Fiche de mathématiques
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Concours communs polytechniques 2017

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filière MP Mathématiques 1

Les calculatrices sont interdites
Le sujet est composé de deux exercices et d'un problème tous indépendants.

exercice 1

On définit deux fonctions:
la fonction f^{} de \mathbb{R}^2 dans \mathbb R par f(x,y)=\sin\left(x^2+y^2\right)
la fonction g de \mathbb{R}^2 dans \mathbb{R}^2 par g(x,y)=(x+y,x-y)
Q1. Justifier que les fonctions f et g sont différentiables en tout vecteur (x,y)\in\mathbb{R}^2 et écrire la matrice jacobienne de f puis de g en (x,y).
Q2. Pour (x,y)\in\mathbb{R}^2, déterminer l'image d'un vecteur (u,v)\in\mathbb{R}^2 par l'application linéaire {\rm d}(f\circ g)((x,y)) en utilisant les deux méthodes suivantes :
1. en calculant f \circ g ;
2. en utilisant le produit de deux matrices jacobiennes.

exercice 2

On admet que \displaystyle \sum_{n=1}^{+\infty}\frac{1}{n^2}=\frac{\pi^2}{6} et on pose A=\mathbb{N}^{\star} \times \mathbb{N}^{\star}
Q3.Démontrer que la famille \displaystyle \left(\frac{1}{p^2q^2}\right)_{(p,q)\in A} est sommable et déterminer sa somme.
Q4. Démontrer que la famille \displaystyle \left(\frac{1}{p^2+q^2}\right)_{(p,q)\in A} n'est pas sommable.

Problème - Séries trigonométriques

Il est utile en physique, notamment pour étudier des spectres d'énergie ou pour décomposer un signal périodique en harmoniques, de pouvoir écrire une fonction périodique en somme d'une série de fonctions trigonométriques.
Nous allons nous intéresser à l'aspect mathématique de cette décomposition pour les fonctions de période 2\pi. Dans ce qui suit, on appelle "série trigonométrique" une série de fonctions du type : 
\sum [a_n\cos(nx)+b_n\sin(nx)]  (a_n) et (b_n) sont deux suites de réels.
Dans la première partie, on étudie quelques exemples. Dans la deuxième partie, on s'intéresse plus particulièrement aux séries trigonométriques qui convergent normalement sur \mathbb R.
On notera C_{2\pi} l'espace vectoriel des fonctions continues et 2\pi-périodiques de \mathbb R dans \mathbb R .
Pour une fonction f élément de C_{2\pi}, on notera, pour tout entier naturel n :
\displaystyle\alpha_n(f)=\frac{1}{2\pi}  \int_{-\pi}^{\pi}f(x)\cos(nx) dx et \displaystyle\beta_n(f)=\frac{1}{2\pi}  \int_{-\pi}^{\pi}f(x)\sin(nx) dx

Partie I - Exemples

Q5.Démontrer que la série trigonométrique \displaystyle\sum \left[ \frac{1}{2^n}\cos(nx)+\frac{1}{3^n}\sin(nx)\right] converge normalement sur \mathbb R. Pour tout entier p\geq 2, déterminer la somme de la série \displaystyle \sum_{n\geq 0} \left( \frac{e^{ix}}{p}\right)^n puis en déduire la valeur de \displaystyle\sum_{n=0}^{+\infty}  \left[ \frac{1}{2^n}\cos(nx)+\frac{1}{3^n}\sin(nx)\right] (il n'est pas utile de réduire au même dénominateur).
Q6. Écrire la fonction \varphi :x \longmapsto \exp(\cos x) \cos(\sin x) comme la somme d'une série trigonométrique. On pourra écrire la fonction x\longmapsto \exp\left(e^{ix}\right) comme la somme d'une série de fonctions.
Q7.Donner un exemple de suite (a_n) de limite nulle, telle que la série trigonométrique \displaystyle\sum a_n\cos(nx) ne converge pas simplement sur \mathbb R.
Q8. On admet que la série trigonométrique \displaystyle\sum_{n\geq 1} \frac{1}{\sqrt{n}} \sin(nx) converge simplement sur \mathbb R . Converge-t-elle normalement sur \mathbb R ?

Partie II - Propriétés

Une condition suffisante

Q9. Démontrer que si les séries \displaystyle \sum a_n et \displaystyle \sum b_n sont absolument convergentes, alors la série trigonométrique \displaystyle \sum [a_n \cos(nx)+b_n\sin(nx) ] converge normalement sur \mathbb R.

