Fiche de mathématiques
> >

ÉCOLES NORMALES SUPÉRIEURES

CONCOURS D'ADMISSION 2013
Filière MP

Partager :
Composition de mathématiques C - (ULC)
(Durée : 4 heures)

L'utilisation des calculatrices n'est pas autorisée pour cette épreuve.
On note \mathbb{N} l'ensemble des entiers naturels et \mathbb{N}^*=\mathbb{N} - \lbrace 0 \rbrace. On note \mathbb{Q}_+ l'ensemble des nombres rationnels positifs ou nuls. On note \mathbb{R} l'ensemble des nombres réels, \mathbb{R}_+ l'ensemble des nombres réels positifs ou nuls, et \mathbb{R}_+^* l'ensemble des nombres réels strictement positifs.

Pour I intervalle de \mathbb{R}, et L un sous-ensemble de \mathbb{R}, on note C(I,L) l'ensemble des fonctions continues de I dans L et C^1(I,L) l'ensemble des fonctions de classe C^1 de I dans L.

On note M_2(\mathbb{R}) l'ensemble des matrices carrées à deux lignes (et deux colonnes) dont les coefficients sont réels.

On note F l'ensemble des fonctions de \mathbb{R} dans \mathbb{R}_+ vérifiant \forall x,y,\theta\in\mathbb{R},\ f(x\cos\theta-y\sin\theta)f(x\sin\theta+y\cos\theta)=f(x)f(y).

Les parties I, II et III sont indépendantes.


Partie I


On suppose dans cette partie que f\in F est de classe C^1 ( \mathbb(R},\mathbb{R}_+).

1. Montrer que \forall(x,y)\in\mathbb{R}^2,\ f(x)f(y) = f \left(\sqrt{x^2+y^2} \right) f(0).

2. i) Calculer (pour (x,y)\in\mathbb{R}^2 - \lbrace(0,0\rbrace) les quantités \left[x\dfrac{\partial}{\partial y} - y\dfrac{\partial}{\partial x} \right](f(x)f(y)) et [x\dfrac{\partial}{\partial y} - y\dfrac{\partial}{\partial x}] \left(f \left(\sqrt{x^2+y^2} \right) \right).
2. ii) En déduire qu'il existe \alpha\in\mathbb{R} tel que \forall x\in\mathbb{R},\ f'(x) = \alpha xf(x).
2. iii) Quelles sont les fonctions de F\cap C^1(\mathbb{R},\mathbb{R}_+) ?


Partie II


On suppose dans cette partie que f\in F est dans C(\mathbb{R},\mathbb{R}_+).

1. Montrer que si f(0) = 0, alors pour tout x \in \mathb{R}, \, f(x) = 0.

2. On suppose dans ce paragraphe que f(0) \neq 0.
2.i) Montrer que pour tout x\in\mathbb{R},\ f(x) \neq 0.
2.ii) On considère la fonction r (de \mathbb{R}_+ dans \mathbb{R}) définie par r(x)=\ln \left( \dfrac{f \left(\sqrt{x} \right)}{f(0)} \right). Trouver une relation entre r(x+y),\ r(x) et r(y), lorsque x\in\mathbb{R}_+,\ y\in\mathbb{R}_+.
2.iii) Trouver une relation entre r(s) et sr(1) pour s\in\mathbb{N}, puis pour s\in\mathbb{Q}_+, et enfin pour s\in\mathbb{R}_+.

3. Quelles sont les fonctions de F\cap C(\mathbb{R},\mathbb{R}_+) ?


Partie III


1. Soit A>0,K>0, et (C_n)_{n\in\mathbb{N}} une suite de fonctions de C([0,1], \mathbb{R}) telles que pour tout t\in[0,1],\ C_0(t)\le A, et
\forall n \in \mathbb{N}^*, t \in [0,1], \ C_{n+1}(t) \le A+K \displaystyle \int_0^t C_n(s)^2 \text{d}s.\qquad (1)
Montrer que \forall n\in\mathbb{N}, t \in \left [0,\inf \left( \dfrac{1}{4AK},1 \right) \right],\ C_n(t) \le 2A.

2. Soit T>0,B>0, et D>0 des constantes, et \phi une fonction de C([0,T],\mathbb{R}_+) telle que \forall t\in[0,T],\ \phi(t)\le B+D\displaystyle\int_0^t\phi(s)\text{d}s.
Montrer que \forall t\in[0,T],\ \phi(t)\le Be^{Dt}.

