb{K}.
      (b) Soit \lambda\in\mathbb{K} non nul. En déduire que si \lambda est TP\mathbb{K}, alors la matrice \lambda I_p+N est TP\mathbb{K}.

14. Le résultat annoncé
      (a) Conclure que toute matrice inversible de \mathcal{M}_p(\mathbb{C}) est TP\mathbb{C}.
      (b) Toute matrice de \mathcal{M}_p(\mathbb{C}) est-elle TP\mathbb{C} ?

15. Donner un exemple de matrice de \mathcal{M}_4(\mathbb{R}) non diagonalisable et non inversible qui est TP\mathbb{R}.
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