Une condition nécessaire

Q10. Soient a et b deux réels quelconques. Démontrer que le maximum sur \mathbb R de la fonction x\longmapsto |a\cos x +b \sin x| est \displaystyle \sqrt{a^2+b^2}.
Q11. Démontrer que si la série trigonométrique \displaystyle \sum [a_n\cos(nx)+b_n\sin(nx)] converge normalement sur \mathbb R , alors les suites (a_n) et (b_n) convergent vers 0 et les séries \displaystyle\sum a_n et \displaystyle\sum b_n sont absolument convergentes.

Autres propriétés

Q12. On note f la somme d'une série trigonométrique \displaystyle \sum [a_n\cos(nx)+b_n\sin(nx)] qui converge normalement sur \mathbb R . Justifier que f\in C_{2\pi} .
Q13. Calculer \displaystyle\int_{-\pi}^{\pi} \cos^2(nx) dx pour n \neq 0 et donner la valeur de \displaystyle \int_{-\pi}^{\pi} \sin(kx)\cos(nx)dx pour k\neq n.
Q14.On note f la somme d'une série trigonométrique \displaystyle \sum [a_n\cos(nx)+b_n\sin(nx)] qui converge normalement sur \mathbb R : pour tout réel x , \displaystyle f(x)= \sum_{k=0}^{+\infty} [a_k\cos(kx)+b_k\sin(kx)] . Démontrer que pour tout entier naturel n non nul \alpha_n(f)=a_n puis exprimer \alpha_0(f) en fonction de a_0 . On pourra utiliser sans démonstration que pour k\neq n: \displaystyle \int_{-\pi}^{\pi}\cos(kx)\cos(nx)dx=0.
On admettra, pour la suite du problème, que pour tout entier naturel n non nul \beta_n(f)=b_n et \beta_0(f)=0 (la démonstration n'est pas demandée)
Q15. Soit f\in C_{2\pi} . Pour tout réel x , on pose \displaystyle u_0(x)=\frac{\alpha_0(f)}{2} . Pour tout entier n \geq 1 , on pose u_n(x)=\alpha_n(f)\cos(nx)+\beta_n(f)\sin(nx) . On suppose ici que la série trigonométrique \sum u_n(x) converge normalement sur \mathbb R vers une fonction notée g :
pour tout réel x , \displaystyle g(x)=\frac{\alpha_0(f)}{2}+\sum_{k=1}^{+\infty}  [\alpha_k(f)\cos(kx)+\beta_k(f)\sin(kx)]
Quelles relations a-t-on dans ce cas entre \alpha_n(g) et \alpha_n(f)? \beta_n(g) et \beta_n(f) ?
Q16. Il est admis que si une fonction h\in C_{2\pi} vérifie, pour tout entier naturel n : \alpha_n(h)=\beta_n(h)=0 , alors h est la fonction nulle. Démontrer que pour tout réel x , on a: g(x)=f(x).
En résumé, lorsque la série trigonométrique \displaystyle \sum [\alpha_n(f)\cos(nx)+\beta_n(f) \sin(nx)] d'une fonction f\in C_{2\pi} converge normalement sur \mathbb R , pour tout réel x , on a:
\displaystyle f(x)=\frac{\alpha_0(f)}{2}+\displaystyle \sum_{n=1}^{+\infty}  [\alpha_n(f)\cos(nx)+\beta_n(f)\sin(nx)].
Q17. Si f\in C_{2\pi} est une fonction paire, que vaut \beta_n(f) ? Exprimer, sans démonstration, \alpha_n(f) en fonction de l'intégrale \displaystyle \int_0^{\pi} f(x)\cos(nx)dx.
Q18. Exemple. Soit f\in C_{2\pi} définie ainsi : pour tout x\in [-\pi,\pi], f(x)=x^2 et f est 2\pi-périodique sur \mathbb R. Construire la courbe de cette fonction paire f sur l'intervalle [-3\pi,3\pi], puis déterminer, pour tout entier naturel n, les coefficients \alpha_n(f) et \beta_n(f). Donner une série trigonométrique qui converge normalement sur \mathbb R vers f.
Q19. En déduire les sommes : \displaystyle \sum_{n=1}^{+\infty}\frac{(-1)^{n}}{n^2} et \displaystyle \sum_{n=1}^{+\infty}\frac{1}{n^2}. Déduire alors de \displaystyle \sum_{n=1}^{+\infty}\frac{1}{n^2} la somme \displaystyle \sum_{n=0}^{+\infty}\frac{1}{(2n+1)^2}.
Q20. Application. Justifier que la fonction x\longmapsto \displaystyle\frac{\ln(1+x)}{x} est intégrable sur l'intervalle ]0,1[ puis démontrer que \displaystyle \int_0^1 \frac{\ln(1+x)}{x} dx = \frac{\pi^2}{12}.
Q21. La somme d'une série trigonométrique qui converge normalement sur \mathbb R est-elle nécessairement une fonction dérivable sur \mathbb R ? Proposer une condition suffisante sur les séries \displaystyle \sum na_n et \displaystyle \sum nb_n pour que la somme de la série trigonométrique \displaystyle \sum [a_n\cos(nx)+b_n\sin(nx)] , qui converge normalement sur \mathbb R , soit une fonction dérivable sur \mathbb R.
Q22. Déterminer la somme de la série trigonométrique \displaystyle \sum \frac{n}{3^n}\cos(nx). 
FIN