3. Soit T_1>0,A_1>0,K_1>0 des constantes, et (J_n)_{n\in\mathbb{N}} une suite de fonctions de C([0,T_1],\mathbb{R}_+) telles que pour tout t\in[0,T_1],\ J_0(t)\le A_1, et
\forall n\in\mathbb{N}^*,t\in[0,T_1],\ J_n(t)\le K_1\displaystyle\int_0^t[J_n(s)+J_{n-1}(s)]\text{d}s.\qquad (2)

3.i) Montrer que pour t\in[0,T_1],n\in\mathbb{N}^*,\ J_n(t)\le K_1e^{K_1T_1}\displaystyle\int_0^tJ_{n-1}(s)\text{d}s.
3.ii) En déduire que pour tout t\in[0,T_1],n\in\mathbb{N}^*,\ J_n(t)\le A_1\cfrac{[K_1T_1e^{K_1T_1}]^n}{n!}.


Partie IV


Dans cette partie et la suivante, f_{in} est une fonction de \mathbb{R} dans \mathbb{R}_+^* telle que x\mapsto f_{in}\exp(x^2/2) est continue et bornée.

1. i) Montrer que l'on peut trouver une unique suite de fonctions (f_n)_{n\in\mathbb{N}} de [0,1]\times\mathbb{R} dans \mathbb{R} telles que (t,x)\in[0,1]\times\mathbb{R}\mapsto f_n(t,x)\exp(x^2/2) est continue et bornée, t\in[0,1]\mapsto f_n(t,x)\in C^1([0,1],\mathbb{R}) pour tout x\in\mathbb{R}, et (pour tout n\in\mathbb{N},\ (t,x)\in[0,1]\times\mathbb{R})
\dfrac{\partial f_{n+1}}{\partial t}(t,x) = \displaystyle\int_{-\pi}^{\pi}\left(\int_{\mathbb{R}}\left[f_n(t,x\cos\theta-y\sin\theta)f_n(t,x\sin\theta+y\cos\theta)-f_{n+1} (t,x)f_n(t,y)\right]\text{d}y\right)\text{d}\theta,\qquad (3)\\\\ f_{n+1}(0,x)=f_{in}(x),\\\\ f_0(t,x)=f_{in}(x).
Pour cela, on commencera par mettre l'équation (3) sous la forme \dfrac{\partial f_{n+1}}{\partial t}(t,x)=a_n(t)f_{n+1}(t,x)+b_n(t,x), où a_n et b_n sont des fonctions continues (définies à partir de f_n) judicieusement choisies.
1.ii) Montrer que pour n\in\mathbb{N} et (t,x)\in[0,1]\times\mathbb{R}, on a f_n(t,x)\ge0.

2.i) Montrer que \forall n\in\mathbb{N},t\in[0,1],x\in\mathbb{R},\ 0\le f_n(t,x)\le C_n(t)\exp(-x^2/2), avec (C_n)_{n\in\mathbb{N} suite de fonctions de C([0,1],\mathbb{R}) telles que (1) est vérifiée (pour A,K convenablement choisis en fonction de f_{in}).
2.ii) En déduire qu'il existe T_1\in]0,1] et A>0 tels que \forall t\in[0,T_1],n\in\mathbb{N},\ C_n(t)\le2A.

3.i) Montrer que (pour tout n\in\mathbb{N})
\forall t\in[0,1],x\in\mathbb{R},\ |f_{n+1}(t,x)-f_n(t,x)|\le J_n(t)\exp(-x^2/2), avec (J_n)_{n\in\mathbb{N}} suite de fonctions de C([0,1],\mathbb{R}) telles que pour tout t\in[0,1] (et n\in\mathbb{N}^*), J_n(t)\le2\pi\displaystyle\int_{\mathbb{R}}\exp(-y^2/2)\text{d}y\left[\int_0^t(2C_n(s)+C_{n-1}(s))J_{n-1}(s)\text{d}s+\int_0^tC_n(s)J_n(s)\text{d}s\right].
3.ii) En déduire que la suite de fonctions (J_n)_{n\in\mathbb{N}} vérifie (2) (pour K_1 et T_1>0 convenablement choisis).
3.iii) Montrer qu'il existe T\in]0,1] pour lequel la suite (t,x)\in[0,T]\times\mathbb{R}\mapsto f_n(t,x)\exp(x^2/2) converge uniformément sur [0,T]\times\mathbb{R}. On notera (t,x)\in[0,T]\times\mathbb{R}\mapsto f(t,x)\exp(x^2/2) la limite de cette suite.

4. Montrer que f est une fonction telle que (t,x)\in[0,T]\times\mathbb{R}\mapsto f(t,x)\exp(x^2/2) est continue et bornée, t \in [0,T]\mapsto f(t,x)\in C^1([0,T],\mathbb{R_{+}}) pour tout x\in\mathbb{R}, et
\cfrac{\partial f}{\partial t}(t,x)=\displaystyle \int_{-\pi}^{\pi}\int_{\mathbb{R}}\left[f(t,x\cos\theta-y\sin\theta)f(t,x\sin\theta+y\cos\theta)-f(t,x)f(t,y) \right]\text{d}y\text{d}\theta,\\ f(0 , x) = f_{in}(x).



