ÉCOLES NORMALES SUPÉRIEURES
CONCOURS D'ADMISSION 2013
Filière MP
Composition de mathématiques C - (ULC)
(Durée : 4 heures)
L'utilisation des calculatrices n'est pas autorisée pour cette épreuve.
On note
l'ensemble des entiers naturels et
. On note
l'ensemble des nombres rationnels
positifs ou nuls. On note
l'ensemble des nombres réels,
l'ensemble des nombres réels positifs ou nuls, et
l'ensemble
des nombres réels strictement positifs.
Pour
intervalle de
, et
un sous-ensemble de
, on note
l'ensemble des fonctions continues de
dans
et
l'ensemble des fonctions de classe
de
dans
On note
l'ensemble des matrices carrées à deux lignes (et deux colonnes) dont les coefficients sont réels.
On note
l'ensemble des fonctions de
dans
vérifiant
Les parties I, II et III sont indépendantes.
Partie I
On suppose dans cette partie que
est de classe
1. Montrer que
2. i) Calculer (pour
les quantités
et
2. ii) En déduire qu'il existe
tel que
2. iii) Quelles sont les fonctions de
?
Partie II
On suppose dans cette partie que
est dans
1. Montrer que si
, alors pour tout
2. On suppose dans ce paragraphe que
2.i) Montrer que pour tout
2.ii) On considère la fonction
(de
dans
) définie par
. Trouver une relation entre
et
, lorsque
2.iii) Trouver une relation entre
et
pour
, puis pour
, et enfin pour
.
3. Quelles sont les fonctions de
?
Partie III
1. Soit
, et
une suite de fonctions de
telles que pour tout
, et
Montrer que
2. Soit
, et
des constantes, et
une fonction de
telle que
Montrer que
3. Soit
des constantes, et
une suite de fonctions de
telles que pour tout
, et
3.i) Montrer que pour
3.ii) En déduire que pour tout
Partie IV
Dans cette partie et la suivante,
est une fonction de
dans
telle que
est continue
et bornée.
1. i) Montrer que l'on peut trouver une unique suite de fonctions
de
dans
telles que
est continue et bornée,
pour tout
, et (pour tout
Pour cela, on commencera par mettre l'équation (3) sous la forme
, où
et
sont
des fonctions continues (définies à partir de
) judicieusement choisies.
1.ii) Montrer que pour
et
, on a
2.i) Montrer que
, avec
suite de fonctions de
telles que (1) est vérifiée (pour
convenablement choisis en fonction de
).
2.ii) En déduire qu'il existe
et
tels que
3.i) Montrer que (pour tout
)
, avec
suite de fonctions de
telles que pour tout
(et
,
3.ii) En déduire que la suite de fonctions
vérifie (2) (pour
et
convenablement choisis).
3.iii) Montrer qu'il existe
pour lequel la suite
converge uniformément
sur
. On notera
la limite de cette suite.
4. Montrer que
est une fonction telle que
est continue et bornée,
pour tout
, et
Partie V
Dans cette partie,
désigne une fonction obtenue à la question
IV.4.
On échangera par ailleurs dans cette partie sans justification les signes
(théorème de Fubini) lorsque les intégrandes sont des fonctions
continues telles que
pour des constantes
données.
1. i) Montrer que si
est une matrice inversible telle que
, il
existe une matrice triangulaire supérieure inversible
et une matrice triangulaire inférieure inversible
telles que
1. ii) Soit
une fonction continue de
dans
telle que
, et
une matrice inversible. Montrer que
2. Montrer que pour toute fonction
de
telle que
est bornée,
on a (pour
),
3.i) Calculer (pour
) la quantité
en fonction de
.
3.ii) Montrer que (pour
et
),
4. Dans cette question, on suppose qu'il existe
, tels que
4.i) Montrer que la quantité
définit une fonction de classe
sur
et que
On pourra pour cela s'inspirer du résultat obtenu à la question
V.2.
Il s'agit d'une version simplifiée de la première partie du
Théorème H de Boltzmann, dans lequel on montre la croissance de l'entropie
d'un
gaz raréfié.
4.ii) Montrer que si l'on a (pour
donné)
, alors
on peut trouver
tels que
Il s'agit d'une version simplifiée de la seconde partie du
Théorème H de Boltzmann, dans lequel on montre que si la densité dans l'espace des phases d'un gaz
raréfié est d'entropie maximale, alors c'est une fonction Maxwellienne de la vitesse des molécules (ici représentée par une fonction Gaussienne centrée).