Dans le rapport de l'épreuve, il est conseillé aux candidats de mettre en évidence les résultats: il est écrit que "souligner ou encadrer les résultats rend la copie bien plus agréable". C'est la raison pour laquelle les résultats seront encadrés ou soulignés dans ce corrigé.
On fera souvent allusion dans ce corrigé au rapport de l'épreuve, parce que celui-ci souligne les erreurs à ne pas commettre, que certains candidats ont effectivement faites.

exercice 1

Q1.
Les dérivées partielles de f existent et sont continues sur \mathbb{R}^2, avec:
\displaystyle \frac{\partial f}{\partial x}(x,y)=2x \cos(x^2-y^2) et \displaystyle \frac{\partial f}{\partial x}(x,y)=-2y \cos(x^2-y^2)
Comme \mathbb{R}^2 est un ouvert, on en déduit que f est de classe C^1 sur \mathbb{R}^2. Donc, f est différentiable en tout point de \mathbb{R}^2

De plus , \forall(x,y)\in\mathbb{R}^2 , J(f)((x,y))=  \begin{pmatrix} 2x \cos(x^2-y^2)  & -2y \cos(x^2-y^2)\end{pmatrix}

De même, g est différentiable en tout point de \mathbb{R}^2 et \forall (x,y)\in\mathbb{R}^2 ,  J(g)((x,y)) =\begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & -1\end{pmatrix}

Ce que dit le rapport: La jacobienne de f n'est pas toujours au bon format. De nombreux candidats déduisent la différentiabilité (sur R2) de l'existence de dérivées partielles, alors que cette condition n'assure même pas toujours la continuité.

Q2. Première méthode: Pour tout (x,y) de \mathbb{R}^2:
f\circ g(x,y)=f(x+y,x-y)=\sin [(x+y)^2-(x-y)^2]= \sin(4xy)
J(f \circ g)((x,y))=  \begin{pmatrix} 4y \cos(4xy) & 4x \cos(4xy)\end{pmatrix}

Deuxième méthode: Pour tout (x,y) de \mathbb{R}^2:
J(f \circ g)((x,y))= J(f)(g(x,y)) J(g)((x,y))= J(f)((x+y,x-y)) J(g)((x,y))
J(f \circ g)((x,y))=  \begin{pmatrix} 2(x+y) \cos(4xy) & -2(x-y) \cos(4xy)\end{pmatrix}  \begin{pmatrix} 1 & 1\\ 1 & -1\end{pmatrix} =  \begin{pmatrix} 4y \cos(4xy) & 4x \cos(4xy)\end{pmatrix}
On a obtenu par les deux méthodes la matrice jacobienne de f\circ g en tout point (x,y) de \mathbb{R}^2.
\forall (x,y)\in\mathbb{R}^2 , \forall (u,v)\in \mathbb{R}^2 , {\rm d}(f \circ g)((x,y))(u,v) = J(f\circ g)((x,y))\begin{pmatrix} u\\ v\end{pmatrix} = 4 y \cos(4xy)u+4x\cos(4xy)v

Ce que dit le rapport: La plupart des candidats se trompent sur l'image d'un vecteur par la différentielle en un point. Confusions entre (x,y) et (u,v).

exercice 2

Q3. Nous savons qu'une famille (a_{m,n})_{(m,n)\in  \mathbb{N}^{\star} \times \mathbb{N}^{\star}} de réels positifs est sommable si et seulement si pour tout n la série \sum a_{m,n} converge et la série \displaystyle \sum \left( \sum_{m=1}^{+\infty} a_{m,n}\right) converge.
Nous allons appliquer ce résultat à la famille (a_{m,n})_{(m,n)\in\mathbb{N}^{\star}\times \mathbb{N}^{\star}} définie par: a_{m,n}=\displaystyle\frac{1}{m^2n^2}