Partie V


Dans cette partie, f désigne une fonction obtenue à la question IV.4.

On échangera par ailleurs dans cette partie sans justification les signes \displaysyle \int (théorème de Fubini) lorsque les intégrandes sont des fonctions g:\mathbb{R}^2\rightarrow\mathbb{R} continues telles que |g(x,y)|\le H\exp(-L(x^2+y^2)) pour des constantes H,L>0 données.

1. i) Montrer que si M = \begin{pmatrix} a&b\\ c&d \end{pmatrix} \in M_2( \mathbb{R} ) est une matrice inversible telle que d \neq 0, il existe une matrice triangulaire supérieure inversible T_1 \in M_2( \mathbb{R} ) et une matrice triangulaire inférieure inversible T_2 \in M_2( \mathbb{R} ) telles que  M= T_1 T_2.

1. ii) Soit H,L>0,\ h une fonction continue de \mathbb{R}\times\mathbb{R} dans \mathbb{R} telle que |h(x,y)|\le H \exp(-L(x^2+y^2)), et M\in M_2(\mathbb{R}) une matrice inversible. Montrer que
\displaystyle\int_{-\infty}^{\infty}\int_{-\infty}^{\infty}h(x,y)\text{d}x\text{d}y=|Det(M)|\int_{-\infty}^{\infty}\int_{-\infty}^{\infty}h(M(x,y))\text{d}x \text{d}y.


2. Montrer que pour toute fonction \phi de C(\mathbb{R},\mathbb{R}) telle que x \mapsto \dfrac{\phi(x)}{1+x^2} est bornée, on a (pour t\in[0,T]),
\begin{array}{ll} \dfrac{\text{d}}{\text{d}t}\displaystyle\int_{\mathbb{R}}f(t,x)\phi(x)\text{d}x = & \cfrac{1}{4} \displaystyle \int_{\mathbb{R}}\int_{\mathbb{R}}\int_{-\pi}^ {\pi}\left[f(t,x\cos\theta-y\sin\theta)f(t,x\sin\theta+y\cos\theta)-f(t,x)f(t,y)\right] \\ &  \times \left[\phi(x)+\phi(y)-\phi(x\cos\theta-y\sin\theta)-\phi(x\sin\theta+y\cos \theta) \right] \text{d}\theta\text{d}x\text{d}y. \end{array}


3.i) Calculer (pour t\in[0,T]) la quantité \displaystyle\int_{\mathbb{R}}f(t,x)\text{d}x en fonction de f_{in}.
3.ii) Montrer que (pour t\in[0,T] et x\in\mathbb{R}), f(t,x)\ge f_{in}(x)e^{-2\pi t\displaystyle\int_{\mathbb{R}}f_{in}(y)\text{d}y}.

4. Dans cette question, on suppose qu'il existe S_1,S_2>0, tels que f_{in}(x)\ge S_1e^{-S_2|x|^2}.
4.i) Montrer que la quantité \displaystyle\int_{\mathbb{R}}f(t,x)\ln f(t,x)\text{d}x définit une fonction de classe C^1 sur [0,T] et que \cfrac{\text{d}}{\text{d}t}\displaystyle\int_{\mathbb{R}}f(t,x)\ln f(t,x)\text{d}x\le0.
On pourra pour cela s'inspirer du résultat obtenu à la question V.2.
Il s'agit d'une version simplifiée de la première partie du Théorème H de Boltzmann, dans lequel on montre la croissance de l'entropie -\displaystyle \int f\ln f d'un gaz raréfié.
4.ii) Montrer que si l'on a (pour t\in[0,T] donné) \cfrac{\text{d}}{\text{d}t}\displaystyle\int_{\mathbb{R}}f(t,x)\ln f(t,x)\text{d}x=0, alors on peut trouver C_1,C_2>0 tels que \forall x\in\mathbb{R},\ f(t,x)=C_1e^{-C_2x^2}.
Il s'agit d'une version simplifiée de la seconde partie du Théorème H de Boltzmann, dans lequel on montre que si la densité dans l'espace des phases d'un gaz raréfié est d'entropie maximale, alors c'est une fonction Maxwellienne de la vitesse des molécules (ici représentée par une fonction Gaussienne centrée).
Publié le
ceci n'est qu'un extrait
Pour visualiser la totalité des cours vous devez vous inscrire / connecter (GRATUIT)
Inscription Gratuite se connecter
Merci à
david9333
pour avoir contribué à l'élaboration de cette fiche


Vous devez être membre accéder à ce service...

Pas encore inscrit ?

1 compte par personne, multi-compte interdit !

Ou identifiez-vous :


Rester sur la page

Inscription gratuite

Fiches en rapport

parmi 1336 fiches de maths

Désolé, votre version d'Internet Explorer est plus que périmée ! Merci de le mettre à jour ou de télécharger Firefox ou Google Chrome pour utiliser le site. Votre ordinateur vous remerciera !