D'abord, pour tout n, \displaystyle \sum \frac{1}{n^2m^2} est convergente et \displaystyle \sum_{m=1}^{+\infty}\frac{1}{m^2n^2}= \frac{\pi^2}{6n^2}
Ensuite, \displaystyle \sum \left( \sum_{m=1}^{+\infty} a_{m,n}\right) =  \sum \frac{\pi^2}{6n^2} est convergente.
Donc, la famille \displaystyle \left(\frac{1}{p^2q^2}\right)_{(p,q)\in A} est sommable
Nous savons aussi que lorsqu'une famille (a_{m,n})_{(m,n)\in  \mathbb{N}^{\star} \times \mathbb{N}^{\star}} de réels positifs est sommable, alors la somme de cette famille est égale à \displaystyle \sum_{n=1}^{+\infty}   \left( \sum_{m=1}^{+\infty} a_{m,n}\right)
Donc \displaystyle \sum_{(p,q)\in A} \frac{1}{p^2q^2}=  \displaystyle \sum_{q=1}^{+\infty} \left( \sum_{p=1}^{+\infty} \frac{1}{p^2q^2}\right)=  \sum_{q=1}^{+\infty} \frac{\pi^2}{6q^2}=\frac{\pi^4}{36}

Q4. On définit la suite (b_{m,n})_{(m,n)\in\mathbb{N}^{\star}\times \mathbb{N}^{\star}} par: b_{m,n}=\displaystyle\frac{1}{m^2+n^2}

Pour tout n, \displaystyle \sum b_{m,n} converge puisque b_{m,n} \underset{m \rightarrow +\infty}{\sim} \frac{1}{m^2}. Notons \displaystyle s_n =\sum_{n=1}^{+\infty} b_{m,n}=    \sum_{m=1}^{+\infty} \frac{1}{m^2+n^2}

Pour tout n\geq 1: s_n \displaystyle \geq    \sum_{m=1}^n \frac{1}{m^2+n^2} \geq \sum_{m=1}^n \frac{1}{2n^2} =\frac{1}{2n}
On en déduit que \displaystyle\sum \left(\sum_{m=1}^{+\infty} b_{m,n}\right) =    \sum s_n est divergente.
Donc, la famille \displaystyle \left(\frac{1}{p^2+q^2}\right)_{(p,q)\in A} n'est pas sommable
Ce que dit le rapport: "Question difficile et peu traitée. Peu de candidats ont pensé à utiliser une partition de A."
Le lecteur remarquera que la solution n'utilise pas une partition de A. C'est un bon exercice de chercher l'idée que le rapporteur avait en tête.

Problème

PARTIE I - Exemples

Q5. On munit l'espace \mathcal B des fonctions bornées de \mathbb R dans \mathbb R de la norme: \forall f \in \mathcal{B} ,  N_{\infty}(f)=\displaystyle \sup_{x\in\mathbb{R}}|f(x)|
Pour tout n de \mathbb N, notons u_n la fonction de \mathbb R dans \mathbb R définie par u_n(x) =\dfrac{1}{2^n} \cos(nx)+\dfrac{1}{3^n}\sin(nx)
\forall x \in\mathbb{R} , |u_n(x)| \leq \dfrac{1}{2^n}+\dfrac{1}{3^n}. On en déduit que u_n est bornée pour tout n et que \forall n \in \mathbb{N} , N_{\infty}(u_n) \leq \dfrac{1}{2^n}+\dfrac{1}{3^n}. Or, \displaystyle \sum \left( \dfrac{1}{2^n}+\dfrac{1}{3^n}\right) est convergente comme de deux séries géométriques dont la raison est strictement inférieure à 1 (en valeur absolue). On en déduit que \sum N_{\infty}(u_n) est convergente.
Donc, la série trigonométrique \displaystyle\sum \left[ \frac{1}{2^n}\cos(nx)+\frac{1}{3^n}\sin(nx)\right] converge normalement sur \mathbb R

\displaystyle\sum \left( \dfrac{e^{ix}}{p}\right)^n est une série géométrique dont la raison q=\dfrac{e^{ix}}{p} vérifie |q| < 1. On en déduit:
\displaystyle\sum_{n=0}^{+\infty}   \left( \dfrac{e^{ix}}{p}\right)^n =   \dfrac{1}{1-\frac{e^{ix}}{p}}=\dfrac{p}{p-e^{ix}}=  \dfrac{p(p-e^{-ix})}{p^2-2p\cos x+1}

\forall x \in\mathbb{R} , \dfrac{1}{2^n}\cos(nx)+\dfrac{1}{3^n}\sin(nx)=  {\rm Re}\left(\left(\dfrac{e^{ix}}{2}\right)^n \right)+  {\rm Im}\left(\left(\dfrac{e^{ix}}{3}\right)^n \right
En utilisant les résultats précédents et en appliquant les théorèmes généraux sur les séries:
  \displaystyle \sum_{n=0}^{+\infty}   \left( \dfrac{1}{2^n}\cos(nx)+\dfrac{1}{3^n}\sin(nx)\right)=  \dfrac{4-2\cos x}{5-4\cos x}+\dfrac{3\sin x}{10-6\cos x}

Ce que dit le rapport: Majoration généralement correcte, mais parfois oubli des valeurs absolues. Tous les candidats ne pensent pas forcément à utiliser les séries géométriques, certains semblent même ne pas les connaître du tout. Ainsi, ils comparent parfois avec le terme général d'une série de Riemann ou bien utilisent d'Alembert. Quelques élèves , hélas, se contentent de dire que le majorant tend vers 0, sans s'occuper de la nature de la série dont il est le terme général. Attention à une confusion fréquente : la partie réelle de \frac{1}{z} n'est pas l'inverse de la partie réelle de z .

Q6. D'après le cours sur le développement en série de e^z: \forall x \in\mathbb{R} , \exp(e^{ix})=\displaystyle   \sum_{n=0}^{+\infty} \frac{(e^{ix})^n}{n!}= \sum_{n=0}^{+\infty}   \frac{e^{inx}}{n!}
Par ailleurs: \forall x\in\mathbb{R} , \exp(e^{ix})= \exp(\cos x+i\sin x) = exp(\cos x) (\cos(\sin x)+i\sin(\sin x))
En égalant les parties réelles, on obtient:
\displaystyle \forall x\in\mathbb{R} , \exp(\cos x)\cos(\sin x)=  \sum_{n=0}^{+\infty} \frac{1}{n!} \cos(nx)
Q7.
Soit a_n=\frac{1}{n+1}. La suite (a_n) est de limite nulle et il est bien connu que la série \sum a_n \cos(nx) est divergente pour x=0. Donc \sum a_n\cos(nx) ne converge pas simplement sur \mathbb{R}
Ce que dit le rapport: Exemple juste mais parfois non expliqué. Certains montrent même qu'il n'y a pas convergence normale et en déduisent qu'il n'y a pas convergence simple (implication inversée). La référence à x=0 est quand même assez fréquemment présente.
Q8. La série \displaystyle \sum \sup_{x\in\mathh{R}} \left| \frac{1}{\sqrt{n}}  \sin(nx)\right| est la série \displaystyle\sum \frac{1}{\sqrt{n}}, elle est donc divergente.
La série \sum\frac{1}{\sqrt{n}}\sin(nx) est donc divergente
Ce que dit le rapport: L'erreur la plus classique ici consiste à majorer |sin(nx)| par 1 : on a alors majoré par le terme général d'une série divergente mais on ne peut rien en conclure ...

PARTIE II - Propriétés

Une condition suffisante

Q9. NB: on a défini les fonctions u_n et la norme N_{\infty} dans la solution de la question Q5.
Soit n\in\mathbb{N}. \forall x \in\mathbb{R} , |a_n\cos(nx)+b_n\sin(nx)| \leq |a_n|+|b_n|. On en déduit que u_n est bornée sur \mathbb R et que N_{\infty}(u_n)\leq |a_n|+|b_n|. Par hypothèse les séries \sum a_n et \sum b_n sont absolument convergentes, donc, la série \sum (|a_n|+|b_n|) est convergente. Par suite, la série \sum N_{\infty}(u_n) est convergente.
Donc, si les séries \displaystyle \sum a_n et \displaystyle \sum b_n sont absolument convergentes, alors la série trigonométrique \displaystyle \sum [a_n \cos(nx)+b_n\sin(nx) ] converge normalement sur \mathbb R.
Ce que dit le rapport: Attention ici aussi aux places des valeurs absolues dans les majorations (on voit souvent |a_n\cos(nx)+b_n\sin(nx)|\leq |a_n+b_n| ). Excepté cette confusion, cette question est généralement bien traitée.

Une condition nécessaire

Q10. Notons z=a+ib. On a |z|=\displaystyle\sqrt{a^2+b^2}. Notons \theta un argument de z.
Alors \displaystyle z=\sqrt{a^2+b^2} (\cos \theta + i\sin\theta). Donc a=\sqrt{a^2+b^2}\cos\theta et b=\sqrt{a^2+b^2}\sin\theta . D'où de \mathbb R :
\displaystyle \forall x \in\mathbb{R} , a\cos x +b\sin x=  \sqrt{a^2+b^2} (\cos x\cos \theta +  \sin x\xin \theta) =\sqrt{a^2+b^2} \cos(x-\theta)
Donc \displaystyle \sup_{x\in\mathbb{R}}|a\cos x+b\sin x| =  \sqrt{a^2+b^2} NB: il s'agit bien d'un maximum, atteint pour x=\theta
Ce que dit le rapport: Cette question a été discriminante. Peu de candidats factorisent l'expression par \sqrt{a^2+b^2} pour faire apparaître une formule de trigonométrie. On pouvait également évoquer le produit scalaire et le cas d'égalité.

Q11. On suppose donc que \sum a_n\cos(nx)+b_n\sin(nx) converge normalement sur \mathbb R. D'après la question précédente, cela signifie que \displaystyle\sum \sqrt{a_n^2+b_n^2} converge.
Comme \forall n \in \mathbb{N} , |a_n| \leq \displaystyle\sqrt{a_n^2+b_n^2, on en déduit que \sum |a_n| converge.
De même, \sum |b_n| converge.
Donc, si la série trigonométrique \displaystyle \sum [a_n\cos(nx)+b_n\sin(nx)] converge normalement sur \mathbb R , alors les séries \displaystyle\sum a_n et \displaystyle\sum b_n sont absolument convergentes (ce résultat entraînant que les suites (a_n) et (b_n) convergent vers 0)
Ce que dit le rapport: Ceux qui voient le lien avec la question 10 la traitent correctement. A noter des affirmations gratuites comme "a_n\cos(nx)+b_n\sin(nx) tend vers 0 donc a_n et b_n tendent vers 0".

Autres propriétés

Q12. On sait que la convergence normale entraîne la convergence uniforme. Donc, si \sum [a_n\cos(nx) +b_n\sin(nx) converge normalement sur \mathbb R, alors, sa somme f est continue comme somme d'une série uniformément convergente de fonctions continues. De plus:
\displaystyle \forall x \in\mathbb{R} , f(x+2\pi)= \sum_{n=0}^{+\infty}[ a_n \cos[n(x+2\pi)]+   b_n\sin [n(x+2\pi)]]= \sum_{n=0}^{+\infty} [a_n\cos(nx)+b_n\sin(nx)]=f(x)
Donc, si \sum [a_n\cos(nx) +b_n\sin(nx) converge normalement sur \mathbb R, alors, sa somme f est dans C_{2\pi}
Q13.
Pour n\neq 0: , \displaystyle \int_{-\pi}^{\pi} \cos^2(nx)dx   = \int_{-\pi}^{\pi} \frac{1+\cos(2nx)}{2}dx = \left[ \frac{x}{2}+\frac{\sin(2nx)}{4n}  \right]_{-\pi}^{\pi} = \pi

Remarquons que, pour n=0 , \displaystyle\int_{-\pi}^{\pi} \cos^2(nx)dx = 2\pi, ce résultat sera utile pour la question suivante

Pour k\neq n , \displaystyle   \int_{-\pi}^{\pi} \sin(kx)\cos(nx)dx=  \int_{-\pi}^{\pi} \frac{\sin((k+n)x)+\sin((k-n)x)}{2} dx =   \left[ -\frac{\cos((k+n)x)}{2(k+n)} -\frac{\cos((k-n)x)}{2(k-n)}\right]_{-\pi}^{\pi}=0
Remarquons que le résultat ci-dessus reste valable pour k=n, cette remarque sera utile pour la question suivante
Ce que dit le rapport: Question plutôt réussie. Quelques erreurs dans les linéarisations. Beaucoup ne voient pas que la fonction de la seconde intégrale est impaire.

Q14. Soit n un entier naturel non nul. \displaystyle \alpha_n(f)= \frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^{\pi} \sum_{p=0}^{+\infty}  [a_p\cos(px)+b_p\sin(px)]\cos(nx) dx
La série \sum_{p}  [a_p\cos(px)+b_p\sin(px)]\cos(nx) converge normalement (et donc uniformément) sur [-\pi,\pi] parce que \forall p \in \mathbb{N} , \forall x \in [-\pi,\pi] , |a_p\cos(px)+b_p\sin(px)|\cos(nx)  \leq |a_p|+|b_p| et parce que la série \sum (|a_p|+|b_p|) converge. D'après le théorème d'intégration terme à terme d'une série de fonctions continues, d'après les calculs faits à la question Q13 et les résultats admis par l'énoncé, on a:
Pour n\neq 0 , \alpha_n(f)= \displaystyle\sum_{p=0}^{+\infty} \frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^{\pi} [a_p\cos(px) +b_p\sin(px)]\cos(nx)dx = a_n
En utilisant le même raisonnement que précédemment: \alpha_0(f)=2a_0
Ce que dit le rapport: Des candidats perdent des points pour ne pas avoir justifié l'interversion série/intégrale.

Q15.
D'après la question précédente, appliquée à la fonction g, pour tout n de \mathbb N^* , \alpha_n(g)= \alpha_n(f) et \beta_n(g)=\beta_n(f). De plus \alpha_0(g)=\alpha_0(f) et \beta_0(g)=0
NB: on vérifie facilement que \beta_0(f)=0 (même si l'énoncé l'a admis)
Ce que dit le rapport: Des candidats n'ont pas compris que l'hypothèse de la question 14 n'était plus supposée dans cette question (f est seulement supposée continue 2\pi-périodique), alors qu'on attendait d'eux qu'ils reprennent le raisonnement de la question 14 avec g.

Q16. Notons h=f-g. h est un élément de C_{2\pi} comme différence de deux éléments de C_{2\pi} (g est dans C_{2\pi} d'après la question Q12). De plus, d'après la question précédente: \forall n\in\mathb{N} ,  \alpha_n(h)=\beta_n(h)=0.
D'après le résultat admis de cette question h=0 et f=g
Ce que dit le rapport: Beaucoup pensent à poser h=f-g , mais peu justifient que h est continue.

Q17. Si f\in C_{2\pi} est une fonction paire, alors, pour tout entier naturel n, x\longmapsto f(x)\sin(nx] est impaire. On en déduit que:
\displaystyle \forall n \in \mathbb{N} , \beta_n(f)=\frac{1}{\pi}  \int_{-\pi}^{\pi}f(x)\sin(nx)dx = 0
De même \displaystyle \forall n \in \mathbb{N} ,   \alpha_n(f)=\frac{1}{\pi}  \int_{-\pi}^{\pi}f(x)\cos(nx)dx =   \frac{2}{\pi} \int_0^{\pi} f(x)\cos(nx)dx car x\longmapsto f(x)\cos(nx) est paire
Q18.
Concours communs polytechniques-Filière MP1-2017 : image 1
Représentation graphique de f sur [-3\pi,3\pi]
f étant paire: \forall n \in \mathbb{N} ,   \beta_n(f)=0
\displaystyle \alpha_0(f)=\frac{2}{\pi} \int_0^{\pi} x^2   dx = \frac{2}{3}\pi^2
\displaystyle   \forall n \in \mathbb{N}^* , \alpha_n(f)=\frac{2}{\pi}    \int_0^{\pi} x^2\cos(nx)dx = \frac{2}{\pi}\left[   x^2\frac{\sin(nx)}{n}+2x \frac{\cos(nx)}{n^2}-2\frac{\sin(nx)}{n^3}\right]_0^{\pi}   =4 \frac{(-1)^n}{n^2}
Les séries \sum\alpha_n(f) et \sum\beta_n(f) sont absolument convergentes. D'après la question Q9, la série trigonométrique \sum [\alpha_n(f)\cos(nx)+\beta_n(f)\sin(nx)] converge normalement sur \mathbb R. D'après la conlusion de la question Q16:
\displaystyle \forall x \in\mathbb{R} , f(x)= \frac{\pi^2}{3} +  \sum_{n=1}^{+\infty} 4\frac{(-1)^n}{n^2}\cos(nx)
Ce qui est dans le rapport: Il est surprenant de constater que le tracé de la courbe a posé des problèmes à de nombreux candidats. Beaucoup d'erreurs de calcul dans cette question, ce qui est dommage car un calcul juste conditionnait la réussite de la question suivante.

Q19. Dans l'égalité obtenue à la fin de la question précédente, on pose x=0 pour obtenir:
\displaystyle \sum_{n=1}^{+\infty} \frac{(-1)^{n}}{n^2} = -\frac{\pi^2}{12}
On pose maintenant x=\pi dans la même égalité et on obtient:
\displaystyle \sum_{n=1}^{+\infty} \frac{1}{n^2} = \frac{\pi^2}{6}

Pour tout n de \mathbb N : \displaystyle  \sum_{k=1}^{2n+1} \frac{1}{k^2} = \sum_{k=1}^n \frac{1}{(2k)^2}   +\sum_{k=0}^n\frac{1}{(2k+1)^2} . Faisons tendre n vers l'infini. On obtient:

\displaystyle \sum_{k=1}^{+\infty}\frac{1}{k^2}=\sum_{k=1}^{+\infty}\frac{1}{4k^2}+   \sum_{k=0}^{+\infty}\frac{1}{(2k+1)^2}
Donc , \displaystyle \sum_{k=0}^{+\infty} \frac{1}{(2k+1)^2}   = \frac{3}{4} \sum_{k=1}^{+\infty} \frac{1}{k^2}=\frac{\pi^2}{8}
Q20. En utilisant le développement en série entière de x\longmapsto \ln(1+x), on a:
\forall x\in ]0,1[ , \displaystyle \frac{\ln(1+x)}{x} = \sum_{n=1}^{+\infty}  \frac{(-1)^{n-1}}{n} x^{n-1}
On va appliquer le théorème d'intégration terme à terme d'une série de fonctions à \sum f_n sur l'intervalle I=]0,1[, les fonctions f_n étant définies par: \forall x \in ]0,1[ , f_n(x)=\frac{(-1)^{n-1}}{n} x^{n-1}.
Chacune des fonctions f_n est continue sur ]0,1[, intégrable sur I puisque prolongeable en une fonction continue sur [0,1]
\sum f_n converge simplement sur I vers x \longmapsto \frac{\ln(1+x)}{x} qui est continue sur I
\displaystyle \forall n \in \mathbb{N}^* , \int_I |f_n| = \int_0^1 \frac{x^{n-1}}{n} dx = \frac{1}{n^2} , donc , \sum \int_I |f_n| converge
D'après le théorème d'intégration terme à terme, x\longmapsto \frac{\ln(1+x)}{x} est intégrable sur I et \displaystyle \int_0^1 \frac{\ln(1+x)}{x} dx = \sum_{n=1}^{+\infty} \int_I f_n =  \sum_{n=1}^{+\infty} \frac{(-1)^{n-1}}{n^2}= \frac{\pi^2}{12}
Q21.
On considère la série trigonométrique \displaystyle  \sum 4\frac{(-1)^{n-1}}{n^2}\cos(nx). D'après la question Q18, cette série est normalement convergente sur \mathbb R
Toujours d'après la question Q18, la somme f de cette série est la fonction 2\pi-périodique telle que pour tout x de [-\pi,\pi] , f(x)=x^2. On déduit de l'expression de f sur [-\pi,\pi] que f est dérivable à gauche en \pi et que f_g'(\pi)=2\pi.
Par ailleurs , \forall x \in [\pi,3\pi] , f(x)=f(x-2\pi)=(x-2\pi)^2. On déduit de cette expression que f est dérivable à droite en \pi et que f_d'(\pi)=-2\pi
f n'est pas dérivable en \pi puisque f_g'(\pi) \neq f_d'(\pi)
L'exemple donné montre donc que la somme d'une série trigonométrique normalement convergente n'est pas obligatoirement dérivable sur \mathhb R.
Supposons que les séries \sum na_n et \sum nb_n sont absolument convergentes
Appliquons le théorème de dérivation d'une série de fonctions à \sum u_n avec u_n(x)=a_n\cos(nx)+b_n\sin(nx).
Toutes les fonctions u_n sont de classe C^1 sur \mathbb R.
Puisque \sum na_n et \sum nb_n sont absolument convergentes, alors, \sum a_n et \sum b_n sont absolument convergentes. En particulier, d'après la question Q9, \sum u_n converge simplement sur \mathbb R.
\sum u_n' est la série trigonométrique \sum [nb_n\cos(nx) -na_n\sin(nx)] . D'après la question Q9, \sum u_n' converge normalement et donc uniformément sur \mathbb R.
D'après le théorème de dérivation d'une série de fonctions, la somme de la série trigonométrique \sum [a_n\cos(nx)+b_n\sin(nx)] est de classe C^1 sur \mathbb R (donc dérivable sur \mathbb R)

Q22. On applique le résultat qui vient d'être obtenu à la série trigonométrique \displaystyle  \sum \frac{1}{3^n} \sin(nx). \displaystyle \sum \frac{n}{3^n} est une série convergente puisque \frac{n}{3^n} est négligeable devant \frac{1}{n^2}. D'après la question Q21, la somme f de la série \sum \frac{1}{3^n} \sin(nx) est dérivable sur \mathbb R et sa dérivée est la somme de la série trigonométrique\sum \frac{n}{3^n}\cos(nx). Or, d'après la question Q5 , \displaystyle \sum_{n=1}^{+\infty}   \frac{1}{3^n} \sin(nx) = \frac{3\sin x}{10 - 6\cos x}
Donc , \displaystyle \forall x\in \mathbb{R} ,    \sum_{n=1}^{+\infty} \dfrac{n}{3^n} \cos(nx) =    \dfrac{3\cos x(10-6\cos x)-18\sin^2x}{ (10-6\cos x)^2}=   \dfrac{15\cos x-9}{2(5-3\cos x)^2}

FIN
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